Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Тождественные преобразования на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30987Максимум баллов за задание: 7

При каком наименьшем натуральном $k$ выражение

2017⋅2018⋅2019⋅2020 +k

является квадратом натурального числа?

Источники: ОММО-2019, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что это задача на оценку + пример. В этой задаче пока непонятно, как делать оценку и двигаться в сторону нужного k. Давайте попробуем для начала поискать подходящее k и попробуем какие-то маленькие k перебрать.

Подсказка 2

Для k = 1 попробуем доказать, что оно подходит. Для этого нам потребуется разложить имеющееся выражение как квадрат некоторого числа. Чтобы вам не приходилось оперировать огромными произведениями, давайте для удобства заменим 2017 на n.

Подсказка 3

Тогда нам осталось разложить на множители:
n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1. В случае успеха нам даже не придется делать никакую оценку (Почему?)

Показать ответ и решение

Достаточно показать, что для $k =1$ условие выполнено, поскольку это наименьшее натуральное число. Действительно, обозначим $n =2017,$ тогда

2 2 n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1= (n + 3n)(n + 3n+2)+ 1=

2 2 2 2 2 = (n +3n) + 2(n + 3n)+1= (n + 3n +1)

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48739Максимум баллов за задание: 7

Что больше:

23 41- 71- 1 или 93 + 165 + 143?

Источники: ОММО-2019, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, можно привести правую часть неравенства к общему знаменателю, но нужно ли… Можем ли мы как-то оценить каждое слагаемое справа по отдельности?

Подсказка 2

Давайте попробуем как-то оценить сумма справа! Например, заметим, что 93 это почти 92 (23*4), 165 почти 164 (41*4), а 143 почти 142 (71*2). Попробуйте применить это знание на практике!

Подсказка 3

23/93 < 1/4; 41/165 < 1/4; 71/143 < 1/2. Что можно сказать про сумму?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

23 23 1 93 < 92 = 4

41 41 1 165 < 164 = 4

71-< 71-= 1 143 142 2

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше $14 + 14 + 12 = 1.$ _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

23 41- 71- 93 + 165 + 143 =

23⋅165-⋅143+-93⋅41-⋅143+-93⋅165⋅71 = 93⋅165 ⋅143 =

542685+ 545259+1089495 = -------2194335-------=

[ ] = 2177439= 65983- <1 2194335 66495

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92040Максимум баллов за задание: 7

Докажите неравенство

log20151+-log20152+-...+-log20152016- log20152017 > 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Искать по формулам сумму такого количества логарифмов сложно, а еще непонятно, к чему это приведет. Давайте избавимся от дробной части, домножив с обеих сторон на 2016.

Подсказка 2

Сколько слагаемых справа? Слева мы один логарифм умножаем на 2016...

Подсказка 3

Сравним каждое слагаемое справа с log₂₀₁₅(2017). Что будет больше?

Показать доказательство

Первое решение.

Так как

log20152017> log20152016> ...> log20151,

то

2016log20152017 >log20152016+ ...+ log20151

log 2017 > log20151+-log20152+-...+-log20152016- 2015 2016

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

После умножения обеих частей на 2016 и применения свойств логарифмов, получаем, что нам достаточно доказать неравенство

2016 log20152017 > log2015(1⋅2⋅...⋅2016)

Указанное неравенство следует из того, что $20172016 > 1⋅2⋅...⋅2016$ , а последнее получается перемножением 2016 неравенств $2017> 1,2017 >2,...,2017> 2016.$

Замечание. Можно получить и более сильную оценку, применим неравенство о средних:

2016√----------- 1+-...+2016 2017 1⋅2⋅...⋅2016≤ 2016 = 2 < 2017

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#58561Максимум баллов за задание: 7

Представьте в виде несократимой дроби:

12+-15- 21+24- 48+-51 18 + 27 +...+ 54 .

Источники: ОММО-2017, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно сократить дроби! Это никак не повлияет на сумму, а дроби станут красивее.

Подсказка 2

Давайте представим каждую дробь, как ее дополнение до целого! То есть 9/6 (первая дробь) это 2 - 3/6. И так далее!

Показать ответ и решение

Сначала сократим дроби

12+-15 21+-24- 48+-51 4+-5 7+-8 16+17- 18 + 27 +...+ 54 .= 6 + 9 + ...+ 18 =

Затем представим каждую дробь через её дополнение до целого числа

3 3 3 ( 1 1 1 1 1) 29 171 = 2− 6 + 2− 9 + ...+ 2− 18-= 2⋅5− 2 + 3 +4 + 5 + 6 =10− 20 =-20

Ответ:

$171 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82702Максимум баллов за задание: 7

Про действительные числа $x,y,z$ известно, что

xy +z = yz+ x= zx+ y

Докажите, что какие-то два из чисел $x,y,z$ равны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, не совсем понятно, как работать с тремя равенствами. Давайте перепишем их в виде системы из двух уравнений: первую часть равенства приравняем ко второй части, вторую часть — к третьей.

Подсказка 2

Попробуем поработать с уравнениями системы. Возможно, получится удобно сгруппировать слагаемые?

Подсказка 3

Сгруппировали, получили уравнения вида (x-z)(y-1)=0. Это значит, что либо две переменные равны между собой, либо третья равна единице. Разберите каждый из случаев.

Показать доказательство

Предположим, что числа попарно различны.

Рассмотрим первую часть равенства:

xy+ z = yz +x

Переносим все слагаемые влево и группируем:

y(x− z)− (x− z)= 0

Выносим $x− z$ за скобки:

(x− z)(y− 1)= 0

Тогда один из множителей $x− z$ или $y− 1$ равен 0. Но, по предположению, все числа попарно различны, поэтому $x − z ⁄= 0.$ Тогда $y =1.$

Аналогичным образом из равенства $yz+x =zx +y$ получаем равенство $(y− x)(z− 1)= 0,$ откуда аналогичными рассуждениями приходим к выводу о том, что $z =1.$

Получилось, что $z =y =1,$ хотя, по предположению, числа $x,y,z$ попарно различны - противоречие.

Тогда получаем, что какие-то два числа из $x,y,z$ равны.