Тема Аналитическая геометрия

01 Векторы на плоскости. Операции над векторами.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела аналитическая геометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#35746

Даны радиус-векторы $−→rA,−→rB$ и $−→rC$ трёх последовательных вершин трапеции $ABCD$ и отношение её оснований $|AD | : |BC | = k.$

Найти радиус-вектор $−→ rD$ четвёртой вершины.

Показать ответ и решение

Для наглядности давайте сначала нарисуем картинку:

$PIC$

Мы здесь ввели прямоугольную декартову систему координат, и все наши радиус-векторы откладываем от точки начала координат, то есть на рисунке от точки $O.$

Далее, поскольку для любой точки $P$ радиус вектор $−r→ P$ есть не что иное, как разность между точками $P$ и началом координат $O,$ то есть $−→ −−→ rP = P O.$

Таким образом, легко видеть, что $−−→ −→ −→ BC = rC − rB$ и $−−→ −→ −→ AD = rD − rA.$
Далее, поскольку основания трапеции параллельны, то вектора $−−B→C$ и $−−A→D$ - одинаково направлены. А по условию нам дано отношение их длин, оно равно: $|AD | : |BC | = k.$

Воспользуемся этим для того, чтобы нужный нам вектор $−−→ AD$ выразить через известный нам по сути вектор $−−→ BC.$

Имеем: $−−→ −−→ AD = k ⋅BC.$ То есть, иными словами: $−→ −→ −→ −→ rD − rA = k ⋅(rC − rB ).$

Следовательно, у нас готов ответ: $−→ −→ −→ −→ rD = k ⋅(rC − rB) + rA.$

Ответ:

$−r→D = k ⋅(−→rC − −→rB)+ −r→A$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#35749

Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного $n$ -угольника с его вершинами, равна нулю (т.е. нулевому вектору).

Показать доказательство

Мы приведём очень красивое геометрическое доказательство. Но, однако, оно в то же время может показаться "слишком простым". $\text{[math]}$ Разумеется, у этой задачи есть и более алгебраическое, например, координатное решение.

Пусть мы имеем дело с $n$ -угольником. То есть, мы хотим понять, чему равна сумма $−→ −→ −→ v1+ v2+...+ vn$ векторов, идущих из центра этого $n$ -угольника к его вершинам. Обозначим результат этой суммы за $−→ v.$ Т.е. пускай $−→ −→ −→ −→ v1+ v2+ ...+vn = v.$

Сделаем такой трюк: повернём наш $n$ -угольник на $2π n-$ вокруг его центра. С одной стороны, раз мы повернули картинку, то и результирующий вектор $−→ v$ должен повернуться на $2π n-.$ С другой стороны, понятно, что сумма $−→ −→ −→ v1+ v2+ ...+ vn$ от поворота не изменилась, ведь наш $n$ -угольник как раз симметричен относительно такого поворота, т.е. при повороте на $2πn-$ он перешёл сам в себя.

Следовательно, вектор $−→v,$ который является результирующим вектором суммы $−→v1+ −→v2+ ...+ −→vn$ с одной стороны не изменился, а с другой - повернулся на $2nπ.$ Но вектор, который не меняется при повороте на любой ненулевой угол, может быть только $−→0 .$ Значит, тем самым, ничего не остаётся, кроме как того, что $−→v =−→0.$ Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#35408

Доказать, что ортогональная проекция вектора $−→a$ на вектор $−→ b$ равна $−→ −→ −→ −p→ra = <a−→,b>-b . |b|2$

Показать доказательство

Для наглядности нарисуем картинку:

$PIC$

Понятно, что проекция вектора $−→ a$ на направление вектора $−→ b$ будет иметь то же направление, что и вектор $−→ b.$ Нужно только понять, какая будет длина этой проекции.

Косинус угла $α$ между векторами $a$ и $b$ будет равен как раз $−−→ |p|r−→aa|| .$ С другой стороны, косинус этого же угла, из формулы для скалярного произведения, равен $<−→a,−→b>- |−→a|⋅|−→b|.$
Таким образом, мы имеем, равенство $|−p−→ra| <−→a,→−b>- |−→a| = |−→a|⋅|−→b|,$ откуда $−→ <−→a,−→b>- |pra|= |−→b| .$
Следовательно, $−p→ra = <−→a-,−→b>-−→b |−→b|2$ и мы всё доказали.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#35766

Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого треугольника, в свою очередь могут служить сторонами другого треугольника.

