Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121573

Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения

∘---------∘------ 2 1+ 1 +8x2− 6x 1− x2 = 10x

Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.1(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?

Подсказка 2

По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.

Подсказка 3

Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сразу отметим, что $|x|≤1.$ Преобразуем подкоренное выражение:

2 ∘ ----- 2 ∘----- 2 (∘ ----- )2 1+ 8x − 6x 1− x2 =1 − x − 6x 1− x2+ 9x = 1− x2− 3x

Тогда изначальное уравнение приводится к виду:

| ∘ ----| 1+ ||3x− 1− x2||= 10x2

Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 ≥ 0

∘ ----- 3x ≥ 1− x2

{ x ≥0 9x2 ≥ 1− x2

{ x≥ 0 10x2 ≥1

1 x ≥√10-

Изначальное уравнение имеет вид:

∘ ----- 1 +3x− 1− x2 = 10x2

2 ∘ ---2- 2 1− x − 1− x +3x− 9x = 0

Пусть $√1−-x2 = t≥0,$ то

t2− t+ 3x− 9x2 =0

По формуле корней квадратного уравнения

∘ ------------- ∘ ------- t= 1±---1− 4-⋅(3x−-9x2)= 1-±-(6x-− 1)2= 1±-(6x−-1) 2 2 2

Если $t= 1+6x−1= 3x, 2$ то

2 2 1− x = 9x

x = √1- 10

Если $t= 1−6x2+1= 1− 3x,$ то

∘ ---2- 1− x =1 − 3x

{ x ≤1∕3 1− x2 = 1− 6x +9x2

( ||{ x⌊ ≤1∕3 x =0 ||( ⌈ x = 3 5

С учётом $x≥ √1-, 10$ корнем является только $x= √1-. 10$

Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 < 0

∘ ----- 3x < 1− x2

[ 1 ) x∈ −1;√10

Изначальное уравнение приобретает вид:

1 − 3x+ ∘1-− x2 = 10x2

∘ ----- 1− x2+ 1− x2 − 3x− 9x2 = 0

Пусть так же $√ ----- 1− x2 = t≥ 0.$ Тогда

−1 ±∘1-−-4⋅(−-3x-− 12x2) −1± ∘(6x+-1)2 −1± (6x+ 1) t= ----------2--------- = ------2------= ----2-----

Если $−1+6x+1 t= --2---= 3x,$ то

∘ ----- 1− x2 = 3x

{ x ≥02 2 1 − x = 9x

-1- x = √10

Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.

Если $−1− 6x−1 t= --2----=− 1− 3x,$ то

∘ ----2 1− x = −1− 3x

{ x ≤−1∕3 1− x2 = 1+ 6x +9x2

{ x≤ −1∕3 10x2 =− 6x

( ||{ x⌊≤ −1∕3 | ⌈ x= 0 |( x= − 3 5

Подходит по условию только $x= − 3. 5$

Таким образом, корни уравнения $3 x= − 5$ и $-1- √10.$ Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это $x =− 3, 5$ а минимальный по модулю – это $x= √1-. 10$

Ответ:

Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: $x= − 3; 5$ минимальный по модулю: $x = √1-. 10$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125112

Решите уравнение

∘ --2------- ∘-2------- ∘ -------2 ∘---√- ∘ --√-- 4x − 12x+ 9+ x − 6x+ 9+( −(x− 2)) = 3+ 8− 3− 8

Источники: Ломоносов - 2025, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала выпишем ограничения, а потом заметим, что под каждым корнем выделяются полные квадраты. Соответствующим образом преобразуем выражение.

Подсказка 2

Не забываем о том, что нужно навесить модули на подкоренные выражения после вынесения их из корня. Дальше выражение тривиально решается рассмотрением промежутков для подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты при условии $x≤ 2:$

∘---2----------2- ∘ -2---------2- ∘-----√---- ∘ ---√----- (2x)− 2⋅2x⋅3+ 3 + x − 2⋅3⋅x+3 − x+ 2= 1 +2⋅ 2+2 − 1− 2 2+ 2

∘ ------- ∘ ------ ∘----√--- ∘ ---√---- (2x − 3)2+ (x− 3)2− x+ 2= (1+ 2)2 − (1 − 2)2

√- √ - |2x − 3|+|x− 3|− x+ 2= 1+ 2− ( 2− 1)

|2x− 3|+ |x− 3|= x.

