8.04 Прочие прототипы

Заметим сначала, что всего за рабочий день ответственная Джуди выписала 200 штрафов с номерами от 1 до 200. При этом до обеда она выписала штрафы с номерами от 1 до 124, то есть 124 штрафа. Значит, после обеда она выписала все остальные штрафы. Их количество мы найдем как разность между общим числом штрафов и количеством штрафов, выписанных до обеда, то есть 200 - 124 = 76.

Будем проводить распилы по очереди. Заметим, что после оче- редного распила количество частей увеличивается на 1. Перед распилами была всего одна часть, значит, после 20 распилов будет 1 + 20 = 21 частей.

Сначала посчитаем, во скольких районах побывает Джуди. Разделим все номера районов на 2 и напишем их в блокнот, от этого количество чисел, которое нам и нужно найти, не изменится. При этом получатся числа 10, 11, . . . , 68. Теперь количество чисел найти намного проще! Если бы были выписаны числа 1, 2, . . . , 68, то их было бы 68, но на самом деле первые 9 чисел не выписаны, значит, выписанных чисел на 9 меньше, то есть 68 - 9 = 59.

Теперь поможем Нику. Вычтем из всех номеров по числу 19 и выпишем их на доску. Получим числа 2, 4, 6, . . . , 116. Затем разделим каждый номер на 2. Получим числа 1, 2, 3, . . . , 58. Количество чисел не менялось, при этом в итоге получилось 58 чисел. Значит, Ник обойдет 58 районов.

Представим на секунду, что Ник начал бы считать мышат, начиная с первого. Тогда он, разумеется, насчитал бы 123 мышонка. Но по условию Ник начал считать мышат с 34-го, то есть первых 33 мышат он пропустил. Значит, Ник насчитал 123 - 33 = 90 мышат.

Посчитаем общее количество бревнышек после всех распилов. Так как 30 поленьев упали, а еще два остались, то их 30+2 = 32. Распилов же при этом на 1 меньше, потому что после каждого распила количество частей увеличивается на одну, а изначально была всего одна часть. Поэтому распилов 32 - 1 = 31.

Заметим, что при очередном распиле количество бревен увеличивается ровно на 1. Значит, после 20 распилов количество бревен увеличилось на 20 по сравнению с изначальным. Это значит, что исходно у бурундучков было 26 - 20 = 6 бревен.

Бурундучкам нужно сделать 10 распилов, чтобы целиком распилить длинное бревно. При этом самих маленьких бревнышек получится на 1 больше, то есть 11. Значит, из 9 длинных бревен получается 9 11 = 99 маленьких бревнышек. Чтобы получить последнее сотое бревнышко, требуется еще один распил. Итак, для 9 длинных бревен потребуется 9 10 = 90 распилов, и еще один распил для сотого бревнышка, то есть всего 90 + 1 = 91 распил.

Перед Джуди лежит 10 различных пряничков, 7 различных печенек и 20 разных пончиков, то есть всего 10 + 7 + 20 = 37 различных предметов. Она может выбрать любой один из этих 37 предметов. Значит, у нее 37 способов выбрать себе вкусняшку.

Какую бы сладость Джуди ни выбрала, она тем самым “запрещает” привередливому Нику один из видов вкусняшек. У Ника остаются еще два вида, и сладостей каждого из этих двух видов осталось по 15 штук, так как их еще никто не ел. Значит, Ник выбирает одну сладость из 15 + 15 = 30, поэтому у него 30 способов сделать выбор.

Представим себе раскраску шара в виде таблицы 3 на 4. Каждую из 4 строк этой таблицы мы раскрасим в один из 4 цветов шариков: красный, синий, зеленый и желтый. Каждую из 3 строк этой таблицы мы посыплем одним из трех видов блесток: в форме снежинок, в форме сердечек и в форме кружочков. Заметим, что тогда каждая клетка этой таблицы покрашена в один из 4 цветов и посыпана одним из 3 видов блесток. При этом каждая комбинация цвет-вид блесток в этой таблице встречается, и ровно один раз: на пересечении соответствующих строки и столбца. Значит, клеток в таблице столько же, сколько возможных вариантов раскрасок. А клеток 4 3 = 12. Значит, возможных раскрасок шаров столько же, то есть 12.

На пятый день Ник выкинет столько рубашек, сколько уже прошло дней. А прошло 4 дня, значит, осталось 100 - 4 = 96 рубашек, и Ник может выбрать любую из них. Это можно сделать 96-ю способами, откуда и ответ.

Представим все варианты оформления кабинета в виде таблицы 7 ×5 следующим образом. Рядом с каждой из 5 строк напишем свой вариант письменного стола, а рядом с каждым из 7 столбцов — свой вид стульев. Теперь, выбирая письменный стол, Мистер Биг тем самым выбирает строку, а выбирая вид стульев, Мистер Биг тем самым выбирает столбец. При этом в результате выбора столбца и строки автоматически определяется клетка, по которой эти строка и столбец пересекаются. Тогда на самом деле каждой паре письменный стол–комплект стульев соответствует клетка нарисованной таблицы. Значит, способов выбрать стол и стулья столько же, сколько клеток в таблице. А их 7 5 = 35, откуда и ответ.

Рассмотрим два случая того, какую сладость могла выбрать Джуди.

