.01 Векторы на плоскости. Операции над векторами.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Среди следующих векторов найти:
a) пары равных;
b) пары коллинеарных, но не равных;
c) пары векторов одинаковой длины.
Чтобы решить эту задачу, возможно, понадобится нарисовать картинку и
изобразить все эти векторы на плоскости (впрочем, так делать и не
обязательно). Но когда наши вектора заданы так как здесь - только двумя
числами, то на самом деле совершенно неочевидно, как их все рисовать?
А именно: для всех этих векторов из нашего задания, как и для
любого другого вектора, заданного лишь своими двумя координатами,
существует бесконечно много эквивалентных способов его нарисовать.
Смотрите сами: возьмём, к примеру, вектор 
С одной стороны,
логично его нарисовать вот так - отложить 
по иксу и 
по
игреку.
Ну а с другой стороны, кто нам мешает нарисовать тот же самый
скажем, вот так?
На этом рисунке нарисован вектор, равный вектору на предыдущем
рисунке. Действительно, они коллинеарны, одинаково направлены, и
равны по длине.
И действительно, это только краткая иллюстрация того, что у нас есть
большой произвол, как рисовать вектор, если заданы только две его
координаты.
Произвол этот, если задуматься, состоит лишь в том, как мы выберем
точку приложения, то есть начало вектора. Как только мы определимся, от
какой точки откладывать наши вектора, мы уже любой вектор сможем
однозначно нарисовать по двум (или трём, если речь идёт о трёхмерном
пространстве) координатам.
Именно так в математике возникает договорённость все вектора рисовать
ИЗ НАЧАЛА КООРДИНАТ. То есть из точки 
перечения
координатных осей 
и 
Таким образом, для нас в каком-то смысле "правильным"
будет только
первый вариант рисунка:
Впрочем, конечно, эту задачу можно решить и без рисунков.
a) Как только мы с вами договорились раз и навсегда, что вектора при их
координатном задании мы будем откладывать из начала координат, то есть начинать
их в точке 
то равными при координатном задании могут быть только
векторы, у которых равны и первая и вторая координаты.
Среди нашего списка, если внимательно посмотреть, есть только две пары равных
векторов: 
И 
b) Векторы 
и 
коллинеарны, если координаты одного отличаются от
координат другого умножением на константу. То есть 
коллинеарен с 
если
такая, что 
Имеем: 
Значит, 
и 
- коллинеарны (сонаправлены).
Ещё заметим, что 
Значит, 
и 
- коллинеарны (противоположно
направлены).
Кроме того, 
Значит, 
и 
- коллинеарны (сонаправлены).
c) Напомним, что длина вектора 
вычисляется по формуле : 
Таким образом, среди наших векторов равную длину имеют: 
т.к. эти векторы просто равны, и 
т.к. они тоже просто равны.
Кроме того, 
(такие векторы мы будем называть единичными, имея в
виду то, что их длина равна 
). Ещё заметим, что 
=
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