То есть, с учётом ОДЗ, получаем, что $x∈[1.5;2].$

Ответ:

$[1.5;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2- √6+-x−-x2 ---2x-+5-- ≥ --x-+4---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

( ( (x− 3)(x +2)≤ 0 ( x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 ||||{ ||||{ 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ x⁄= − 5 ⇐⇒ x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] |||( x+ 4⁄= 0 ||||( 2 ||||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ -------- [ 6+ x− x2 =0 ⇐⇒ 6+ x− x2 = 0 ⇐⇒ x= 3 x= −2

Во-вторых, $√ ------2- 6+ x− x >0,$ значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения $2x+ 5$ и $x+4$ положительны.

1 1 2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае $x∈ [− 2,−1].$

В итоге, объединив все случаи, получим $x ∈[−2,− 1]∪ {3}.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

( (| (x− 3)(x +2)≤ 0 (| x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 |||{ |||{ | 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ | x⁄= − 5 ⇐⇒ | x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] ||( x+ 4⁄= 0 |||( 2 |||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------( − x− 1 ) (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на $− 1$ неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----) (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток $[−2,− 1]$ и подставляя, например, точку $x =− 32,$ получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток $[−1,3],$ можем подставить $x= 0$ и получить, что знак плюс. Итого, решение получается $x∈ [−2,−1]∪{3}$ (не забываем, про не выколотые точки).

Ответ:

$[−2,−1]∪{3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88712

Решить уравнение

∘ √------√-------√-- 4√----- 4√----- 4√- 2x− 1+ 3x− 1 − x− 2x− 1− 3x− 1+ x= 0

Источники: САММАТ - 2024, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на уравнение. Есть много похожих слагаемых, что можно сделать для удобства?

Подсказка 2

Замену! Попробуем избавиться от корней и заменить корни 4-й степени. Как можно работать с получившимся уравнением?

Подсказка 3

С одной стороны корень, с другой стоит число, поэтому возведем обе части в квадрат! Что получим после преобразований?

Подсказка 4

0 = c^2 + ab - ac - bc. Остается лишь вспомнить, к чему мы стремимся, когда с одной стороны уравнения стоит 0, и решить его!

Показать ответ и решение

Обозначим корни четвёртых степеней через $a,b$ и $c$ , тогда уравнение примет вид:

∘ -2--2---2 a +b − c = a+b− c

После возведения в квадрат и приведения подобных получаем равенство

0= c2 +ab− ac− bc,

что равносильно

(c− b)(c− a)= 0,

откуда либо $c= b$ , то есть $x = 12$ , либо $c= a$ , откуда $x =1$ .

При подстановке оба корня подходят (её необходимо сделать, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние корни).

Ответ:

$1 ;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90448

Пусть $x <y$ — положительные действительные числа такие, что

√ - √- √---- ∘ ---- x+ y = 4 и x +2+ y+2 =5.

Найдите $x$ .

Источники: Турнир Ломоносова - 2024, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте в обоих уравнениях в одной части оставить корни от одной и той же переменной и возвести в квадрат.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы можем избавиться от второй переменной, выразив её в обоих уравнениях системы через первую и записав за счёт этого новое равенство для одной переменной.

Подсказка 3

Попробуйте снова перенести одно выражение с корнем в одну часть, а всё остальное в другую и возвести в квадрат. Так мы получим квадратное уравнение относительно корня из x.

Показать ответ и решение

Запишем равенства в следующем виде:

√ - √ - ∘ ---- √---- y = 4− x и y+2 =5 − x +2.

Учитывая ограничение $x ≤16$ возведём их в квадрат и выразим $y$ :

√ -2 √----2 y = (4 − x) и y = (5− x+ 2)− 2.

Получаем уравнение

(4− √x)2 = (5− √x-+2)2− 2.

После раскрытия полных квадратов и приведения подобных оно примет вид

10√x+-2= 8√x+ 9.

После возведения в квадрат получим уравнение

36x− 144√x − 119= 0.

Решая его как квадратное относительно $x$ , получаем

√-- 17 √-- 7 x1 =-6 , x2 =6,

откуда

x1 = 289,x2 = 49. 36 36

По ОДЗ оба корня проходят, но при первом корне $y < x$ , значит он не подходит.

