Идеи метода Штурма

После замены

условие, что исходные числа не меньше превращается в

а условие на произведение превращается в

Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно

Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше (не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа на числа с такой же суммой и не меньшей разностью Тогда в искомом выражении сумма дробей

не изменится, а сумма дробей

и аналогичная ей (с точностью до перестановки ) сумма дробей

не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении а знаменатель уменьшается при увеличении

Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из в единицу, а наибольшее — в при этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения равно