Разрезания и геометрические конструкции в текстовых

Первое решение. Увеличим каждого прямоугольника сторону, перпендикулярную отмеченной, до При этом его площадь не уменьшится и станет (численно) равной длине выбранной стороны. Таким образом, сумма длин выбранных сторон равна сумме площадей удлинённых прямоугольников, которая, в свою очередь, не меньше площади единичного квадрата.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Спроектируем все отмеченные отрезки на одну из сторон квадрата. Если она полностью покрыта проекциями, то их суммарная длина не меньше Если на стороне есть точка, не покрытая проекциями, то проведём через неё перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр покрыт прямоугольниками, в которых отмечена сторона, параллельная ему (иначе основание перпендикуляра покрыто проекцией отмеченной стороны), значит, суммарная длина этих отрезков равна

Максимальное число вершин у имеющихся многоугольников возрастает, только если от -угольника отрезать треугольник, и останется -угольник. Если раз так сделать, получится треугольников. Если же так сделать не более раз, то получится максимум угольник. Продолжая разрезания достаточно долго так, чтобы треугольников появилось не более мы получим много многоугольников с числом вершин от до После того, как будет ещё сделано более разрезаний, у нас окажется многоугольников какого-то вида.

Предположим противное, тогда ровно у треугольников хотя бы одна из сторон является стороной исходного многоугольника. Заметим, что у каждого треугольника не более двух сторон обладают данным свойством, а, значит, суммарно все треугольников содержат не более сторон исходного треугольника, а, значит, по крайней мере еще какой-то треугольник содержит сторону исходного многоугольника, что противоречит условию.

Покажем, что количество ходов при правильной игре определено однозначно и равно Действительно, рассмотрим многоугольник после последнего хода. Если при этом образован хотя бы один четырехугольник, в котором не проведены диагонали, то следующий игрок мог продолжить игру — противоречие. Таким образом, после последнего хода многоугольник триангулирован, следовательно, в нем проведено внутренних диагонали.

Таким образом, первый игрок выигрывает, если нечетно, то есть четно, второй — во всех остальных случаях.

Назовем рб.триангуляцией правильного -угольника триангуляцию, в которой все треугольники являются равнобедренными. Пусть

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 1. Для любого натурального

Доказательство. Рассмотрим строну правильного -угольника. После разбиения она должна быть включена некоторый в равнобедренный треугольник Далее рассмотрим два варианта

1.

является основанием Тогда третья вершина лежит на серединном перпендикуляре к а с другой стороны является вершиной исходного многоугольника, что невозможно.

2.

является ребром Тогда третья вершина является одной из соседних к концу вершинам.

Таким образом, все стороны -угольника входят в треугольники любой триангуляции парами соседних, следовательно, при последовательной нумерации вершин числами от до при некоторой четности, все соседние вершины данной четности соединены отрезком.

Наконец, рб.триангуляция существует в том и только в том случае, если существует рб.триангуляция для правильного -угольника, что и отображает доказываемое равенство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к исходному доказательству. Разобьем натуральный ряд на множества для всех нечетных Каждое число попадет в некоторое из данных множеств, причем ровно один раз. Заметим, что, в силу леммы на всех элементах некоторого из данных множеств значения функции равны между собой, а, значит, нам достаточно решать исходную задачу лишь для нечетных

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 2. Если при некотором натуральном то рб.триангуляция существует тогда и только тогда, когда

при некотором натуральном

Доказательство. Поскольку нечетно существует по крайней мере одна сторона такая, что она образует треугольник не с соседней стороной многоугольника, а, значит, является основанием некоторого треугольника в триангуляции.

Назовем -сектором фигуру, которая лежит в одной из полуплоскостей относительно некоторой диагонали и содержит сторон исходного многоугольника. Данную диагональ назовем его основанием.