Ответ:

$49 36$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#69995

Решите уравнение

-----15---- ∘3-----3- x( 3√35− 8x3) =2x+ 35− 8x

Источники: ШВБ-2022, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что у нас в уравнениях есть общая "некрасивая" часть. Что тогда с ней хочется сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить это выражение на t. А что тогда мы получаем из исходного уравнения и замены?

Подсказка 3

Точно, у нас получаются два уравнения с двумя неизвестными. То есть осталось только решить систему уравнений и не забыть учесть ОДЗ. А как же решать казалось бы эту страшную систему?

Подсказка 4

Можно выбрать такой путь. В исходном уравнении после замены у нас получается сумма кубов, которую можно разложить. Тогда одна из скобок нам уже будет известна. Теперь раскройте скобки, а дальше вернитесь к первой подсказке. Затем останется совсем немного доделать, и победа!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x⁄= 0 { x⁄= 0 3 ⇐ ⇒ 3√35 35− 8x ⁄=0 x⁄= 2

Сделаем замену $t= 3√35−-8x3$ . Тогда $t3 = 35− 8x3$

Получаем систему

{ t3+ 8x3 = 35 { (t+ 2x)3− 3⋅2xt2− 3⋅4x2t=35 15-=2x +t ⇐ ⇒ 15= 2x +t ⇐⇒ xt xt

{ (1x5t)3 − 3⋅2xt2 − 3⋅4x2t=35 { (15xt)3− 3⋅2(xt2+2x2t)=35 ⇐⇒ 1x5t = 2x+ t ⇐ ⇒ 15 =2x2t+ t2x ⇐ ⇒

{ ( ) ⇐ ⇒ 15xt-3− 3⋅2⋅15 =35 15 =2x2t+t2x

Преобразовав первое уравнение, получим

(15)3 xt = 125

xt= 3

Сделаем обратную замену

∘3------- x⋅ 35− 8x3 = 3

3 3 x (35− 8x) =27

Решив квадратное уравнение относительно $x3,$ получим

[ x= 1 x= 32

Ответ: 1; 1,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74467

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?

Подсказка 2

Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...

Подсказка 3

Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:

∘ -3-3------4---4 ∘-3-3-------3---4- x y +xy +x + y = x y + xy+xy + x y

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:

4 4 3 3 x +y − xy − xy =0

x3(x− y)− y3(x − y)= 0

(x− y)(x3− y3)= 0

(x − y)2(x2 +xy+ y2)=0

[ [ x− y =0 ⇔ x =y x2 +xy+ y2 = 0 x =y =0

Второе выражения это верно, т.к. $x ≥0$ и $y ≥ 0.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72250

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству:

√-- ∘ ---------- ∘------- ∘y-(1-− x) xy + (1 − x)(1 − y)= 7x(1− y)+---√7---

Найдите наибольшее значение выражения $x+ 7y.$ Ответ обоснуйте.

Источники: Муницип - 2021, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни - пишем ограничения, возможно, они уже как-то приблизят нас к ответу.

Подсказка 2

Получили 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Если оценивать грубо, без оглядки на уравнение, то можно сказать, что x + 7y ≤ 8, но почти очевидно, что это не будет ответом, так что давайте поработаем над уравнением. У нас тут куча корней да еще и две переменных, кроме разложения на множители, пожалуй, тут ничего и не придумаешь. Подуйте, как здесь это лучше всего сделать.

Подсказка 3

Давайте из первого и третьего слагаемого вынесем √(7x), а из второго и четвертого -√(1-x). Как тогда будет выглядеть наше уравнения после вынесения разложения на множители?

Подсказка 4

Мы получаем два множители, один из которых зависит от x, а второй от y, а их произведение равно нулю. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом мы получаем два случая. Рассмотрите оба и найдите максимально значение x+7y для каждого.

Показать ответ и решение

Числа $x$ и $y$ одного знака (иначе не существует $√xy-$ ). Они не могут быть оба отрицательными (иначе не существуют корни, стоящие в правой части равенства. Если $x> 0$ , то $y ≤ 1$ (иначе не существует $∘------- 7x(1− y)$ ) и аналогично из неравенства $y > 0$ следует, что $x ≤1$ . Значит, $0 ≤x ≤1$ и $0≤ y ≤ 1$ . При этих условиях возведём обе части уравнения в квадрат (переход равносильный, так как обе части уравнения неотрицательны):