.01 Векторы на плоскости. Операции над векторами.

Мы приведём очень красивое геометрическое доказательство. Но, однако, оно в то же время может показаться "слишком простым". Разумеется, у этой задачи есть и более алгебраическое, например, координатное решение. Попробуйте придумать его сами.

Геометрически, то есть через векторы, это очень просто доказать.

Пусть мы имеем дело с -угольником. То есть, мы хотим понять, чему равна сумма векторов, идущих из центра этого -угольника к его вершинам. Обозначим результат этой суммы за Т.е. пускай

Сделаем такой трюк: повернём наш -угольник на вокруг его центра. С одной стороны, раз мы повернули картинку, то и результирующий вектор должен повернуться на С другой стороны, понятно, что сумма от поворота не изменилась, ведь наш -угольник как раз симметричен относительно такого поворота, т.е. при повороте на он перешёл сам в себя.

Следовательно, вектор который является результирующим вектором суммы с одной стороны не изменился, а с другой - повернулся на Но вектор, который не меняется при повороте на любой ненулевой угол, может быть только Значит, тем самым, ничего не остаётся, кроме как того, что Что и требовалось доказать.