Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

Тема Математический анализ

10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#136180

Что из себя будет представлять декартово произведение $ℝ × ℝ$ ?

Показать ответ и решение

У нас получится множество упорядоченных пар $(x,y)$ , где $x,y ∈ ℝ$ . То есть у нас, конечно, получится плоскость $2 ℝ$ . То есть, смотрите как красиво получается: $ℝ × ℝ = ℝ2$ .

Ответ:

Двумерная плоскость

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#136181

Пусть $S1$ - окружность. Что из себя будет представлять тогда декартово произведение $1 S × [0,1]$ ?

Показать ответ и решение

Это будет множество пар

{(x,y) | x ∈ S1,y ∈ [0,1]}

Но какой еще геометрический объект можно задать таким образом? Очевидно, это поверхность цилиндра с окружностью в основании высотой 1.

Действительно, любая точка такого цилиндра задается парой координат $(x,y)$ - первая координата $x$ показывает точку на окружности, а вторая координата $y$ показывает, на какой именно высоте нужно провести сечение цилиндра, чтобы получилась окружность, на который мы хотим взять точку $x$ .

Ответ:

Цилиндр с окружностью в основании высотой 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#136222

Доказать, что для любых множеств $A, B,C$ выполнено

(A ∩ B) ∖C = (A ∖ C) ∩ B

Показать доказательство

Доказать, что для любых множеств $A, B,C$ выполнено

(A ∩ B) ∖C = (A ∖ C) ∩ B

Решение.

Обозначим $(A ∩ B )∖ C = X$ , $(A ∖C )∩ B = Y$ и будем доказывать, что $X = Y$ .

1. Докажем, что $X ⊂ Y$ .

Действительно, пусть $x ∈ X = (A ∩ B) ∖C$ .

Это значит, что $x ∈ A$ и вместе с тем $x ∈ B$ , но при этом $x∈C /$ .

Раз $x ∈ A$ и $x/∈C$ , то $x ∈ A ∖C$ .

Кроме того, нам еще было дано, что $x ∈ B$ . Таким образом, мы получаем, что

x ∈ (A ∖ C )∩ B

Следовательно, $x ∈ Y = (A ∖C )∩ B$ .

Поскольку $x$ был произвольный, мы получаем, что мы доказали, что произвольный элемент, лежащий в $X$ , также лежит и в $Y$ , то есть мы доказали, что $X ⊂ Y$ .

2. Докажем, что $Y ⊂ X$ .

Пусть $x ∈ Y = (A ∖C )∩ B$ .

Это значит, что $x ∈ A,x/∈C$ и при этом $x ∈ B$ . Но, поскольку нам дано, что $x ∈ A$ и $x ∈ B$ , это означает, что $x ∈ A ∩ B$ . Далее, нам дано, что $x∈C /$ , а значит, раз $x ∈ A ∩ B$ и $x/∈C$ , мы получаем, что $x ∈ (A ∩ B )∖C = X$ .

Поскольку $x$ был произвольный, мы получаем, что мы доказали, что произвольный элемент, лежащий в $Y$ , также лежит и в $X$ , то есть мы доказали, что $Y ⊂ X$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#136224

Верно ли, что для любых четырех множеств $A,B, C,D$ выполнено

(A ∪ B )× (C ∪ D ) = (A × C )∪ (B × D )

Показать ответ и решение

Рассмотрим такие множества

A = {1},B = {2},C = {3},D = {4 }

Тогда

A ∪ B = {1,2},C ∪D = {3,4}

(A ∪ B )× (C ∪ D ) = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

В то же время

A × C = {(1,3)},B × D = {(2,4)}

и поэтому

(A × C) ∪ (B × D) = {(1,3),(2,4)}

А поэтому наша формула неверна. В данном случае правая часть является лишь подмножеством левой части, но равенства здесь нету.

Ответ:

Вообще говоря, нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#136228

Пусть свойство $P(x,y)$ означает, что

к люч x откры вает дверь y

Рассмотрим теперь две формулы

∀y∃x P (x,y) (1 )

а теперь поменяем местами кванторы вместе с переменными

∃x∀y P (x,y) (2 )

Задача.
1. Изменился ли смысл высказывания после перестановки кванторов? То есть одинаковый ли смысл у высказываний (1) и (2)?
2. Изменилась ли истинность высказывания после перестановки кванторов? То есть верно ли, что если (1) было истинным, то и (2) остается истинным? А если (1) было ложным, то и (2) тоже обязательно ложно? Какое из двух высказываний следует из другого?

Показать ответ и решение

1. Изменился. Смысл у них разный. По сути, высказывание (1) говорит нам о том, что у для любой двери $y$ найдется свой ключ $x$ , который открывает эту дверь. При этом допускается, чтобы этот ключ $x$ был у каждой двери свой, то есть чтобы $x$ как бы зависел от $y$ - для каждой двери может существовать свой ключ, и у разных дверей он может быть разным. То есть когда в формуле кванторы идут в таком порядке

∀y∃x

то допускается зависимость $x$ от $y$ .

В то же время, высказывание (2) говорит нам о том, что найдется такой ключ $x$ , который для любой двери $y$ будет её открывать. То есть этот $x$ будет универсальным, подходящим для каждой двери $y$ и уже не может зависеть ни от какой двери. То есть в таком порядке кванторов

∃x∀y

мы обязаны сначала выбрать этот ключ $x$ , который должен подойти ко всем $y$ сразу.

2. Вообще говоря, если (1) было истинно, то (2) быть истинно вовсе не обязано.

Действительно, если для каждой двери $x$ находился свой ключ $y$ , который её открывает, из этого вовсе не следует существование универсального ключа $x$ , который способен открыть любую дверь.

Если же (1) было ложным, то, понятное дело, в силу всего вышесказанного, (2) ложно тем более.

Таким образом, (2) - более сильное высказывание, чем (1), то есть (1) следует из (2).

Ответ:

1. Смысл у них разный;
2. Если (1) истинно, то (2) необязательно истинно, если (1) ложно, то (2) точно ложно, (1) следует из (2).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#136494

Является ли функция $f$ инъекцией, сюръекцией, биекцией в каждом из следующих случаев?

a) $f : ℝ → ℝ,f(x) = sin x$ ;
b) $f : ℝ → ℝ,f (x ) = 2x$ ;
c) $f : ℝ → ℝ,f(x) = x2$ ;
d) $f : ℝ → ℝ,f (x ) = 3x + 8$ ;

Показать ответ и решение

a) Наша функция заведомо не будет сюръекцией, поскольку чтобы она была сюръекцией, синус должен был бы уметь давать на выходе любые числа из $ℝ.$ В то время как $sin x,$ наоборот, всегда не превосходит по модулю 1, какие бы иксы мы в него ни подставляли.

Синус также не будет и инъекцией, поскольку он склеивает разные точки. Например, $0 ⁄= 2π,$ однако $sin0 = sin2π = 0$ ;

b) Такая функция не будет сюръекцией, потому что она не умеет выдывать любые числа из $ℝ$ на выходе. Действительно, $2x > 0$ для любого $x ∈ ℝ.$ Значит, отрицательных чисел мы не получим.

Однако $f$ является инъекцией. Вообще, это свойство проходят в школе, но достаточно рукомахательно. Чтобы аккуратно это показать, достаточно показать, что эта функция строго монотонна, а для этого нам нужны были бы производные...в общем, давайте пока поверим, тем более, что нам не привыкать - что эта $f$ - инъективна;

c) Такая функция не будет сюръекцией, потому что она не умеет выдывать отрицательные числа из $ℝ$ на выходе. Действительно, $x2 ≥ 0$ для любого $x ∈ ℝ.$ Тем самым, $2 f(x) = x$ - не сюръекция.

Далее, поскольку $2 ⁄= − 2,$ однако $f(2) = f(− 2) = 4,$ то $f$ разные точки переводит в одну и ту же. Следовательно, $f$ - не инъекция;

d) А вот эта функция будет и инъекцией и сюръекцией - то есть будет биекцией! Действительно, докажем это:

1. Инъективность. Пусть $x1 ⁄= x2$ . Тогда если оказалось так, что $f(x1) = f(x2)$ , то это значит, что

3x1 + 8 = 3x2 + 8

что немедленно влечет после вычитания восьмерки и деления на тройку, что $x1 = x2$ . Противоречие. Значит, $f$ - инъективна.
2. Сюръективность. Покажем, что при помощи нашей функции $f$ мы можем получить любое вещественное число. Итак, пусть $y ∈ ℝ$ - произвольно. Какой $x$ надо подставить в $f$ , чтобы получить $y$ ? Ну, очевидно

y-−-8 y = 3x + 8, x = 3

- такой вот $x$ и надо в $f$ подставить, чтобы получить наперед заданный $y$ .

Ответ:

a) Не сюръекция, не инъекция;
b) Не сюръекция, инъекция;
c) Не сюръекция, не инъекция;
d) Сюръекция, инъекция (т.е. биекция).

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#136910

a) Может ли область определения функции строго содержаться в образе ее области определения? То есть существует ли такая функция $f : X → Y$ , что $X ⊂ f(X )$ и причем $X ⁄= f(X )$ ?

b) А если множества $X$ и $Y$ - конечны?

Показать ответ и решение

a) Может. Например, рассмотрим

f : (0,+∞ ) → ℝ, f(x) = ln x

При этом $f((0,+ ∞ )) = ℝ$ , следовательно, область определения $f$ строго содержится в образе её области определения.

b) В таком случае этого уже не получится добиться.

Действительно, пусть $X$ и $Y$ - конечны. Тогда и $f(X )$ - тоже, естественно, конечно (ведь оно подмножество в $Y$ ). И если так оказалось, что $X ⊂ f(X )$ и при этом $X ⁄= f(X )$ , то это попросту означает, что в $X$ меньше элементов, чем в $f(X )$ .

Однако, по определению функции, $f$ каждому элементу в $X$ сопоставляет один и только один элемент в $Y$ . То есть не может быть такого, что какому-то $x ∈ X$ соответствует в $f(X )$ два разных значения.

Поэтому в $X$ количество элементов уж никак не может оказаться меньше, чем в $f(X )$ - ведь это бы означало, что какой-то $x ∈ X$ перешел в два разных элемента в $f(X )$ , что запрещено.

Значит, в случае конечных множеств такое невозможно.

Ответ:

a) Да; b) Нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#136913

На окружности отмечено $10$ точек: девять чёрных и одна белая. Чего больше: многоугольников, у которых все вершины чёрные, или многоугольников, у которых есть и белая вершина (а остальные — чёрные)?

(в рамках этой задачи мы считаем, что многоугольником считается фигура, у которой хотя бы три вершины)

Замечание. Предполагается решать эту задачу вообще без обращения к комбинаторике и к так называемым числам сочетаний. Если вы не понимаете, что это - отлично, а если понимаете, то на время этой задачи временно забудьте.

Показать ответ и решение

Пусть $X$ - множество многоугольников, у которых все вершины черные, а $Y$ - множество многоугольников, у которых есть белая вершина (а все остальные - черные).

Построим функцию $f : X → Y$ по следующему правилу.

Если $P ∈ X$ - многоугольник, то $f(P )$ получается из $P$ добавлением к нему белой вершины (проведением новых сторон так, чтобы они теперь включали эту вершину в новый многоугольник).

Таким образом, $f$ по сути берет на вход какой-то многоугольник с чисто черными вершинами и добавляет к множеству его вершин ту-самую одну белую вершину.

Мы получаем новый многоугольник $f (P)$ .

При этом, очевидно, $f$ - инъективна. То есть если $P1,P2 ∈ X$ и $P1 ⁄= P2$ - разные многоугольники, то $f(P1) ⁄= f(P2)$ .

Естественно - добавление белой вершины к изначально разным многоугольникам не может сделать их одинаковыми.

Таким образом, можно сделать вывод, что $|X| ≤ |Y |$ .

Однако $f$ - не сюръекция. Действительно, при помощи отображения $f$ мы никак не можем придти в какой-нибудь треугольник с белой вершиной. Ведь треугольник не мог быть получен добавлением белой вершины ни к какому многоугольнику с чисто черными вершинами (мы считаем, что двуугольник - это не многоугольник).

Таким образом, каждому многоугольнику из $X$ соответствует ровно один многоугольник из $Y$ , но при этом $f(X ) ⁄= Y$ , то есть в $Y$ есть многоугольники, которые не соответствуют никаким многоугольникам из $X$ .

Следовательно, $|X | < |Y |$ , то есть многоугольников, у которых есть одна белая вершина - больше.

Ответ:

С белой вершиной - больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#136915

Пусть $X$ - множество людей, пришедших на линейку первокурсников, $Y$ - множество стульев, расставленных в актовом зале в честь этого мероприятия. Описать словами, что фактически значит, что:

a) Нашлась функция $f : X → Y$ ;
b) Нашлась инъективная функция $g : X → Y$ ;
c) Нашлась сюръективная функция $h : X → Y$ ;
d) Нашлась биективная функция $F : X → Y$ .

Показать ответ и решение

a) На самом деле это ничего не значит, потому что хоть какую-нибудь функцию можно определить между любыми двумя непустыми множествами. В данном случае это просто означает, что мы каждому человеку сопоставили какой-то один стул. Но так можно сделать, сколько бы ни было людей и сколько бы ни было стульев;

b) А вот это означает, что мы смогли сопоставить каждому человеку какой-то один стул, причем разным людям были сопоставлены разные стулья. То есть инъективность нашей функции $g$ , иными словами, означает, что запрещено, чтобы на один стул садилось больше одного человека.
Следовательно, такое возможно только если людей не больше, чем стульев.

c) Сюръективность такой функции $h$ означает, что мы сопоставили каждому человеку какой-то один стул, причем каждый стул оказался занят. Следовательно, в такой ситуации стульев было не больше, чем людей.

d) Поскольку биективная функция по определению является и инъективной, и сюръективной, мы получаем, совмещая результаты двух предыдущих пунктов, что из существования такой функции следует, что стульев и людей было поровну.

Ответ:

a) Ничего не значит;
b) Людей не больше, чем стульев;
c) Стульев не больше, чем людей;
d) Стульев и людей поровну.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#136918

Доказать, что если $f : X → Y$ - биективная функция, то обязательно существует такая функция $−1 f : Y → X$ (которая называется обратной функцией к $f$ ), что

f− 1(f (x )) = x для лю бого x ∈ X

f(f−1(y)) = y д ля любого y ∈ Y

Показать доказательство

Действительно, пусть $f : X → Y$ - биекция.

Определим $f−1 : Y → X$ по следующему правилу: для каждого $y ∈ Y$ функция $−1 f$ отправляет этот $y$ в тот самый единственный(!) $x$ , для которого $f (x ) = y$ .

Почему же такой $x$ , что $f(x) = y$ - единственный?

Да потому что нам дано, что $f$ - биекция, в частности, это инъекция. Значит двух разных $x$ таких, что $f$ от обоих из них равно $y$ , быть не может. Почему же для каждого $y ∈ Y$ такой $x ∈ X$ , что $f(x) = y$ вообще найдется?

Да потому что нам дано, что $f$ - биекция, в частности, сюръекция. А это ровно это и означает.

Таким образом, мы получили вполне определенную функцию

− 1 f : Y → X

она каждому $y$ сопоставляет один и только один $x$ по описанному выше правилу (и мы уже попутно объяснили, почему каждому и почему один и только один).

Следовательно, нечто, что мы назвали $−1 f$ , действительно является функцией в смысле нашего определения функции.

Осталось лишь проверить, что она действительно обратна к $f$ в том смысле, в котором говорится в задаче.

Итак, пусть $x ∈ X$ - произвольный. Чему тогда будет равно $−1 f (f(x))$ ?

Итак, $f$ внутри переводит $x$ в некоторый $y = f(x)$ . А что же делает с этим $y = f(x)$ внешняя $− 1 f$ ? Да просто по ее собственному построению она переводит его обратно в $x$ . Таким образом, мы проверили, что для любого $x ∈ X$ выполнено

f−1(f(x)) = x

Далее, пусть $y ∈ Y$ - произвольный. Чему тогда будет равно $−1 f(f (y))$ ? Ну, раз этот $y ∈ Y$ , а наша исходная $f$ была биекцией, то обязательно существует такой $x$ , как мы уже заметили, что $y = f(x)$ . Но тогда по самому построению $f−1$ мы получим, что внутри $f−1(y) = x$ , причем тому самому единственному $x$ , что $f (x ) = y$ . Но тогда вся эта большая штука $f(f−1(y))$ равна $f(x)$ (поскольку внутри $f−1(y) = x$ ).

Иными словами,

f (f −1(y)) = f(x) то есть,= конечно y

Что и нужно было нам проверить.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#136921

a) Пусть $f : ℝ → ℝ$ - функция, задаваемая формулой $f(x) = x2$ .

1. Почему она не является биекцией?;
2. Как нужно изменить ее область определения и область значений, чтобы она стала биекцией?;
3. После этих изменений найти обратную функцию к этой биекции.

b) Пусть $f : ℝ → ℝ$ - функция, задаваемая формулой $f(x) = cosx$ .

1. Почему она не является биекцией?;
2. Как нужно изменить ее область определения и область значений, чтобы она стала биекцией?;
3. После этих изменений найти обратную функцию к этой биекции.

Показать ответ и решение

a) Она не биективна, потому что она и не инъективна, и не сюръективна. В области значений мы не можем получить отрицательных чисел - поэтому не сюръективна. А не инъективна, потому что, $f$ переводит разные числа в одинаковые. Например, $10 ⁄= − 10$ , но $f(10) = f(− 10)$ .

Если же мы рассмотрим ту же самую функцию $f(x) = x2$ , но между множествами

f : [0,+ ∞ ) → [0,+∞ )

то она уже окажется биективной - мы тем самым решим все проблемы.

Обратной функцией к $f$ после таких изменений будет, конечно, $√ -- f−1(y) = y$ .

b) Она не биективна, потому что она и не инъективна, и не сюръективна. В области значений мы не можем получить чисел, которые по модулю больше 1. А не инъективна, потому что, $f$ переводит разные числа в одинаковые. Например, $0 ⁄= 2π$ , но $f(0) = f (2 π)$ .

Если же мы рассмотрим ту же самую функцию $f(x) = cosx$ , но между множествами

f : [0,π ] → [− 1,1]

то она уже окажется биективной - мы тем самым решим все проблемы.

Обратной функцией к $f$ после таких изменений будет, конечно, $f− 1(y ) = arccosy$ .

Ответ:

a) Она не биективна, потому что она и не инъективна, и не сюръективна $f : [0,+∞ ) → [0,+ ∞ )$ будет биективной, $−1 √-- f (y) = y$ ;
b) Она не биективна, потому что она и не инъективна, и не сюръективна $f : [0,π] → [− 1,1]$ будет биективной, $−1 f (y) = arccos y$ .

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#136923

Пусть $f : X → Y$ - функция. Пусть $A ⊂ X, B ⊂ Y$ . Пусть $f(A ) = B$ . Верно ли тогда, что $−1 f (B ) = A$ ?