Показать доказательство

Что вообще означает, что тройка векторов может служить сторонами какого-то треугольника? Это означает, что если мы приставим эти вектора друг другу в каком-то порядке, то, начав с начала первого вектора и пройдя по всем трём, мы закончим в итоге в начале первого же вектора.

Нарисуем картинку:

Итак, пусть $−→ −→ AB = a,$ $−−→ −→ BC = b ,$ $−→ −→ CA = c..$ Далее, проведём медианы $AM,$ $BN$ и $CP$ соответственно. Дело всё в том, что условие того, что из каких-то векторов можно сформировать треугольник, равносильно тому, что сумма этих векторов в каком-то порядке равна $0.$

У нас, очевидно, $−→ −−→ −→ −→ −→ AB + BC +CA = −→a + b + −→c = 0.$

И нам достаточно доказать, что $−−→ −−→ −→ −→ AM + BN +CP = 0 .$ Для того просто выразим эти вектора, которые являются медианами, через уже данные нам вектора $−→a,−→b$ и $−→c.$

Из-за того, что точки $M,N$ и $P$ являются серединами соответствующих сторон, то очевидно получается, что

−−→ −→b −−→ −→ −→c −→ −→a AM =−→a +-2 ,BN = b + 2 ,CP = −→c + 2

Откуда, легко видеть: $−−→ −−→ −→ −→ −→ −→ AM +BN +CP = 32 ⋅(−→a + b + −→c )= 32 ⋅0 = 0$ (так как мы выше показали, что $−→a + −→b +−→c = −→0$ )
Следовательно, медианы $AM,$ $BN$ и $CP$ могут служить сторонами какого-то треугольника. Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36858

Среди следующих векторов найти:
a) пары равных;
b) пары коллинеарных, но не равных;
c) пары векторов одинаковой длины.

$−→ x1 = (− 3,7),$ $−→ x2 = (4,11),$ $−→ x3 = (1,0),$ $−→ x4 = (0,1),$ $−→ x5 = (1,10),$ $−→ x6 = (0,12),$ $−→x7 = (− 3,0),$ $−→x8 = (6,8),$ $−→x9 = (10,10),$ $−x→10 = (5,7),$ $−x→11 = (5,5),$ $−x→12 = (16,2),$ $−x→13 = (1,10),$ $−x→14 = (16,2),$ $−x→15 = (10,0).$

Показать ответ и решение

a) Как только мы с вами договорились раз и навсегда, что вектора при их координатном задании мы будем откладывать из начала координат, то есть начинать их в точке $O (0,0),$ то равными при координатном задании могут быть только векторы, у которых равны и первая и вторая координаты.

Среди нашего списка, если внимательно посмотреть, есть только две пары равных векторов: $−→ −→ x5 = (1,10) = x13.$ И $−→ −→ x12 = (16,2) = x14.$
b) Векторы $−→x$ и $−→y$ коллинеарны, если координаты одного отличаются от координат другого умножением на константу. То есть $−→x$ коллинеарен с $−→y ,$ если $∃λ ∈ ℝ$ такая, что $−→ −→ x = λ y .$
Имеем: $−→ −→ x15 = 10x3.$ Значит, $−→ x15$ и $−→ x3$ - коллинеарны (сонаправлены).
Ещё заметим, что $−x→7 = − 3−→x3.$ Значит, $−→x7$ и $−x→3$ - коллинеарны (противоположно направлены).
Кроме того, $−→ −→ x9 = 2x11.$ Значит, $−→ x9$ и $−→ x11$ - коллинеарны (сонаправлены).
c) Напомним, что длина вектора $−→x$ вычисляется по формуле : $|−→x | = ∘x2-+-x2. 1 2$
Таким образом, среди наших векторов равную длину имеют: $|−→x5| = |−x→13|,$ т.к. эти векторы просто равны, и $|−→x12| = |−x→14|,$ т.к. они тоже просто равны.
Кроме того, $−→ −→ |x3| = |x4| = 1$ (такие векторы мы будем называть единичными, имея в виду то, что их длина равна $1$ ). Ещё заметим, что $|−→x8|$ = $|−x→15| = 10.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36861

