Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Функции на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68097

Существуют ли такие функции $f(x,y)$ и $g(x,z),$ что для любых действительных $x,y,z$ выполняется равенство

f(x,y)− g(x,z)=|y− z|?

Ответ обоснуйте.

Источники: Межвед-2023, 11.5 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала заметим, что в левой части функции f и g принимают в себя переменную x, а правая часть от икса не зависит. Это значит, что можно выбрать любой икс (например, x = 0) и рассматривать новые функции (F(y) и G(z)) уже от одной переменной

Подсказка 2

Не всегда функции, которые принимают в себя переменную, зависят от неё. Подумайте, могут ли наши новые функции быть константами?

Подсказка 3

Хотя бы одна из функций уж точно не является константой! Не умаляя общности, можно считать что это G(z). Тогда существуют такие различные z1 и z2, что G(z1) != G(z2). Подставив z1 и z2, получим, что F(y) = G(z1) + |y-z1| и F(y) = G(z2) + |y-z2|. Может ли это быть правдой?

Подсказка 4

Мы получаем, что |y-z1| - |y-z2| = G(z2)- G(z1). Но ведь правая часть это просто некая константа. Выполняется ли это равенство ДЛЯ ЛЮБОГО y?

Показать ответ и решение

Предположим, что существуют.

Обозначим

f(0,y)= F(y),g(0,z)= G(z)

Тогда из условия получаем

F(y)− G(z)= |y− z|

Если обе функции являются константами, то левая часть равенства является константой, а в правой можно получать разные значения при разных $y,z.$

Тогда хотя бы одна из функций не равна тождественно константе, пусть это $G(z).$ То есть существуют такие $z1 ⁄= z2,$ что $G (z1)⁄=G (z2).$

Подставляем в уравнение:

F (y)= G(z1)+ |y − z1|,F(y)=G (z2)+|y− z2|

Получаем

|y− z |− |y− z|= G(z)− G(z) 1 2 2 1

При $y = z1$ имеем

−|z1− z2|= G(z2)− G(z1)

При $y = z2$ имеем

|z1− z2|=G (z2)− G(z1)

Получается, что

− (G(z2)− G(z1))=G (z2)− G (z1) =⇒ G (z2)= G(z1)

Противоречие с тем, что $G (z1)⁄= G(z2).$

Следовательно, таких функций не существует.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95207

Функция $y =f(x)$ определена на множестве $(0,+∞ )$ и принимает на нем положительные значения. Известно, что для любых точек $A$ и $B$ на графике функции площади треугольника $AOB$ и трапеции $ABHBHA$ равны между собой $(HA,HB$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на ось абсцисс; $O$ — начало координат).

Найдите все такие функции. Решение обоснуйте.

Источники: Межвед - 2021, 11.2 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте отметим точку пересечения OB и AH(a). Можно ли из равенства площадей в условии перейти к другому, которое более удобно исследовать?

Подсказка 2

Обратите внимание на то, что у фигур из условия есть общие части. Это значит, что оставшиеся от них части равновелики. Но тогда снова придётся считать площадь трапеции... нельзя ли перейти к равновеликим треугольникам?

Подсказка 3

Треугольники AOH(a) и BOH(b) равновеликие! А чему же равна их площадь? Понятно, что она зависит от абцисс точек A и B.

Подсказка 4

Если абциссы равны x и t соответственно, то получаем равенство x * f(x) = t * f(t). Осталось лишь понять, какие же фукнции нам подходят ;)

Показать ответ и решение

Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $OB$ и $AH A$ .

$PIC$

Так как площади треугольника $AOB$ и трапеции $ABHBHA$ равны между собой, то площади треугольников $AMO$ и трапеции $MBHBHA$ также равны между собой. Отсюда следует, что равны и площади треугольников $AOHA$ и $BOHB$ .