Показать ответ и решение

Вообще говоря, это неверно. Рассмотрим

f : ℝ → ℝ, f(x) = x2

Пусть $A = {5}$ . Тогда

f(A) = f({5}) = {25} = B

Однако

f−1(B ) = f −1({25}) = {5,− 5}

Ответ:

Вообще говоря, это неверно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#136925

a) Дать определение того, что функция $f : X → Y$ - инъективна, используя понятие прообраза.

b) Дать определение того, что функция $f : X → Y$ - сюръективна, используя понятие образа.

Показать ответ и решение

a) $f$ - инъективна тогда и только тогда, когда для любого $y ∈ Y$ прообраз множества ${y}$ , то есть $−1 f ({y})$ либо пуст, либо состоит ровно из одной точки.

b) $f$ - сюръективна тогда и только тогда, когда $f (X ) = Y$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#136929

Доказать, что множество положительных рациональных чисел

опр. m ℚ+ = = {-- | m ∈ ℕ,n ∈ ℕ} n

- счётно.

Показать доказательство

Расположим все положительные рациональные числа в такую бесконечную таблицу

$PIC$

Она устроена по следующему принципу - в $k$ -ой строчке записаны все рациональные числа со знаменателями $k$ .

Далее, чтобы показать, что это множество счётно, достаточно устроить биекцию $f : ℚ+ → ℕ$ . А такая биекция - это по сути однозначное сопоставление каждой положительной дроби какого-то натурального числа. Сделаем такое сопоставление, идя по диагоналям нашей таблицы, то есть идя по следующей схеме:

$PIC$

Таким образом, первое число будет 1, второе число будет 2, третье число будет $12$ , четвёртое число будет $13$ , пятое число будет $22$ , и так далее...

Ясно, что двигаясь вот по такой схеме, мы обойдём всю таблицу из наших положительных дробей, а, значит, каждая дробь получит свой уникальный номер - такое правило и задаст нам биекцию $f : ℚ → ℕ +$ .

Значит, множество всех положительных дробей - счётно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#136932

Доказать, что множество всех натуральных чисел, кратных 100 - счетно.

Показать доказательство

Множество, о котором идет речь - это множество

A = {100,200,300,400,...}

Чтобы установить, что оно счетно, придумаем биекцию

f : ℕ → A

Её придумать очень легко:

f (n ) = 100n

Ясно, что это инъекция (если $n ⁄= m$ , то $100n ⁄= 100m$ ), и ясно, что это сюръекция, потому что любое число, кратное 100, будет получено в результате применения $f$ к какому-то натуральному числу. Таким образом, $A$ счетно по определению.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#136934

Доказать, что если $X$ равномощно $Y$ , а $Y$ равномощно $Z$ , то $X$ - равномощно $Z$ .

Показать доказательство

Раз нам дано, что $X$ равномощно $Y$ , то существует биекция

f : X → Y

И раз нам дано, что $Y$ равномощно $Z$ , то существует биекция

g : Y → Z

Но тогда композиция

g(f) : X → Z

очевидно будет биекцией из $X$ в $Z$ .

Действительно, $g(f)$ - инъективная функция, поскольку если $x ,x ∈ X, x ⁄= x 1 2 1 2$ , то

g(f ((x1)) ⁄= g(f(x2))

поскольку $f(x1) ⁄= f(x2)$ в силу того, что $f$ - инъективно, а значит $g(f((x1)) ⁄= g (f (x2 ))$ в силу того, что $g$ - инъективно.

Также $g(f)$ - сюръективная функция, поскольку $f(X ) = Y$ , раз $f$ - сюръекция, а $g(Y) = Z$ , раз $g$ - сюръекция, но значит

g(f (X)) = g(Y) = Z

То есть $g(f)$ - сюръекция.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#136936

Пусть $X$ - любое бесконечное множество (быть может и несчетное), $A$ - счетное множество, не пересекающееся с $X$ , то есть $X ∩ A = ∅$ . Доказать, что тогда $X ∪ A$ равномощно $X$ .

Показать доказательство

Выберем тогда в $X$ счетное подмножество $B$ (а в любом бесконечном множестве существует счетное подмножество). Утверждается, что тогда $B ∪ A$ - тоже счетно.

