Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Прогрессии на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80754

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна $180∘⋅(n− 2).$ С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Получаем, что $n= 18$ или $n= 20.$ Но $n =20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘+2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33347

$S$ - сумма первых $10$ членов возрастающей арифметической прогрессии $a ,a,a ,... 1 2 3$ , состоящей из целых чисел. Известно, что $a6a12 >S +1,a7a11 < S +17$ . Укажите все возможные значения $a1$ .

Источники: Физтех - 2021, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии через $d$ . Данные в условии неравенства можно преобразовать следующим образом:

{ (a + 5d)(a +11d)> S+ 1, (a1+ 6d)(a1+10d)< S+ 17 1 1

{ a21+ 16a1d+ 55d2 >S +1 a2+ 16a1d+ 60d2 <S +17 1

Вычитая из второго неравенства первое (а это можно сделать, так как они разного знака), получаем $5d2 < 16$ . Из условия следует, что $d ∈ℤ$ , поэтому $d= 1$ ( $|d|≤1$ и прогрессия возрастает). Тогда $a10 = a1+ 9$ и $S = a1+a210⋅10=$ $5(a1 +a1+ 9)=10a1+ 45$ , и система неравенств принимает вид

{ a21+ 16a1+55> 10a1+45+ 1, a21+ 16a1+60< 10a1+45+ 17

{ a21+ 6a1 +9> 0, a21+ 6a1 − 2< 0

{ a1 ⁄= −3, √-- √-- a1 ∈ (−3 − 11;−3+ 11).

Так как $a1 ∈ ℤ$ , то $a1 ∈ {− 6;−5;−4;−2;−1;0}$ .

Ответ:

$− 6;−5;−4;− 2;−1;0$

Критерии оценки

Составлена система неравенств относительно одного из членов прогрессии и её разности – отдельно не оценивается; найдена разность прогрессии – 2 балла; получено неравенство на разность прогрессии вида 0 < 𝑑 < √ 𝑎, но забыто, что разность целая, и поэтому разность не найдена – 1 балл вместо 2; составлена и решена система неравенств относительно первого члена прогрессии – 2 балла; если при этом приобретена одна лишняя точка, то 1 балл вместо 2; указаны целочисленные значения переменной – 1 балл (этот балл ставится, даже если приобретена одна лишняя точка).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31350

Дана геометрическая прогрессия $b ,b ,...,b , 1 2 3000$ все члены которой положительны, а их сумма равна $S.$ Известно, что если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз. А как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза?

Источники: Физтех-2020, 10.2, (см.olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

3∑000 3000 S = bi = bq-q−−11 i=1

1∑000 q3000− 1 b3k = bq2-q3−-1 k=1

Если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз:

10S = S+ 49bq2q3000−-1 q3− 1

q3000− 1 q3000− 1 9⋅b--q− 1-= 49bq2-q3−-1-

3 9 ⋅ q-− 1-=49q2 q− 1

0 =49q2− 9(q2+q +1)= 40q2− 9q− 9 =(5q− 3)(8q+3)

$q >0,$ поэтому подходит только $q = 35.$

Осталось понять, как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза:

S +bqq3000−-1= S+ Sq q−-1-= 11S q2− 1 q2− 1 8

Замечание.

Если $q = 1,$ то все $bi$ равны, а тогда при увеличении трети членов в $50$ раз сумма не может вырасти всего в $10$ (пользуемся тем, что $bi > 0).$

Ответ:

увеличится в $11- 8$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85032

Дана конечная арифметическая прогрессия $a ,a,...,a 1 2 n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$ , а $a >0. 1$ Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$ , если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?

Источники: Физтех - 2020 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле арифметической прогрессии

2a+ (n − 1)d S = a+ (a+d)+ ...+ (a +(n− 1)d)=----2-----⋅n

Из формулы суммы арифметической прогрессии с разностью $3d$ получаем:

2a+ (n − 1)3d 2S =a +(a+ 3d)+ ...+ (a +3(n− 1)d)= -----2-----⋅n

Пусть сумма арифметической прогрессии с разностью $4d$ была в $k$ раз больше, чем сумма исходной. Тогда получаем:

$kS = a+(a+ 4d)+...+ (a+ 4(n− 1)d)= 2a+-(n− 1)⋅4d⋅n 2$

Из первых двух равенств получаем, что

2a+-(n-− 1)d⋅n⋅2= 2a+-3(n-− 1)d⋅n 2 2

4a+ 2(n − 1)d= 2a +3(n− 1)d

2a =(n− 1)d

Тогда $2a+ 2a S = --2---⋅n= 2an$ . Откуда из выражения для третьей суммы получим

k⋅2an= 2a+-4(n2-− 1)d= 2a+2-8a⋅n= 5an

Значит, $k= 2.5$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$(t+ 1)$ -ый член прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d,3d,4d$ можно выразить, как $a+ td,a+3td,a +4td$ соответственно.

