Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Системы на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88065

Известно, что система уравнений

{ 3x2+ 6y2 − x− y = 6 −3y2+ 6xy− x +2y = 2

имеет ровно четыре решения $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)$ . Найдите сумму

x + y +x + y +x +y + x +y 1 1 2 2 3 3 4 4

Ответ округлите до десятых.

Источники: Межвед - 2024, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Непонятно как искать эти решения, поэтому посмотрим под другим углом на то, что требуется найти. Пусть мы ищем сумму x и сумму y. На что тогда это похоже?

Подсказка 2

Это же теорема Виета для уравнения 4 степени! Тогда нужно из системы выразить уравнение 4 степени для x и y.

Подсказка 3

Из второго уравнения легко выражается x, который можно подставить в первое и получить уравнение 4 степени для y.

Подсказка 4

Сумму для y нашли, а как же найти сумму для x? Нам мешает y^2 в обоих уравнениях. Тогда путем умножения на константу и сложения избавимся от y^2. Тогда остается выразить y через x, подставить y и получить уравнение 4 степени для x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы

2 −3y +6xy− x+ 2y = 2

2 (6y− 1)x =3y − 2y+ 2

Заметим, что $y = 1 6$ не является решением, тогда

x = 3y2−-2y+-2 6y− 1

Поставим $x$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени относительно $y$

(3y2− 2y+2 )2 3y2− 2y +2 3 ---6y-− 1- +6y2− --6y−-1-- − y =6

3(3y2 − 2y+ 2)2− (3y2− 2y+ 2)(6y− 1)+ (6y2− y− 6)(6y− 1)2 = 0

(27y4− 36y3+ 48y2− 24y+12)− (18y3− 15y2+ 14y − 2)+ (216y4− 108y3− 198y2+71y− 6)= 0

243y4− 162y3− 135y2+33y+ 8= 0

Заметим, что раз $(x1,y1),$ $(x2,y2),$ $(x3,y3),$ $(x4,y4)$ — решения системы, то $y1,$ $y2,$ $y3,$ $y4$ будут корнями данного уравнения, причём различными, иначе бы какие-то решения системы совпали в силу выражения $x$ через $y.$ Т.к. многочлен 4-ой степени может иметь не более 4 корней, значит, других не будет. Тогда по теореме Виета

162 2 y1+ y2 +y3+ y4 = 243-= 3

Теперь возьмём второе уравнение системы, удвоим его и сложим с первым уравнением, получим

2 3x − 3x +3y+ 12xy =10

(3+ 12x)y = (10+ 3x− 3x2)

Заметим, что $x= − 1 4$ не является решением, тогда

y = 10+-3x-− 3x2 3+ 12x

Подставим $y$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени теперь относительно $x:$

2 ( 10+ 3x − 3x2)2 10+ 3x − 3x2 3x +6 --3+-12x-- − x− --3+-12x-- =6

6(10+3x − 3x2)2− (10+3x− 3x2)(3+ 12x)+ (3x2− x− 6)(3+ 12x)2 = 0

(54x4− 108x3− 306x2+ 360x+ 600)− (−36x3 +27x2+ 129x+ 30)+

+ (432x4+ 72x3− 909x2− 441x − 54)= 0

486x4− 1242x2− 210x+ 516= 0

Аналогично случаю с $y$ по теореме Виета

x1+x2+ x3+ x4 = 0

В итоге

2 x1+ y1+x2+ y2+ x3+y3+ x4+ y4 = 3 ≈ 0,7

Ответ: 0.7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88067

Придумайте какую-нибудь систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$ , решениями которой были бы все такие пары целых чисел $(x,y)$ , которые удовлетворяют системе неравенств

{ y ≤ 1000 − x2 2 y ≥ x

Других решений у системы быть не должно.

Замечание. Уравнения системы должны быть компактными выражениями (без знаков суммирования, троеточий и т.п.), в записи которых, помимо чисел и собственно неизвестных $x$ и $y$ , разрешается использовать скобки, знак $=$ , стандартные арифметические операции и элементарные функции из школьной программы.