Заметим прежде всего, что $B ∩ A = ∅$ , потому что по условию теоремы даже $X ∩A = ∅$ .

Действительно, если $A$ - счетно, то существует биекция $f : ℕ → A$ . Если $B$ - счетно, то существует биекция $g : ℕ → B$ .

Но тогда легко соорудить и биекцию

h : ℕ → B ∪ A

Пусть если $n$ - четно, $n = 2k$ , то $h(n) = h (2k) = f (k )$ .
А если $n$ - нечетно, $n = 2k − 1$ , то $h(n) = k(2k − 1 ) = g(k)$ .

Таким образом мы четные числа отображаем во все элементы множества $A$ , а нечетные числа отображаем во все элементы множества $B$ . Поскольку $B$ и $A$ - не пересекаются и поскольку $f,g$ были биекциями, мы получаем, что и $h$ - биекция.

Таким образом, мы доказали, что $B ∪A$ - тоже счетно.

Но раз $B ∪A$ - тоже счетно так же как и $B$ , то между ними должна быть некоторая биекция $φ$ . Давайте зафиксируем эту биекцию

φ : B → B ∪ A

Но тогда ясно, что функция

F : X → X ∪ A

определенная правилом

( {φ (x), если x ∈ B F (x) = ( x, если x/∈B

будет биекцией.

Действительно, мы просто при помощи нашей биекции $φ$ перегоняем $B$ в $B ∪ A$ , а остальную часть множества $X$ просто не трогаем.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#137465

a) Пусть $X$ - континуальное множество, $Y$ - континуальное множество. Доказать, что тогда и $X × Y$ - континуально.

b) Вывести отсюда, что

ℝ × ℝ, ℝ × ℝ × ℝ, ,ℝ × ...× ℝ ◟---◝◜---◞ n раз

- все континуальны.

Таким образом, получается удивительнейшее дело: НА ПЛОСКОСТИ СТОЛЬКО ЖЕ ТОЧЕК, СКОЛЬКО И НА ПРЯМОЙ, И В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ИХ СТОЛЬКО ЖЕ, СКОЛЬКО НА ПЛОСКОСТИ.

Получается, с точки зрения количества элементов в множестве нет никакой разницы между пространствами разных размерностей - в них во всех поровну точек.

Показать доказательство

a) Если $X$ - континуально, то это по определению означает, что существует биекция

f : X → P = {(a ,a ,a ,...,a ,...) | a = 0 или 1} 1 2 3 n i

То есть каждому элементу множества $X$ соответствует одна и только одна последовательность из нулей и единиц, и таким образом каждая последовательность из нулей и единиц соответствует одному и ровно одному элементу множетсва $X$ .

То же самое можно сказать и про множество $Y$ - у нас, раз $Y$ - континуально, есть биекция

g : Y → P = {(a ,a ,a ,...,a ,...) | a = 0 или 1} 1 2 3 n i

Давайте составим теперь биекцию

φ : X × Y → P

Куда мы отправим произвольный элемент $(x, y) ∈ X × Y$ ? Во-первых, давайте возьмем $f(x)$ . Это получится некоторая последовательность из нулей и единиц

f(x) = (ax,ax,...,ax ,...) ∈ P 1 2 n

Давайте далее возьмем $g(y )$ . Это тоже получится некоторая последовательность из нулей и единиц

g(y) = (ay1,ay2,...,ayn,...)

Тогда давайте по определению положим

φ (x,y) = (ax1,ay,ax2,ay,ax3,ay,...,axn,ayn,...) 1 2 3

То есть паре последовательностей $(f(x),g(y))$ , мы сопоставим последовательность, у которой на четных местах стоят члены последовательности $f(x)$ , а на нечетных - члены последовательности $g(y)$ .

