.01 Векторы на плоскости. Операции над векторами.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На множестве всех векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве у нас
определены 
операции:
1. Сложение двух векторов 
Сложение геометрически определяется через
правило параллелограмма, известное из школы. А именно: вектор 
есть
диагональ параллелограмма, построенного на векторах 
и 
(начинающаяся в
той же точке, что и вектора 
и 
).
2. Умножение вектора 
на любой скаляр 
Геометрически это означает, что мы
просто длину вектора 
умножаем на 
(притом если 
то наш вектор после
умножения на 
меняет направление на противоположное, а если 
- то
смотрит туда же, куда и раньше.)
Задача. Докажите следующие свойства этих операций:
a) 
выполнено: 
- коммутативность сложения.
b) 
выполнено: 
- ассоциативность
сложения
c) 
такой, что выполнено: 
- существование у любого вектора
обратного.
a) Это свойство с очевидностью следует из геометрического определения сложения
векторов. Действительно, в каком бы порядке мы ни взяли вектора 
и
параллелограмм, построенный на них, будет одним и тем же, а, значит,
одной и той же будет сумма, вне зависимости от порядка: 
b) Доказательство проводится методом пристального взгляда на картинку: Сначала
сложим вектора в одном порядке: 
:
А затем, в другом 
:
Нетрудно видеть, что получается одно и то же, то есть 
с) Геометрически это более-менее очевидно. В качестве обратного к вектору 
нужно взять вектор 
то есть вектор, коллиеарный и противоположно
направленный к вектору 
.
Он будет иметь ту же длину, что и 
но противоположное направление. Тем
самым, по правилу параллелограмма, их сумма будет равна 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
