Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Тождественные преобразования на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30987

При каком наименьшем натуральном $k$ выражение

2017⋅2018⋅2019⋅2020 +k

является квадратом натурального числа?

Источники: ОММО-2019, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Достаточно показать, что для $k =1$ условие выполнено, поскольку это наименьшее натуральное число. Действительно, обозначим $n =2017,$ тогда

2 2 n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1= (n + 3n)(n + 3n+2)+ 1=

2 2 2 2 2 = (n +3n) + 2(n + 3n)+1= (n + 3n +1)

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48739

Что больше:

23 41- 71- 1 или 93 + 165 + 143?

Источники: ОММО-2019, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

23 23 1 93 < 92 = 4

41 41 1 165 < 164 = 4

71-< 71-= 1 143 142 2

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше $14 + 14 + 12 = 1.$ _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

23 41- 71- 93 + 165 + 143 =

23⋅165-⋅143+-93⋅41-⋅143+-93⋅165⋅71 = 93⋅165 ⋅143 =

542685+ 545259+1089495 = -------2194335-------=

[ ] = 2177439= 65983- <1 2194335 66495

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92040

Докажите неравенство

log20151+-log20152+-...+-log20152016- log20152017 > 2016

Показать доказательство

Первое решение.

Так как

log20152017> log20152016> ...> log20151,

то

2016log20152017 >log20152016+ ...+ log20151

log 2017 > log20151+-log20152+-...+-log20152016- 2015 2016

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

После умножения обеих частей на 2016 и применения свойств логарифмов, получаем, что нам достаточно доказать неравенство

2016 log20152017 > log2015(1⋅2⋅...⋅2016)

Указанное неравенство следует из того, что $20172016 > 1⋅2⋅...⋅2016$ , а последнее получается перемножением 2016 неравенств $2017> 1,2017 >2,...,2017> 2016.$

Замечание. Можно получить и более сильную оценку, применим неравенство о средних:

2016√----------- 1+-...+2016 2017 1⋅2⋅...⋅2016≤ 2016 = 2 < 2017

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#58561

Представьте в виде несократимой дроби:

12+-15- 21+24- 48+-51 18 + 27 +...+ 54 .

Источники: ОММО-2017, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Сначала сократим дроби

12+-15 21+-24- 48+-51 4+-5 7+-8 16+17- 18 + 27 +...+ 54 .= 6 + 9 + ...+ 18 =

Затем представим каждую дробь через её дополнение до целого числа

3 3 3 ( 1 1 1 1 1) 29 171 = 2− 6 + 2− 9 + ...+ 2− 18-= 2⋅5− 2 + 3 +4 + 5 + 6 =10− 20 =-20

Ответ:

$171 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82702

Про действительные числа $x,y,z$ известно, что

xy +z = yz+ x= zx+ y

Докажите, что какие-то два из чисел $x,y,z$ равны.

Показать доказательство

Предположим, что числа попарно различны.

Рассмотрим первую часть равенства:

xy+ z = yz +x

Переносим все слагаемые влево и группируем:

y(x− z)− (x− z)= 0

Выносим $x− z$ за скобки:

(x− z)(y− 1)= 0

Тогда один из множителей $x− z$ или $y− 1$ равен 0. Но, по предположению, все числа попарно различны, поэтому $x − z ⁄= 0.$ Тогда $y =1.$

Аналогичным образом из равенства $yz+x =zx +y$ получаем равенство $(y− x)(z− 1)= 0,$ откуда аналогичными рассуждениями приходим к выводу о том, что $z =1.$

Получилось, что $z =y =1,$ хотя, по предположению, числа $x,y,z$ попарно различны - противоречие.

Тогда получаем, что какие-то два числа из $x,y,z$ равны.