Случай 1. Предположим, что Джуди взяла печеньку. Сделать это она могла тремя способами. После чего перед Ником остаются 2 печеньки, из которых надо выбрать одну. Это можно сделать двумя способами. Получается, что если Джуди выбрала первую печеньку, то Ник может выбрать вторую или третью, если Джуди выбрала вторую печеньку, то Ник может выбрать первую или третью, и если Джуди выбрала третью печеньку, то Ник может выбрать первую или вторую печеньку. Таким образом, мы получаем 2 + 2 + 2 = 6 способов выбрать Джуди и Нику по одной печеньке.

Случай 2. Предположим, что Джуди взяла пряничек. Тогда в любом случае перед Ником остаются три пряничка на выбор, значит, он сможет свой пряничек взять 3 способами. Итак, если Джуди берет себе первый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряник, если Джуди берет себе второй пряничек, то снова 3 способа выбрать пряничек у Ника, аналогично если Джуди берет себе третий пряничек, то у Ника опять 3 способа выбрать пряничек, и наконец если Джуди берет себе четвертый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряничек. При этом это все разные случаи того, какой пряничек выбирала Джуди, и в зависимости от ее выбора мы посчитали, сколько способов выбрать пряничек есть у Ника. Поэтому теперь осталось все способы сложить, так как все это были разные случаи выбора пряничка Джуди. Получаем 3 + 3 + 3 + 3 = 12 способов выбрать по одному пряничку Джуди и Нику.

Эти количества способов, 6 и 12, представляют собой разные случаи того, какие же именно сладости берут друзья — печеньки или прянички. А так как они могут выбрать любой тип сладости, то чтобы получить все способы выбрать две сладости, эти количества способов, 6 и 12, надо сложить: 6 + 12 = 18, это и есть суммарное количество способов выбрать по одной сладости Джуди и Нику одинакового вида.

Посчитаем сначала, сколько есть способов выбрать одну клетку. Всего клеток на шахматной доске 8 8 = 64, и Ник выбирает одну. Сделать это можно 64-мя способами. Теперь поможем посчитать способы Джуди. Сначала выберем строку. Это можно сделать 8 способами. Рассмотрим мысленно 8 случаев: Джуди выбрала 1-ю строку, 2-ю строку, 3-ю строку, и т. д., 8-ю строку. В каждом из этих способов у Джуди есть 8 вариантов выбрать столбец: любой из восьми. А так как это разные случаи, то все полученные способы надо сложить. Получаем сумму 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 64.

Значит, у Джуди тоже получилось 64 способа выбрать строку и столбец — столько же, сколько и у Ника.

Посчитаем, сколько всего билетов лежат перед коллегами. Их 5+7+9 = 21. Выбрав, куда идти, Мэр Леодор “запрещает” Мисс Барашкис либо 5, либо 7, либо 9 билетов. Чтобы у Барашкис осталось больше билетов на выбор, Мэру Леодору необходимо запретить как можно меньше билетов, то есть из трех возможных количеств нужно выбрать 5 билетов. Значит, Мэр Леодор, дабы обеспечить своей подчиненной больший выбор, должен пойти в театр.

Всего нечетных цифр 5: 1, 3, 5, 7 и 9. На первом месте может стоять любая из пяти цифр, и на втором месте независимо от того, какую цифру мы поставили на первое место, может стоять пять цифр. По правилу умножения мы получаем 5 5 = 25 способов составить двузначное число из нечетных цифр. Значит, именно столько чисел выпишет на доску Мисс Барашкис.

Сначала 10 способами выбираем курсанта, который будет выписывать штрафы. После этого независимо от того, кого мы выбрали, остаются 9 курсантов, из которых надо выбрать того, кто будет патрулировать северный район. Это можно сделать 9 способами. Полученные способы перемножаются, так как количество способов выбрать второго курсанта не зависит от того, кого мы выбрали первым.

И мартышки, и шимпанзе — обезьяны, поэтому всего обезьян 3+5 = 8. В одном рукопожатии участвуют двое зверят: одна обезьянка и один котенок. Обезьянку можно выбрать 8 способами, а котенка — 10 способами. Так как обезьянку и котенка мы выбираем последовательно, а также выборы обезьянки и котенка не зависят друг от друга, то способы перемножаются: 8 ·10 = 80 способов выбрать пару обезьянка–котенок. Но каждая такая пара соответствует одному рукопожатию, значит, рукопожатий тоже 80.

Всего четных цифр, как и нечетных, 5: 0, 2, 4, 6 и 8. Однако цифру 0 нельзя ставить на первое место. Поэтому цифру из разряда сотен мы можем выбрать лишь 4 способами. После этого цифру из разряда десятков мы можем выбрать 5 способами, также цифру единиц мы можем выбрать 5 способами. Так как выбор цифры в очередном разряде не зависит от того, что мы выбрали ранее, эти способы надо перемножить: 4 5 5 = 100.

Сначала поставим на доску белую ладью. Это можно сделать на любую клетку, то есть 64 способами. Теперь черную ладью нельзя ставить в тот же столбец или в ту же строку, в которых уже стоит белая ладья. Значит, остаются 7 строк и 7 столбцов, в которых может стоять ладья, всего 7 ·7 = 49 клеток. Поэтому черную ладью независимо от того, как была поставлена первая, можно выставить 49 способами. Тогда пару ладей мы можем поставить 64 49 = 3136 способами, так как количество способов поставить черную ладью не зависит от того, куда была поставлена белая ладья.