Тема Линал и алгебра.

10 СЛУ и матрицы. Метод Гаусса.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#94069

Найти многочлен $p$ второй степени такой, что

p(1) = 8, p(− 1) = 2, p(2) = 14

Показать ответ и решение

Произвольный многочлен второй степени имеет вид

p(x) = ax2 + bx + c

Из условий $p(1) = 8, p(− 1) = 2, p(2) = 14$ , подставляя их в выражение для $p(x)$ с неопределенными коэффициентами, получаем следующую систему линейных уравнений:

( |||a + b+ c = 8 { ||a − b+ c = 2 |(4a + 2b+ c = 14

Запишем её в матричном виде:

( ) | 1 1 1 8| |( 1 − 1 1 2|) 4 2 1 14

Вычтем из второй строки первую:

( ) 1 1 1 8 || || (0 − 2 0 − 6) 4 2 1 14

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на $4$ :

( ) 1 1 1 8 || || ( 0 − 2 0 − 6 ) 0 − 2 − 3 − 18

Вычтем из третьей строки вторую:

( ) 1 1 1 8 || || ( 0 − 2 0 − 6 ) 0 0 − 3 − 12

Теперь делаем обратнфй ход метода Гаусса:

− 3c = − 12, c = 4

Далее,

− 2b = − 6, b = 3

a+ b + c = 8, a + 3 + 4 = 8, a = 1

Следовательно, искомый многочлен будет

2 p (x ) = x + 3x+ 4

Ответ:

$p(x) = x2 + 3x+ 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#94319

Пусть $S$ - произвольная СЛУ

(| ||||a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 ||{ S : a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 |||... ||| |(am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

Опр. Назовём ассоциированной с системой $S$ следующую однородную систему

(| ||| a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = 0 |||{ So : a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0 || ... |||| |( am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = 0

Задача. Пусть $(xo1,...,xon)$ - общее решение системы $So$ .
Под словами $”$ общее решение $”$ имеется в виду следующее:

Если в однородной системе при решении появляются свободные неизвестные, то общее решение в виде набора $o o (x1,...,xn)$ записывается так: вместо главных переменных в набор записываются формулы, выражающие их через свободные, а вместо свободных записываются они сами. Если же однородная система имеет единственное решение (а оно может быть только нулевым), то общее решение это просто тупо набор

(0,0,...,0)

Пусть $(x1,...,xn )$ - какой-то числовой набор, удовлетворяющий исходной системе $S$ (такой набор обычно называют частным решением $S$ ). Показать, что тогда

(xo1,...xon) + (x1,...,xn)

- общее решение системы $S$ (в том же самом смысле, как мы определили выше).

Показать доказательство

1. Проверим, во-первых, что сумма наборов

(xo1,...xon) + (x1,...,xn)

всегда будет являться решением системы $S$ .

Для краткости запишем систему $S$ в матричном виде как

Ax = b

где $A − матр ица системы ,x − ст олбец н еизвестных ,b− столбец свободны х &#x0447$ .

Тогда, пользуясь тем свойством, что произведение матрицы на сумму матриц равно сумме произведений, получим:

( o) ( ) ( o) ( ) |x 1| | x1| |x 1| | x1| ||xo2|| || x2|| ||xo2|| || x2|| A (|| || + || || ) = A || || + A || || = 0 + b = b ( ...) ( ...) ( ...) ( ...) xon xn xon xn ◟--◝◜--◞ ◟--◝◜--◞ =0, т.к. набор (xo1,...xon) решает однородную систему =b

Следовательно, сумма

o o (x 1,...xn) + (x1,...,xn)

общего решения ассоциированной однородной системы и частного решения исходной неоднородной - всегда будет решением исходной неоднородной.

2. Более того, верно и более сильное утверждение. Общее решение неоднородной системы всегда имеет такую структуру:

общее решение неоднородной = общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.

Действительно, Пусть

(ˆx1,...,ˆxn)

- общее решение системы $Ax = b$ , то есть системы $S$ .