Получилось отображение

φ : X × Y → P

Оно инъективно, потому что если $(x1,y1) ⁄= (x2,y2)$ , то либо $x1 ⁄= x2$ , либо $y1 ⁄= y2$ . И в том и в другом случае, очевидно,

φ(x1,y1) ⁄= φ (x2,y2)

Например, в первом случае, если $x ⁄= x 1 2$ , то в силу того, что $f$ - инъекция, то $f (x1 ) ⁄= f(x2)$ , а, значит, последовательность $φ(x1,y1)$ на каком-то нечетном месте будет отличаться от последовательности $φ (x2,y2)$ . Аналогично и во втором случае.

Также $φ$ - это сюръекция, потому что мы таким образом сможем получить любую последовательность из нулей и единиц как результат применения $φ$ .

Действительно, по нечетным координатам $φ$ выдает всевозможные результаты действия $f$ на $X$ . Но $f$ то была сюръекцией, поэтому по нечетным координатам в образе $φ$ мы можем получить любую подпоследовательность.

Точно так же по четным координатам $φ$ действует как $g$ от всевозможных элементов $Y$ . Но $g$ - тоже сюръекция, поэтому и по четным координатам в образе $φ$ мы можем получить любую подпоследовательность.

Но если у нас и на четных и на нечетных местах может получиться любая подпоследовательность, то и глобально мы можем получить любую последовательность из нулей и единиц в образе $φ$ .

b) Мы уже знаем, что $ℝ$ - континуально. Тогда, применяя доказанное в пункте a) получаем, что $ℝ × ℝ$ - тоже континуально.

Для $ℝ × ℝ × ℝ$ используем наше знание, полученное мгновение назад, о том, что $ℝ × ℝ$ - континуально. Но тогда, поскольку, очевидно, можно написать, что

ℝ × ℝ × ℝ = (ℝ × ℝ )× ℝ

то, поскольку первый сомножитель $ℝ × ℝ$ - континуален, второй - просто $ℝ$ - тоже континуален, то по пункту a) и $ℝ × ℝ × ℝ$ - континуально.

А для произвольного $n$ легко доказать по индукции, что

ℝ◟-×-.◝..◜×-ℝ◞ n раз

- континуально. Мы фактически на примере уже продемонстрировали, как делать шаг индукции.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#137466

Вывести из теоремы Кантора, что для любого $n ∈ ℕ$

n < 2n

Показать доказательство

Пусть $X$ - конечное множество. Пусть

X = {x1,...,xn}

Тогда ясно, что множество всех подмножеств $𝒫(X )$ нашего множества $X$ состоит из $n 2$ элементов.

Поскольку каждому подмножеству $A ∈ 𝒫(X )$ однозначно соответствует одна и только одна последовательность из нулей и единиц длины $n$ .

Но по теореме Кантора, для любого множества $X$ выполнено

|X| < |𝒫 (X )|

В нашем случае слева в неравенстве стоит $n$ , а справа $n 2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#137467

Вывести из теоремы Кантора, что не существует множества всех множеств. То есть не существует такого множества $M$ , что его элементами бы являлись все возможные существующие множества.

Показать доказательство

От противного. Пусть такое множество $U$ существует. То есть, пусть существует множество $U$ , элементами которого являются все возможные множества, которые только существуют на свете.

Рассмотрим тогда множество $𝒫 (U)$ - множество всех подмножеств нашего $U$ . Ну, если $U$ существует, то и $𝒫 (U)$ - тоже существует. Ведь мы можем для любого множества рассмотреть множество всех его подмножеств.

Но $U$ в качестве своих элементов содержит все возможные множества на свете. В том числе, $U$ содержит все элементы множества $𝒫 (U)$ . То есть

𝒫 (U) ⊂ U

Но тогда, ясное дело,

|𝒫(U )| ≤ |U|

потому что если $A ⊂ B$ , то $|A| ≤ |B |$ - можно предъявить тривиальную инъекцию из $A$ в $B$ .

Но это явно противоречит теореме Кантора, которая говорит нам, что для любого множества, в том числе и для нашего $U$ должно быть выполнено

|U| < |𝒫 (U)|