Тема 8. Количество информации и комбинаторика

8.04 Прочие прототипы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела количество информации и комбинаторика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#38452Максимум баллов за задание: 1

Сколькими способами можно выбрать $2$ пряника из новой упаковки, если в новой упаковке $20$ пряников?

Показать ответ и решение

Нужно выбрать из 20-и пряников 2 пряника. Это

2 -20!-- C20 = 2!⋅18! = 10⋅19 = 190

Ответ: 190

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#38453Максимум баллов за задание: 1

В роте $50$ человек. Сколькими способами можно отправить трех в наряд?

Показать ответ и решение

Нужно выбрать 3 человека из 50:

3 50⋅49⋅48- C50 = 3 ⋅2 = 50⋅49 ⋅8 = 19600.

Ответ: 19600

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#38454Максимум баллов за задание: 1

Для учебы нужно купить $8$ тетрадей в клетку и $4$ в линейку. В магазине есть $12$ тетрадей в клетку и $10$ в линейку. Сколькими способами можно выбрать для покупки $8$ тетрадей в клетку и $4$ в линейку?

Показать ответ и решение

Так как мы выбиараем тетради и в клетку, и в линейку, нам нужно будет найти произведение количества способов выбрать тетради в клетку и количества способов выбрать тетради в линейку.

В клетку:

C812 = C412 = 12⋅11⋅10-⋅9= 11 ⋅5⋅9 = 495. 4 ⋅3⋅2

В линейку:

4 10⋅9-⋅8⋅7 C 10 = 4⋅3⋅2 = 10⋅3⋅7 = 210.

Перемножаем полученные числа и получаем $495⋅210 = 103950$ способов выбора тетрадей.

Ответ: 103950

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#38455Максимум баллов за задание: 1

Сколькими способами можно выбрать для покупки $2$ бутылки газировки и $3$ пачки чипсов, если на прилавке лежит $5$ бутылок газировки и $6$ пачек чипсов?

Показать ответ и решение

Ответ будет равен произведению количества выборов двух бутылок из пяти и количества выборов трёх пачек из шести:

5! 6! C25 ⋅C36 =----⋅----- = 5⋅2⋅5 ⋅4 = 200 2!⋅3! 3!⋅3!

Ответ: 200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#38456Максимум баллов за задание: 1

В отделении работают $4$ младших и $7$ старших научных сотрудников. В отпуск надо послать двух младших и пять старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор?

Показать ответ и решение

Ответ будет равен произведению количества выборов двух младших сотрудников из четырех и количества выборов пяти старших сотрудников из семи:

4! 7! C24 ⋅C57 =----⋅----- = 2⋅3⋅7 ⋅3 = 126 2!⋅2! 5!⋅2!

Ответ: 126

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#41273Максимум баллов за задание: 1

На картинке представлено $3$ города: $A$ , $B$ и $C$ .

$PIC$

$a)$ Сколько всего дорог существует?

$b)$ Сколько путей существует из города $A$ в город $C$ ?

В ответ запишите полученные числа через пробел.

Показать ответ и решение

$a)$ Перечислим все дороги: $1,2,3,α,β,γ$ . Итого, всего существует $3 + 3 = 6$ дорог.

$b)$ Перечислим все пути: $1α,1β,1γ,2α,2β,2γ,3α,3β,3γ$ . Итого, всего существует $3 ⋅3 = 9$ путей.

Ответ: 6 9

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#41274Максимум баллов за задание: 1

На картинке представлено $3$ города: $A$ , $B$ и $C$ .

$PIC$

$a)$ Сколько всего дорог существует?

$b)$ Сколько путей существует из города $A$ в город $C$ ?

В ответ запишите полученные числа через пробел.

Показать ответ и решение

$a)$ Перечислим все дороги: $1,2,3,α,β,γ,δ$ . Итого, всего существует $3+ 4 = 7$ дорог.

$b)$ Перечислим все пути: $1α, 1β,1γ,1δ,2α,2β,2γ,2δ,3α, 3β,3γ,3δ$ . Итого, всего существует $3⋅4 = 12$ путей.

Ответ: 7 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#41275Максимум баллов за задание: 1

На картинке представлено $4$ города: $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$PIC$

$a)$ Сколько всего дорог существует?

$b)$ Сколько путей существует из города $A$ в город $D$ ?

В ответ запишите полученные числа через пробел.

Показать ответ и решение

$a)$ Перечислим все дороги: $1,2,3,I,II,III,IV,α,β,γ$ . Значит, всего существует $3+ 4+ 3 = 10$ дорог.

$b)$ Всего существует $3 ⋅4⋅3 = 36$ путей.

Ответ: 10 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#41276Максимум баллов за задание: 1

$30$ мартышек пожали руку $70$ шимпанзе. Сколько было рукопожатий? А сколько было обезьян? Ответы запишите в порядке возрастания через пробел.

Показать ответ и решение

Первая мартышка пожала руку семидесяти шимпанзе. Скольким шимпанзе пожала руку вторая мартышка? Тоже $70$ . А третья? Тоже $70$ ! Таким образом, всего произошло $30 ⋅70 = 2100$ рукопожатий. А обезьян всего было $30 +70 = 100$ .