Таким образом, исходный многоугольник разбивается на на два -сектора. Основание -сектора не может являться ребром некоторого треугольника, то есть является его основанием, следовательно, триангуляция существует только тогда, когда существует вершина на серединном перпендикуляре к основанию, то есть когда кратно

Так, каждый из -секторов разбивается на два -сектора, для каждого из которых верны рассуждения выше, пока сектор не будет содержать одну сторону. Тем самым, при некотором натуральном

Из данных рассуждений однозначно строится пример для любого

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, любой -многоугольник имеет рб.триангуляцию тогда и только тогда, когда причем для некоторого натурального а, значит, для некоторого натурального

Пример:

Пример подходит, потому что центрами симметрии прямоугольников являются точки пересечения их диагоналей, а данный многоугольник не имеет центра симметрии, так как если он лежит вне синего отрезка, проходящего через середину одной из сторон, левые вершины многоугольника перейдут не в точки многоугольника, а если он лежит вне красного отрезка, проходящего через середину другой стороны, то верхние вершины многоугольника перейдут не в точки многоугольника.

Рассмотрим пример, подходящий под условие, с максимальным количеством кубов. Выберем из всех кубов в этом примере наибольший куб пусть его сторона равна и при этом Тогда заменим этот куб на куб со стороной лежащий строго внутри Покажем, почему новый пример также подходит под все условия. Во-первых, куба в примере еще не было, так как иначе лежал строго внутри Далее, если какой-то куб лежит строго внутри то и до этого куб лежал внутри куба что противоречит условию. Пусть, наоборот, сам куб лежит внутри какого-то куба Тогда сторона этого куба не меньше с другой стороны, максимальная сторона всех кубов, поэтому сторона в точности равна Но единственный куб со стороной строго внутри которого лежит это собственно куб а мы его из примера удалили. Поэтому такая ситуация невозможна, и значит новый набор кубов также подходит под все условия. Будем описанным выше образом заменять кубы на меньшие, пока не закончатся кубы со сторонами, большими В конце стороны всех кубов будут равны или а таких кубов не больше Осталось убедиться, что набор всех кубов со сторонами и очевидно, подходит под условие задачи, значит, ответ в точности

Рассмотрим вершину квадрата. Отрежем от квадрата эту вершину, проведя разрез близко к вершине. Мы получим маленький треугольник, а количество вершин у оставшейся фигуры увеличится на одну. Сделаем так с каждой вершиной квадрата. Мы получим четыре треугольника и один восьмиугольник — в точности то, что и требовалось по условию.

Решение

Отметим у квадрата по две точки на каждой стороне и еще по одной точке недалеко от каждой стороны. Проведем отрезки так, как показано на рисунке. Вырежем получившихся треугольника. Тогда оставшаяся фигура — -угольник, значит, мы получили искомое разрезание.

Посмотрим на вершины -угольника. Каждая из этих вершин должна являться также вершиной либо исходного квадрата, либо одного из треугольников, на которые мы разрезали исходный квадрат. У квадрата вершины, у четырех треугольников вершин. В сумме получается вершин. Значит, у -угольника останется вершина, не совпадающая ни с вершиной квадрата, ни с вершиной треугольника. Тогда угол при ней равен , что противоречит определению вершины многоугольника. Мы пришли к противоречию, значит, указанное разрезание невозможно.

Чтобы получить только два треугольника, разрез должен идти по прямой от вершины треугольника к противоположной стороне. Обозначим точки на противоположной стороне, через которую проходит разрез, через . Изначально угол вокруг нее был развернутым, то есть равнялся . После разреза этот угол поделился на два угла (не обязательно равных). Если каждый из углов меньше , то их сумма меньше , но их сумма должна равняться исходному углу, то есть . Значит, хотя бы один из углов не меньше , и тогда треугольник, в котором он находится, не будет остроугольным.

Рассмотрим произвольный остроугольный треугольник. Проведем в нем высоту . Мы получили два прямоугольный треугольника и . Рассмотрим один из них, например, . Отметим на гипотенузе произвольную точку , отличную от основания высоты. Проведем отрезок . Тогда один из двух образовавшихся треугольников тупоугольный, а другой — остроугольный. Мы получили разбиение исходного треугольника на три треугольника , , , один из которых, а именно , прямоугольный, а два других — остроугольный и тупоугольный.