Представим $(t+1)$ -й член прогрессии с разностью $4d$ следующим образом:

a+ 4td= α(a+ td)+ β(a +3td)

При этом хотим найти такие $α,β$ , чтобы равенство было выполнено при любых $t$ и любых $a,d$ . Тогда нужно приравнять коэффициенты в левой части перед $a$ и $d$ , чтобы получилось тождество:

( {a =(α+ β)⋅a, (4td= αtd +β ⋅3td,

( { 1= (α+ β), ( 4= α+ 3β,

То есть $β = 1.5,α= −0.5$ . Так как данное равенство при $β =1.5,α =− 0.5$ выполняется при любых значениях $t$ , будет выполнено равенство для сумм прогрессий:

kS = αS+ β⋅2S =− 0.5S+ 1.5⋅2S = 2.5S

Значит, $k= 2.5$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39770

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на $2$ больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $36- 5$ . Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Источники: Физтех-2019, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq,|q|< 1 1 2$ . Сумма всех нечётных членов равна $-b1-= -b-- 1−q2 1−q2$ , а сумма чётных $-b2-= -bq- 1−q2 1−q2$ , поскольку каждая сумма задаётся первым членом и знаменателем $2 q$ и также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Аналогично, для квадратов знаменателем будет $4 q$ , а первыми членами $2 b$ и $22 b q$ , то есть суммы равны $-b2-- 1− q4$ и $-b2q2 1−q4$ . Запишем равенства из условия

({ -b-- -bq- 1−q22 − 1−b2qq22 = 2 ( 1−bq4 − 1−q4 = 356

( b(1−q) { (1−q2)(1+q)2-=2 ( (1b−q(12−)(q1+)q2) = 356

{ b2 = 4(1+q)2 b2 = 365 (1+q2)

Получим

2 36 2 4(1+ 2q+q )= 5 (1 +q )

2 16q − 40q+ 16= 0

1 q = 2 или 2

Поскольку $|q|< 1$ , то $1 q = 2$ . Отсюда $1 b= 2(1+ 2)=3$ — единственное решение.

Ответ:

$3;1 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#79925

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $48 7 ,$ а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $144 17$ .

Источники: Физтех 2019, 3.3 (olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Известно, что сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b 1$ и знаменателем $q$ равна $b1(1−qn). 1−q$ Для бесконечно убывающей пеометрической прогрессии $|q|< 1,$ поэтому при $n,$ стремящемся к бесконечности, $n q$ стремится к нулю, а сумма членов стремится к $b1- 1−q.$ Кубы членов данной прогрессии ${bn}$ также образуют геометрическую прогрессию с первым членом $3 b1$ и знаменателем $3 q$ , четвёртые степени членов - прогрессию с первым членом $4 b1$ и знаменателем $4 q$ , a квадраты - прогрессию с первым ч.леном $2 b1$ и знаменателем $2 q$ . Суммы этих членов равны соответственно $b3 b4 11−q3,1−1q4$ и $b2 1−1q2$ Из условия получаем систему уравнений

( b3 ( b2 { 11−q3-: b11−q = 478, ⇔ { 1+q1+q2 = 487 ( 1b41−q4-:1b21−q2-= 14147- ( 1b+21q2 = 11447

Делим почленно первое уравнение на второе и получаем $2 11++qq+q2 = 1271 ⇔ 4q2− 17q+ 4= 0,$ откуда $q =4$ или $q = 14.$ Так как прогрессия является бесконечно убывающей, $|q|<1,$ и подходит только значение $q = 14.$ Тогда $b21 = 11447-(1+ q2)= 9$ и $b1 = ±3.$

Ответ:

$b = ±3,q = 1 1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31043

Известно, что числа

x,y,z

образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 2) 5$ , а числа

3+ sinx,3+sin y,3+ sinz

образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $sin y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

По условию $cosα =− 2 5$ . Тогда $sin2α =1 − cos2α = 21 25$ . Так как $α =arccos(− 2) 5$ , то $α∈ [0,π]$ , и значит, $sinα ≥0$ и $sinα= √21 5$ .

По условию $x= y− α$ и $z = y+ α$ .

Тогда

2 √21- 3+ sinx= 3+ sinycosα− cosysinα = 3− 5siny− -5- cosy

3+sin y

√ -- 3+ sinz = 3+ sinycosα+ cosysinα = 3− 2siny+--21 cosy 5 5

образуют геометрическую прогрессию.

Раз это числа вида $a, at, at2$ , то среднее в квадрате равно произведению крайних. Значит

√-- √-- (3 +siny)2 = (3 − 2siny+-21 cosy)(3− 2siny− -21cosy) 5 5 5 5

2 2 2 √21 2 2 2 21 2 (3+ siny) =(3− 5sin y)− (-5-cosy)= (3− 5siny) − 25(1− sin y)

9+6siny+ siny2 = 9− 125-siny+ 425siny2− 2215 + 2215siny2

6siny =− 12siny− 21 5 25

42siny =− 21 5

siny =− 1- 10

Ответ:

$−-1 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#46084

Известно, что числа $x,y,z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 3) 7$ , а числа $--1 -7- -1- cosx,cosy,cosz$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $2 cos y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

14 1 1 14 2cosx+zcosx−z cosy = cosx + cosz ⇐ ⇒ cosy-= 1(cos(x-+2z)+-cos2(x-− z) 2

Кроме того, $x+ z = 2y$ по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда $z − z =2α$ , подставим всё это в равенство выше и получим