Ответ: 100 2100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#41277Максимум баллов за задание: 1

$10$ горилл пожали руку $8$ обезьянкам. Сколько было рукопожатий? А сколько было обезьян? Ответы запишите в порядке возрастания через пробел.

Показать ответ и решение

Первая горилла пожала руку восьми обезьянкам. Скольким обезьянкам пожала руку вторая горилла? Тоже $8$ . А третья? Тоже $8$ ! Таким образом, всего произошло $10⋅8 = 80$ рукопожатий. А обезьян всего было $10 +8 = 18$ .

Ответ: 18 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#41278Максимум баллов за задание: 1

$15$ шимпанзе пожали руку $45$ обезьянкам. Сколько было рукопожатий? А сколько было обезьян? Ответы запишите в порядке возрастания через пробел.

Показать ответ и решение

Первый шимпанзе пожал руку сорока пяти обезьянкам. Скольким обезьянкам пожал руку второй шимпанзе? Тоже $45$ . А третий? Тоже $45$ ! Таким образом, всего произошло $15 ⋅45 = 675$ рукопожатий. А обезьян всего было $15 +45 = 60$ .

Ответ: 60 675

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#41282Максимум баллов за задание: 1

Сколько двухбуквенных слов можно составить из букв $A, B,C$ , если буквы в слове не должны повторяться?

Показать ответ и решение

Перечислим все возможные варианты слова: $AB, AC,BA, BC, CA, CB$ . Всего вариантов $6$ . Как можно было найти ответ по-другому? На первое место можно поставить любую из трёх букв. На второе — любую из двух, ведь одну мы уже поставили. Значит, ответ равен $3 ⋅2 = 6$ .

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#41284Максимум баллов за задание: 1

Сколько четырёхбуквенных слов можно составить из букв $A,B, C,D,E$ , если буквы в слове не должны повторяться?

Показать ответ и решение

На первое место можно поставить любую из пяти букв. На второе — любую из четырёх, ведь одну мы уже поставили. На третье — любую из трёх, ведь две буквы мы уже поставили. На четвёртое — любую из двух букв, ведь три мы уже поставили. Значит, ответ равен $5 ⋅4⋅3⋅2 = 5! = 120$ .

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#41285Максимум баллов за задание: 1

Трудулюбивые бурундучки пилят очень длинное бревно. Всего было сделано $199$ распилов. Сколько брёвнышек у них получилось?

Показать ответ и решение

За один распил получается два брёвнышка. Значит, за $199$ распилов получится $199+ 1 = 200$ брёвнышек.

Ответ: 200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#41286Максимум баллов за задание: 1

Трудулюбивые бурундучки пилили очень длинное бревно и получили $273$ брёвнышка. Сколько распилов было сделано?

Показать ответ и решение

За один распил получается два брёвнышка. Значит, $273$ брёвнышка получились в результате $273 − 1 = 272$ распилов.

Ответ: 272

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#41287Максимум баллов за задание: 1

Сколько целых чисел находится на отрезке $[6;10]$ ?

Показать ответ и решение

Посчитаем вручную все числа, которые входят в отрезок: $6,7,8,9,10$ . Всего $5$ чисел. Как можно было посчитать по-другому? Ответ равен $10− 6 +1 = 5$ .

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#46828Максимум баллов за задание: 1

Напишите программу, которая выводит через пробел все возможные комбинации без повторений длиной 3 в алфавите из букв: A, B, C, D, E. В ответе запишите вывод программы через пробел.

Показать ответ и решение

from itertools import combinations
# Функция lambda x: ’’.join(x) "склеивает" кортеж
# ("A", "B", "C") -> "ABC"
print(*map(lambda x: ’’.join(x), combinations([’A’, ’B’, ’C’, ’D’, ’E’], 3)))

Ответ: ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#46829Максимум баллов за задание: 1

Напишите программу, которая находит количество всех возможных комбинаций без повторений длиной 4 в алфавите из символов: A, B, D, E, 2, 5. В ответе запишите вывод программы.

Показать ответ и решение

from itertools import combinations
symbols = [’A’, ’B’, ’D’, ’E’, ’2’, ’5’]
print(len(list(combinations(symbols, 4))))

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#46830Максимум баллов за задание: 1

Напишите программу, которая выводит с новой строки все возможные комбинации с повторениями длиной 3 в алфавите из символов: A, D, V, F

(Подсказка: воспользуйтесь дополнительной функцией

$combinations with-replacement()$ )

Показать ответ и решение

from itertools import combinations_with_replacement
symbols = [’A’, ’D’, ’V’, ’F’]
# Функция lambda x: ’’.join(x) "склеивает" кортеж
# ("A", "B", "C") -> "ABC"
print(*map(lambda x: ’’.join(x),
           combinations_with_replacement(symbols, 3)), end=’\n’)

Ответ: AAA AAD AAV AAF ADD ADV ADF AVV AVF AFF DDD DDV DDF DVV DVF DFF VVV VVF VFF FFF

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#46831Максимум баллов за задание: 1

Напишите программу, которая находит количество всех возможных комбинаций с повторениями длиной 3 в алфавите из символов: A, D, V, F

Показать ответ и решение

from itertools import combinations_with_replacement

symbols = [’A’, ’D’, ’V’, ’F’]
print(len(list(combinations_with_replacement(symbols, 3))))

Ответ: 20