Функции на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существуют ли такие функции 
и 
что для любых действительных 
выполняется равенство
Ответ обоснуйте.
Источники:
Предположим, что существуют.
Обозначим
Тогда из условия получаем
Если обе функции являются константами, то левая часть равенства является константой, а в правой можно получать разные значения
при разных 
Тогда хотя бы одна из функций не равна тождественно константе, пусть это 
То есть существуют такие 
что
Подставляем в уравнение:
Получаем
При 
имеем
При 
имеем
Получается, что
Противоречие с тем, что 
Следовательно, таких функций не существует.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция 
определена на множестве 
и принимает на нем положительные значения. Известно, что для любых точек 
и
на графике функции площади треугольника 
и трапеции 
равны между собой 
— основания
перпендикуляров, опущенных из точек 
и 
на ось абсцисс; 
— начало координат).
Найдите все такие функции. Решение обоснуйте.
Источники:
Пусть 
— точка пересечения отрезков 
и 
.
Так как площади треугольника 
и трапеции 
равны между собой, то площади треугольников 
и трапеции
также равны между собой. Отсюда следует, что равны и площади треугольников 
и 
.
Пусть абсциссы точек 
и 
равны 
и 
соответственно. Тогда имеем равенство
При каждом возможном 
получаем