Пусть

(x ,...,x ) 1 n

- какое-то частное решение системы $S$ .

Тогда мы утверждаем, что

(ˆx1,...,ˆxn)− (x1,...,xn)

будет общим решением однородной системы $Ax = 0$ , то есть $So$ .

Действительно,

( ) ( ) ( ) ( ) |xˆ1 | | x1| | ˆx1| | x1| ||xˆ2 || || x2|| || ˆx2|| || x2|| A (| | − | | ) = A | | − A | | = b − b = 0 |( ...|) |( ...|) |( ...|) |( ...|) ˆxn xn ˆxn xn

Таким образом, если обозначить эту разность $(ˆx1,...,ˆxn)− (x1,...,xn)$ за

o o (x1,...,xn)

то мы получим, что общее решение системы $Ax = b$ обязательно имеет вид

o o (ˆx1,...,ˆxn ) = (x1,...,xn)+ (x1,...,xn)

то есть имеет вид

общее решение однородной+частное решение неоднородной

Что и утверждалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#140480

Cложить матрицу $( ) |0 1 2| A = |4 5 6| ( ) 7 8 9$ и матрицу $( ) | 2 1 6| B = | 4 10 6| ( ) − 9 0 9$ , то есть посчитать, чему равна матрица $A + B$

Показать ответ и решение

Складываем покоординатно: $( ) ( ) | 0+ 2 1+ 1 2+ 6 | | 2 2 8 | A + B = | 4+ 4 5 + 10 6+ 6 | = | 8 15 12| ( ) ( ) 7− 9 8+ 0 9+ 9 − 2 8 18$

Ответ:

$( ) | 2 2 8| | 8 15 12| ( ) − 2 8 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#140481

Умножить матрицу $( ) | 0 1 2| A = | 4 5 6| ( ) 7 8 9$ на число 10, то есть посчитать, чему равна матрица $10A$

Показать ответ и решение

$( ) ( ) | 0 1 2| | 0 10 20 | 10A = 10⋅| 4 5 6| = |40 50 60 | ( ) ( ) 7 8 9 70 80 90$

Ответ:

$( ) | 0 10 20| |40 50 60| ( ) 70 80 90$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#140483

Вычислить произведение матриц $( ) 1 2 3 4$ и $( ) 5 6 7 8$

Показать ответ и решение

Обе матрицы имеют размер $2$ на $2$ , поэтому и их произведение имеет размер $2$ на $2$ . Обозначим их произведение за $(c c ) 11 12 c21 c22$ :

( ) ( ) ( ) 1 2 5 6 c11 c12 3 4 7 8 = c c 21 22

= На $1$ -ом месте в $1$ -ом столбце произведения стоит произведение $1$ -ой строки первой матрицы и $1$ -ого столбца второй матрицы, то есть $( ) ( ) 5 c11 = 1 2 = 1 ⋅5+ 2 ⋅7 = 19 7$ .
На $2$ -ом месте в $1$ -ом столбце произведения стоит произведение $2$ -ой строки первой матрицы и $1$ -ого столбца второй матрицы, то есть $( ) ( ) 5 c21 = 3 4 = 3 ⋅5+ 4 ⋅7 = 43 7$ .
На $1$ -ом месте во $2$ -ом столбце произведения стоит произведение $1$ -ой строки первой матрицы и $2$ -ого столбца второй матрицы, то есть $( ) ( ) 6 c12 = 1 2 = 1 ⋅6+ 2⋅8 = 22 8$ .
На $2$ -ом месте во $2$ -ом столбце произведения стоит произведение $2$ -ой строки первой матрицы и $2$ -ого столбца второй матрицы, то есть $( ) ( ) 6 c22 = 3 4 = 3 ⋅6+ 4 ⋅8 = 50 8$ .
Тем самым:

( ) ( ) ( ) 1 2 5 6 = 19 22 3 4 7 8 43 50

Ответ:

$( ) ( ) ( ) 1 2 5 6 = 19 22 3 4 7 8 43 50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#140484

Вычислить произведение матриц

( ) ( ) 1 0 0 0 | 5 6| | | || 7 8|| |( 0 − 1 2 0|) || || 0 3 0 − 4 ( 9 10) 11 12

Показать ответ и решение

Напомним, что если мы умножаем матрицу размера $k$ на $m$ на матрицу размера $m$ на $n$ , то получится матрица размера $k$ на $n$ . То есть в нашем случае получится матрица $3$ на $2$ (так как $k = 3,$ $m = 4,$ $n = 2$ ). Мы не будем выписывать вычисления для всех 6 коэффициентов полученной матрицы, ограничившись одним.

На $3$ -ем месте во $2$ -ом столбце произведения стоит произведение $3$ -ой строки первой матрицы и $2$ -ого столбца второй матрицы, то есть

( ) 6 ( )|| 8|| 0 3 0 − 4 || || = 0⋅6 + 3 ⋅8 + 0⋅10 − 4⋅12 = − 24 |( 10|) 12

Таким образом,

( ) ( ) 5 6 ( ) |1 0 0 0 | || 7 8 || | 5 6 | |0 − 1 2 0 | || || = | 11 12 | ( ) |( 9 10|) ( ) 0 3 0 − 4 11 12 − 23 − 24

Ответ:

$( ) ( ) | 5 6 | ( ) |1 0 0 0 | || 7 8 || | 5 6 | |(0 − 1 2 0 |) | | = |( 11 12 |) 0 3 0 − 4 |( 9 10|) − 23 − 24 11 12$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#140902

Пусть $S$ - произвольная СЛУ

(| ||||a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 ||{ S : a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 |||... ||| |(am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

Пусть $o S$ - ассоциированная с $S$ ОСЛУ

( || a x + a x + ...+ a x = 0 |||| 11 1 12 2 1n n |{ a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0 So : |||| ... ||| ( am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = 0

1. Доказать, что если $(u ,...,u ) 1 n$ - произвольное решение $So$ и $(v ,...,v ) 1 n$ - другое произвольное решение $So$ , то

(u1 + v1,...,un + vn)

- тоже решение $So$ ;

2. Доказать, что если $(u ,...,u ) 1 n$ - произвольное решение $So$ и $λ ∈ ℝ$ , то

(λu1,...,λun)

- тоже решение $o S$ ;

3. Пусть $(α ,...,α ) 1 n$ - произвольное решение $S$ , $(β ,...,β ) 1 n$ - другое произвольное решение $S$ . Что можно сказать тогда о наборе

(α1 − β1,...,αn − βn )

Показать доказательство

1. Подставим, например, сумму $(u1 + v1,...,un + vn)$ в первое уравнение системы $So$ :

a11(u1 + v1)+ a12(u2 + v2)+ ...+ a1n(un + vn) =

= a11u1 + a12u2 + ...+ a1nun + a11v1 + a12v2 + ...+ a1nvn = 0+ 0 = 0 ◟=0, т.к. (u,...,◝u◜)-решение S◞o ◟=0, т.к. (v,...,◝v◜)-решение-S◞o 1 n 1 n

Таким образом, сумма наборов

(u1 + v1,...,un + vn)

удовлетворяет первому уравнению $So$ . То, что она удовлетворяет и остальным тоже - проверяется аналогично.

2. Подставим, например, набор $(λu ,...,λu ) 1 n$ в первое уравнение системы $So$ :

a11(λu1)+ a12(λu2) + ...+ a1n(λun) = λ(a◟11u1 +-a12u2◝+◜-...+-a1nun)◞ = λ ⋅0 = 0 =0, т.к. (u1,...,un)-реш ение So

Таким образом, набор $(λu1, ...,λun )$ удовлетворяет первому уравнению $So$ . То, что он удовлетворяет и остальным тоже - проверяется аналогично.

3. Этот набор обязательно будет решением ассоциированной системы $o S$ . Действительно, подставим