Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.11 Составление уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#16184

В классе учатся 19 мальчиков и 6 девочек. На 8 марта каждый мальчик принес по 3 цветка и подарил их одноклассницам. Все девочки кроме Лилии получили по 9 цветков. Сколько цветков получила Лилия?

Показать ответ и решение

Обозначим количество цветков, полученных Лилией, через $x.$ Тогда девочки получили суммарно количество цветков, равное

9⋅5+ x= 45+ x

Именно столько цветков подарили мальчики, что в сумме дает $19⋅3 = 57$ цветков. Значит, мы получаем равенство

45+ x = 57 ⇒ x= 12

Таким образом, Лилия получила 12 цветков.

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16185

Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на одну шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на одну мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть было $X$ девочек и $Y$ мальчиков.

Пусть мальчики получили по $S$ шоколадок, тогда девочки получили по $S +1$ шоколадке.

Пусть девочки получили по $M$ мармеладок, тогда мальчики получили по $M + 1$ мармеладке.

Тогда из условия имеем систему уравнений:

( {47 =X ⋅(S +1)+ Y ⋅S (74 =X ⋅M +Y ⋅(M + 1)

Сложив уравнения системы, получим

121 = X ⋅(S +M +1)+ Y ⋅(S+ M + 1) 121= (X + Y)⋅(S+ M + 1)

Отсюда количество $X + Y$ всех детей равно либо 11, либо 121.

Для $X + Y = 121$ исходной системе удовлетворяет пример

X = 47, Y = 74, S = M = 0

Для $X + Y = 11$ исходной системе удовлетворяет пример

X = 3, Y = 8, S = 4, M = 6

Способ 2.

Заметим, что всего раздали количество сладостей, равное

47+ 74= 121

При этом все дети в итоге получили поровну, поэтому если через $x$ обозначить количество детей, а через $y$ — количество сладостей на одного ребенка, то мы получим равенство

xy = 121= 112

Так как $x >1,$ то это возможно в двух случаях:

1) $x =11,$ $y = 11.$ Например, 3 девочки получили по 5 шоколадок и по 6 мармеладок, 8 мальчиков получили по 4 шоколадки и по 7 мармеладок.

2) $x =121,$ $y = 1.$ Например, 47 девочек получили по 1 шоколадке и по 0 мармеладок, 74 мальчика получили по 0 шоколадок и по 1 мармеладке.

Значит, всего детей могло быть 11 или 121.

Ответ: 11 или 121

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16186

Артемон подарил Мальвине букет из аленьких цветочков и чёрных роз. У каждой чёрной розы 4 пестика и 4 тычинки, а на стебле два листка. У каждого аленького цветочка 8 пестиков и 10 тычинок, а на стебле три листка. Листков в букете на 108 меньше, чем пестиков. Сколько тычинок в букете?

Показать ответ и решение

Обозначим количество аленьких цветочков через $a$ , а количество черных роз — через $r$ . Тогда листков в букете $2r+ 3a$ , а пестиков — $4r+ 8a$ . При этом известно, что листков на 108 меньше, чем пестиков, значит,

4r+ 8a− (2r+ 3a) = 108 ⇔ 2r+ 5a = 108

Тычинок же в букете $4r+ 10a$ , что в 2 раза больше, чем $2r+ 5a$ . Таким образом, количество тычинок

4r+ 10a = 2(2r +5a) = 2⋅108 = 216

Ответ:

216

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16187

Коля и Вася за осень получили по 60 оценок. При этом Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четверок, четверок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася пятерок. При этом средний балл у них одинаковый. Сколько двоек за осень получил Коля?

Показать ответ и решение

Обозначим количества пятерок, четверок, троек и двоек, полученных Колей, через $x, y, z, t$ соответственно. Те же самые переменные будут обозначать для Васи количество четверок, троек, двоек и пятерок соответственно. Приравняем средние баллы:

5x+-4y+-3z+-2t-= 4x+-3y+-2z+-5t 60 60 x+-y+-z−-3t= 0 60 x+ y+ z =3t

Кроме того, по условию имеем:

x+ y+ z+ t= 60 x+ y+ z = 60− t

Тогда получаем равенство

60− t= 3t t= 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43710

Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено?

Показать ответ и решение

Пусть всего было $n$ детей и $x1 > 1$ — число конфет, которое съел 1-ый ребенок, $x2 >1$ — число конфет, которое съел 2-ой ребенок, $...,$ $xn > 1$ — число конфет, которое съел $n$ -ый ребенок. Пусть также $S = x1+ x2+ ...+ xn$ — число конфет, которое съели все дети вместе. Тогда из условия задачи следует, что

x1+ 7 =S − x1 ⇔ x1 = S-− 7- 2 S-− 7 x2+ 7 =S − x2 ⇔ x2 = 2 ... xn +7 = S− xn ⇔ xn = S−-7- 2

Следовательно, все дети съели равное число конфет, а именно $S-−-7 x1 =x2 = ...= xn = 2 = x.$ Но тогда число всех съеденных конфет равно

S = nx

А из уравнения $x1+ 7= S − x1$ получаем, что $2x =S − 7.$ Получаем систему:

({ 2x= S − 7 ⇒ 2x= nx− 7 ⇔ x(n− 2)= 7 ( S =nx

Получили уравнение с двумя неизвестными, которые принимают только натуральные значения, причем $x >1.$ Так как 7 — простое число, то числа $x$ и $n− 2$ равны 1 и 7. Так как $x> 1,$ то $x= 7,$ а $n− 2= 1.$ Отсюда $n = 3.$

Следовательно, всего съедено: $S = nx= 3⋅7 =21$ конфета.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#60161

В прямоугольной таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а сумма чисел в каждой строке равна 20. Сколько в таблице строк?

Показать ответ и решение

Сумма всех чисел таблицы по столбцам равна $8 ⋅10 = 80,$ значит, строк там $80 :20 = 4.$

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16188

Род Муромцевых, ныне, увы, прекратившийся, основали трое сыновей Ильи Муромца. Все мужчины в этом роду имели по трое детей, за исключением семерых, не оставивших потомства. Всего в роду были 1994 женщины. Сколько всего человек было в роду Муромцевых? Считайте, что роду принадлежали основатели, а также те и только те дети, чей отец принадлежал роду.

Показать ответ и решение

Обозначим количество всех мужчин в роду, в том числе основателей, через $x.$ Посчитаем двумя способами количество людей в этом роду. С одной стороны, их $x+ 1994,$ ведь всех людей можно посчитать, сложив мужчин и женщин.

С другой стороны, каждый человек в этом роду, кроме основателей, является ребенком одного из мужчин этого рода. По условию, каждый мужчина, кроме 7, имел трое детей. Отсюда следует, что детей в этом роду было $3⋅(x − 7).$ Непосчитанными остались лишь сами основатели, поэтому в итоге получается $3⋅(x− 7)+ 3.$

Итак, имеем равенство

x+ 1994= 3⋅(x− 7)+3

Отсюда $x= 1006,$ а количество всех людей в роду равно $1006+ 1994= 3000.$

Ответ: 3000

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел