Тождественные преобразования, уравнения и системы на Высшей пробе

В данных выражениях умножим числители и знаменатели на соответственно (согласно условию, эти разности ненулевые). Получим те же числа в другом виде:

Без ограничения общности будем считать, что первое и третье числа равны. Тогда

Это симметричное равенство, поэтому теперь можно просто поменять местами две переменные (например, и и проделать те же переходы в обратном порядке, получив равенство третьего и второго чисел:

Деления при этом корректны, так как выражения-делители уже фигурировали ранее в знаменателях, и мы знаем, что они не равны нулю.

Из условия имеем систему

Из первого уравнения системы вычтем второе, получится

Заметим, что

Тогда полученное выше уравнение эквивалентно

Таким образом, хотя бы одно из чисел равно Значит, нам подходит. Докажем, что это значение единственно. Предположим, что существует некоторое такое, что хотя бы одно чисел равно

Для начала подставим, например, и получим

В системе у нас два одинаковых уравнения, поэтому можно оставить только одно:

Подбором находим два решения этого уравнения. Например, и По предположению в разных парах должно быть повторяющееся число. Но его нет, поэтому получено противоречие.

Таким образом, для нельзя утверждать, что хотя бы одно из чисел равно

Первое решение.

На ОДЗ все переменные неотрицательны. Если хотя бы одна равна нулю, то сумма остальных также нулевая и все переменные равны . Учтём это и далее будем считать, что все переменные больше нуля.

Не умаляя общности (в силу симметрии), пусть , тогда посмотрим на первое уравнение

При этом для последнего уравнения

Итак, с одной стороны и (поскольку ). С другой стороны, , откуда (поскольку только в этом случае возможно равенство). Отсюда сразу же получаем

Второе решение.

ОДЗ: . Пусть, не умаляя общности,

К неотрицательным числам мы имеем право применить неравенство о средних для двух чисел:

Перемножая неотрицательные части всех неравенств системы получаем следствие Отсюда

Докажем, что для нетривиального ( решения системы в этом неравенстве должно достигаться равенство.

Сложим три уравнения исходной системы:

Нам подходит случай эта тройка удовлетворяет исходной системе. Иначе из равенства выше делаем вывод, что все три числа меньше единицы быть не могут, ведь тогда левая часть равенства очевидно окажется больше правой (для для

Рассмотрим тогда случай, когда ровно два числа меньше единицы: . Но тогда и третьей число оказывается меньше единицы:

Рассмотрим случай, когда ровно одно число меньше единицы: Но это противоречие

Остаётся случай, когда Но тогда Но из (*) (это было следствие системы после применения неравенства о средних). Остаётся только вариант, чтобы в неравенстве достигалось равенство, для (*) это, как известно, происходит при равенстве чисел. Из системы получаем

Решение №1

Из условия следует, что — ненулевые числа. Из данных равенств получаем

Подставляя это в первую скобку, получаем

Аналогично со второй и третьей скобкой. В итоге данное выражение преобразуется в

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение №2

Домножим числитель и знаменатель на и получим

Из условия получаем, что Подставляя это в последнее выражение, получаем