14.05 Аксиомы. Доказательство базовых фактов

• Если две точки окружности лежат в плоскости, несложно построить контрпример. Возьмем произвольную окружность в плоскости . Построим произвольную прямую в плоскости , которая пересекает окружность в двух точках и . Тогда очевидно, что существует плоскость , не совпадающая с и содержащая прямую . Несложно видеть, что две точки окружности лежат в , при этом окружность не лежит в .

  

• Три точки окружности лежат в плоскости. Окружность по определению является плоской фигурой, а три точки, не лежащие на одной прямой (а никакие три различные точки окружности действительно не лежат на одной прямой), единственным образом задают плоскость, значит, вся окружность лежит в этой плоскости.
• Две точки на окружности могут оказаться диаметрально противоположными. Тогда они лежат с центром на одной прямой и существует бесконечное число плоскостей, проходящих через эти три точки. Значит, нельзя гарантировать, что окружность будет лежать в плоскости.

Обозначим через и прямые, проходящие через точку . Допустим противное, т.е. ни , ни не скрещиваются с . Это значит, что и лежат в некоторой плоскости , а и в некоторой плоскости . Очевидно, что и , а также и . При этом мы знаем, что прямая и точка , не лежащая на этой прямой, однозначно задают плоскость, следовательно . Получили, что все три прямые лежат в одной плоскости. Прямые и не могут обе быть параллельны , значит, хотя бы одна из них имеет с точку пересечения, что противоречит условию.

Допустим противное, т.е. что и не скрещивающиеся, тогда они лежат в одной плоскости. При этом по условию и не пересекаются, следовательно, . Получили , что противоречит условию, что пересекает .

Обозначим плоскость ромба через .

а) Прямая параллельна и проходит через , следовательно, . пересекается с , , следовательно, пересекается с .

б) Допустим, что и не скрещиваются. Тогда они однозначно задают некоторую плоскость . Точка лежит в , при этом точка и прямая однозначно задают некоторую плоскость, и эта плоскость является плоскотью ромба (как мы знаем из пункта а). Тогда плоскость ромба и плоскость совпадают, однако это противоречит условию, что не лежит в плоскости ромба. Значит, и скрещиваются.

Допустим противное, т.е. и не скрещиваются. Из этого сразу следует, что все четыре точки лежат в одной плоскости, что противоречит условию « и скрещивающиеся прямые». Значит, и скрещивающиеся.

Рассмотрим плоскость . прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой . Следовательно, по признаку прямые и скрещиваются.

Да. Прямые и не лежат в одной плоскости, следовательно, четыре точки не лежат в одной плоскости. Тогда любая пара прямых, составленная из этих точек, является парой скрещивающихся прямых.