Рассмотрим угол в и проведем внутри него еще три луча из вершины угла. Тогда каждый угол между пятью лучами (тремя проведенными и двумя сторонами угла) будет не больше исходного угла, то есть не больше . Значит, каждый угол, который будет посчитан для такой конструкции, будет острым.

Пять лучей делят угол вокруг точки, то есть , на пять частей. Если каждая из этих частей не меньше , то сумма их градусных мер не меньше , что невозможно, так как их сумма равна . Значит, по крайней мере один угол из рассматриваемых пяти будет меньше . Тогда именно его градусную меру мы и считали, когда выбирали два луча, являющиеся сторонами данного угла (так как другой угол будет больше ). Но угол, меньший , острый. Поэтому все посчитанные углы не могут оказаться тупыми.

Рассмотрим . Отложим от луча угол так, чтобы луч лежал внутри угла . Проведем еще два луча и очень близко с лучом , например так, чтобы , и лучи шли в порядке , , , , , как показано на рисунке.

Таким образом, углы , и тупые, так как они не меньше , углы , и острые, так как они не больше , углы , , не больше , и наконец , то есть он острый. Итого мы получили тупых угла и острых.

Посмотрим на угол квадрата. Он равен . Два угла равносторонних треугольников в нем не поместятся, а один угол в не покроет весь угол в . Значит, возле угла квадрата обязательно останется часть, не принадлежащая никакому равностороннему треугольнику. Таким образом, разрезать квадрат на равносторонние треугольники нельзя.

Один из возможных примеров разрезания указан на рисунке.

Комментарий. Конечно, для полного решения в данном случае достаточно привести любой пример. Но для его построения полезны какие-то дополнительные соображения. В этой задаче разумно начать разбиение с остроугольных треугольников: дело в том, что их на этой картинке можно отметить очень малым числом способов! А так, чтобы еще и сразу , так вообще буквально единственным способом с точностью до поворота картинки. Остальная же часть разрезания уже восстанавливается однозначно. Такие части конструкции, в которых возможность маневра крайне мала, называют узким местом.

Предположим, что разрезание возможно. Посчитаем сумму углов треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна , поэтому сумма углов всех треугольников равна .

Посчитаем сумму углов по-другому. Сумма углов всех треугольников не больше суммы углов, которые могут образоваться вокруг отмеченных точек. У нас отмеченные точки, из них угловые, и вокруг них сумма углов как максимум , а точек лежат на границе, и вокруг них сумма углов как максимум по . Поэтому получается, что максимально возможная сумма углов равна , что меньше, чем . Итак, получить сумму углов треугольников, равную , не отмечая дополнительные точки, нельзя.

Для начала покажем, как вырезать такое количество параллелепипедов. Очевидно, что с помощью таких параллелепипедов можно вырезать часть кубика размера . Тогда останется часть размера . Из неё, в свою очередь, можно вырезать кусок — останется часть размера . И наконец, вырезав из этой части кусок размера , оставим непорезанный кубик . Итого, мы вырезали параллелепипеда.

Докажем теперь, что большее количество вырезать не получится. Действительно, разобъём кубик на “диагональные” слои (см.картинку ниже), которые раскрасим по циклу в 4 цвета. Несложно убедится, что в каждом параллелепипеде содержится ровно 1 кубик каждого цвета. При этом заметим, что при разбиении из примера у нас остался угловой куб размера , в котором присутствуют только кубики трёх цветов. Значит, существует цвет, в который покрашено ровно 52 кубика, поэтому не получится вырезать параллелепипедов больше этого количества.

Заметим, что красных сливок , так как при разрезании получается на одну часть больше, чем было сделано разрезов. Тогда желтых сливок , а зеленых — . То есть всего сливок , но тогда при разрезании по всем сливкам получится части торта.