Докажите следующие свойства скалярного произведения:
1. $∀ −→x ,−→y$ выполнено: $< −→x,−→y >=< −→y ,−→x >$ - симметричность.
2. $∀ λ ∈ ℝ,∀ −→x ,−→y$ выполнено: $< λ−→x,−→y >= λ < −→x ,−→y >$ - вынесения множителя за знак скалярного произведения из первого аргумента.
3. $∀ −→x ,−→y ,−→z$ выполнено: $< −→x + −→y ,−→z >= < −→x,−→z > + < −→y ,−→z >$ - аддитивность по первому аргументу.
4. $−→ ∀ x$ выполнено: $−→ −→ −→ 2 < x, x >= |x | ≥ 0$ - положительная определённость и связь с длинной.

Показать доказательство

1. Это свойство симметричности следует напрямую из нашего определения скалярного произведения: $< −→x ,−→y >= |−→x ||−→y |cos α$ , где $α$ - кратчайший угол поворота от вектора $−→x$ к вектору $−→y .$
Действительно, если мы просто поменяем $−→ x$ и $−→ y$ местами, то в формуле $|−→x ||−→y |cosα$ просто поменяются местами сомножители, а угол $α$ останется прежним - всё равно мы берём кратчайший угол поворота от одного вектора к другому, а что от $−→ x$ к $−→ y ,$ что от $−→ y$ к $−→ x$ кратчайший угол один и тот же.

2. Рассмотрим три случая:
2.1. $λ = 0.$ Тогда $−→ −→ −→ −→ −→ < λ x,y >= < 0, y >= |0 ||y |cosα = 0,$ т.к. первый сомножитель - т.е. длина нулевого вектора - равна $0.$
2.2. $λ > 0.$ Тогда $< λ−→x,−→y >= |−→λx||−→y |cosα = λ|−→x ||−→y |cosα =$ $λ < −→x,−→y >$ , т.к. при $λ > 0$ направление вектора $−→ x$ не меняется, а, значит, угол $α$ остаётся прежним.
2.3. $λ < 0$ Здесь всё аналогично предыдщуему случаю 2.2. Однако при $λ < 0$ вектор $−→ x$ сменит направление, и, значит, ближайшим углом поворота будет уже не $α,$ а $π− α,$ а $cos(π − α) = − cosα$ - по формулам приведения. Значит, косинус сменит знак, и мы вновь получим, что $< λ−→x,−→y >= λ < −→x,−→y >$ (отрицательный знак у лямбды и смена знака косинуса друг друга компенсируют).

3. Докажем это свойство, пользуясь формулой для вычисления скалярного произведения на плоскости (в пространстве всё будет работать аналогично):

< −→x + −→y ,−→z >= < (x + y ,x + y ),(z ,z ) >= (x + y )z + (x + y )z = 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2

−→ −→ −→ −→ = x1z1 + x2z2 + y1z1 + y2z2 = < x ,z > + < y ,z >

4. Имеем $−→ −→ −→ < x,x >= x1x1 + x2x2 = x21 + x22 = |x |2 ≥ 0,$ и мы всё доказали.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36862

Доказать, что если нам даны точки $A (a1,a2)$ и $B (b1,b2),$ причём $A ⁄= B$ (т.е. эти две точки определяют невырожденный отрезок), то, если мы захотим этот отрезок $AB$ разделить в отношении $λ , μ$ то в этом отношении он будет делиться точкой $X (x1,x2),$ координаты которой вычисляются по формулам:

μai +-λbi xi = μ+ λ , i = 1,2.

(в трёхмерном пространстве формулы абсолютно аналогичные).

