Последняя цифра
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число называется самодельным, если оно делится на каждую сумму нескольких цифр, стоящих в его записи подряд (в частности, на каждую свою цифру). Докажите, что множество самодельных чисел конечно.
Подсказка 1:
Обратите внимание, что если в записи числа есть 0, то оно не может быть самодельным.
Подсказка 2:
Если рассмотреть префиксы числа x, то число, образованное его первой цифрой, двумя первыми цифрами, тремя и так далее. Как можно связать это с задачей?
Подсказка 3:
Если в числе n цифр, то и префиксов n. Значит, для любого k < n. Найдётся два префикса, кратных k. Что можно извлечь из этого?
Подсказка 4:
Обратите внимание на "разность" этих двух префиксов, то есть на цифры, которые входят в один, но не входят в другой префикс. Она делится на k. Значит, само число делится на k. Если n слишком большое, то так можно добиться делимости x на 10.
Пусть самодельное число 
имеет вид 
Обозначим за 
сумму 
Тогда при 
среди 
по
принципу Дирихле найдутся два числа, дающие одинаковый остаток при делении на 
Пусть это 
и 
где 
Тогда 
делится на 
то есть делится и на 
Применим утверждения для 
и получим, что самодельное число,
имеющее больше пяти разрядов, делится на 2 и на 5, то есть и на 10. Но тогда его запись заканчивается на 0, а на 0 число
делиться не может. Значит, в самодельном числе не может быть больше пяти разрядов и их конечно, что и требовалось
доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