Источники: Межвед - 2024, 11.6 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а каким самым простым способов можно добиться того, чтобы 100-x² y >= 0? А чтобы y - x²>= 0?

Подсказка 2

А что если эти выражения будут стоять под корнем?

Подсказка 3

А как добиться того, чтобы какая-то функция при целых х и у давала какое-то определенное значение?

Подсказка 4

Обратите внимание на тригонометрические функции с аргументами pi * x и pi * y. Какие особенные значения они дают при целых х и у?

Показать ответ и решение

Покажем, что система

(| ----sinπx---- |{ ∘1001−-x2− y-= 0 ||( ∘--sinπy---=0 1+ y− x2

является подходящей. Обозначим систему неравенств за $A$ . Покажем, что любая пара целых чисел, удовлетворяющих $A,$ является решением.

Действительно, пусть $A$ верно, тогда каждое из подкоренных выражений числителей неотрицательно, а каждый из числителей обращается в ноль, поскольку числа $x,y$ целые.

Теперь покажем, что никакая из других пар не является решением. Пусть $(x0,y0)$ — решение, тогда $sinπx= 0,$ следовательно, $x$ — целое и $sinπy = 0$ , следовательно, $y$ — целое. Кроме этого, $1001− x2− y > 0$ , а значит, $1001− x2− y > 1$ , откуда верно первое неравенство системы $A.$ Аналогично получаем, что верно второе неравенство системы $A.$

Ответ: пример в решении

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71647

Известно, что положительные числа $x,y,z$ удовлетворяют системе:

(| x2+ y2+ xy =529 { x2+ z2+√3xz = 441 |( 2 2 z + y = 144

Найдите значение выражения $√3xy +2yz+ xz.$

Источники: Межвед-2022, 11.5 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно, у нас в каждом выражении есть квадраты двух чисел и их произведение. Подумайте, на какую геометрическую теорему похожи наши выражения.

Подсказка 2

Каждое из выражений очень похоже на теорему косинусов. Как мы в таком случае можем геометрически изобразить наши уравнения?

Подсказка 3

Давайте рассмотрим треугольник ABC и точку O, расположенную внутри него. Пусть AO = y, BO = z, CO = x. В таком случае, чему равны величины углов ∠AOB, ∠AOC, ∠BOC и чему равны длины сторон треугольника ABC.

Подсказка 4

Теперь давайте рассмотрим выражение, значение которого нужно найти. Давайте перепишем его на языке сторон треугольника. Тогда сразу станет видно, что √3xy это 4 площади треугольника AOC, 2yz это 4 площади треугольника AOB, xz это 4 площади треугольника BOC. Как теперь мы можем найти значение выражения?

Подсказка 5

Значение выражения - не что иное, как 4 площади треугольника ABC. Осталось только найти его площадь, не забудьте, что мы уже нашли три его стороны.

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC$ с выбранной внутри него точкой $O$ так, что

∘ ∘ ∘ AO = y,OB =z,OC =x,∠AOB = 90 ,∠AOC =120 ,∠BOC =150

$PIC$

Условия системы представляют собой теорему косинусов (в т.ч. теорему Пифагора) для треугольников $AOB, AOC,BOC.$

Отсюда нетрудно понять, что $AB = 12,BC = 21,$ $AC =23.$ Теперь заметим, что

√ - 3xy+ 2yz+ xz =4SAOC + 4SAOB + 4SBOC = 4(SAOC + SAOB +SBOC )= 4SABC

Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле Герона:

12+ 21+ 23 √- p= ----2---- = 28, SABC = 56 5

Следовательно, $√ - 4SABC = 224 5.$

Ответ:

$224√5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95399

Решите систему уравнений

{ x4+ 7x2y+ 2y3 = 0 4x2+ 27xy+ 2y3 =0

Источники: Межвед - 2021, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(t)= t2+ 7ty+ 2y3 2$ . При условии выполнения равенств исходной системы её корнями будут $t = x2 1$ и $t =2x 2$ . Если $t1 = t2$ , то $x1 =0,x2 = 2$ . Отсюда найдём $y1 = 0,y2 = −1$ . Если $t1 ⁄= t2$ , то по теореме Виета