Показать доказательство

Очевидно, что при данных условиях задачи координаты векторов $−−→ AX$ и $−−→ XB$ равны, соответственно $(x1 − a1,x2 − a2)$ и $b1 − x1,b2 − x2$ (мы просто вычли из координат конца вектора координаты его начала).
Ну а что значит, что точкой $X$ мы хотим разбить отрезок $AB$ в отношении $λ μ$ (считая от вершины $A$ )? Это значит, что $μ−A−→X = λ−X−→B,$ ни больше ни меньше. В координатах эти условия записываются как:

({ μ(x1 − a1) = λ(b1 − x1) ( μ(x2 − a2) = λ(b2 − x2)

Эта система уравнений с неизвестными $x1,x2$ имеет единственное решение (считаем $λ ⁄= 0$ и $μ ⁄= 0$ ):

μai +-λbi xi = μ+ λ , i = 1,2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39736

В пространстве дан ортонормированный репер $Oe1,e2,e3$ и пусть его ориентация положительна. То есть, по определению это означает, что кратчайший поворот, если наблюдать его с конца вектора $e3,$ от вектора $e1$ к вектору $e2$ происходит против часовой стрелки, Тогда найти ориентацию:

a) Репера $e2,e1,e3$ ;
b) Репера $− e ,e ,e 1 2 3$ ;
с) Репера $e3,e1,e2$ ;
d) Репера $e ,e ,e 3 2 1$ ;
e) Репера $e1,e2,e2$ ;

Показать ответ и решение

Сделаем общее наблюдение, что, во-первых, если поменять два вектора в репере местами, то ориентация у этого базиса сменится. И если один из векторов репера развернуть в другую сторону (т.е. вместо $v$ взять $− v$ ), то ориентация репера тоже сменится. Это наблюдение и поможет нам решить нашу задачу.

a) Cменили первый и второй векторы местами, значит будет отрицательная ориентация;
b) Умножили один из векторов на $− 1,$ то есть развернули в другую сторону, значит будет отрицательная ориентация;
с) Сменили местами сначала первый и третий векторы, а потом второй и третий. Значит ориентация не изменилась, то есть она положительна. ;
d) Сменили местами первый и третий векторы. Значит, ориентация будет отрицательная.
e) Ориентация компланарной тройки не определена.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#39794

Найти площадь треугольника, натянутого на векторы $v = (10,0,− 2)$ и $u = (1,1,14)$

Показать ответ и решение

По определению векторного произведения, длина вектора $[v,u]$ равна площади параллелограмма, натянутого на $v$ и $u.$ Но ясно, что площадь треугольника, натянутого на $v$ и $u,$ равна половине этой площади.

Ответ:

$√ ---- 3 563$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67949

Какой угол образуют векторы $s$ и $t$ , если известно, что векторы $p = s + 2t$ и $q = 5s− 4t$ взаимно перпендикулярны, а длина векторов $s$ и $t$ равна 1?

Показать ответ и решение

Выпишем условие перпендикулярности векторов $p$ и $q$ :

0 = < p, q >= < s+ 2t, 5s− 4t >= 5 < s, s > +6 < t, s > − 8 < t, t > .

По условию длина векторов $s$ и $t$ равна 1, следовательно $< s, s >= 1$ и $< t, t >= 1$ .

Таким образом, из условия перпендикулярности имеем

< t, s >= 1. 2

В то же время, из определения скалярного произведения:

< t, s >= |t|⋅|s|⋅cosφ = cosφ,

где $φ$ – угол между $t$ и $s$ .

Таким образом, $1 cosφ = 2$ , откуда $π φ = 3-$ .

Ответ:

$π3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67950

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD, BE$ и $CF$ . Вычислить $< −−B→C, −−A→D > + < −C→A, −B−→E > + < −−A→B,−C−F→ >$ .

Показать ответ и решение

Введём ортонормированную систему координат с центром в точке $A$ , осью $Ox$ вдоль стороны $AC$ так, что абсцисса точки $C$ имеет положительную координату и вершина $B$ расположена в первом квадранте. Координаты вершин и векторов:

A = (0,0),B = (p,q),C = (k,0), D = 1(p+ k,q),F = 1 (p,q),E = 1(k,0), 2 2 2 −−A→D = 1 (p + k,q),−−B→C = (k− p ,− q),−C→A = (− k ,0) 2 −−B→E = (1k − p,− q),−A−→B = (p ,q),−C−→F = (1p− k , 1q) 2 2 2

Таким образом, искомая сумма равна

1 ((p+ k)(k− p)− q2 − k2 + 2kp+ p(p− 2k)+ q2) = 0 2

Ответ:

$0$