Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Операции над комплексными числами. Тригонометрическая и алгебраическая формы. Уравнения в комплексных числах

Тема Комплексные числа

Операции над комплексными числами. Тригонометрическая и алгебраическая формы. Уравнения в комплексных числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36450

Вычислить: $i4,i5,i231.$

Показать ответ и решение

Мы знаем, что $i2 =−1.$ Этого нам, собственно говоря, уже достаточно.

Действительно, тогда

4 22 2 i =(i) = (−1)= 1

Далее,

5 4 i =i ⋅i= 1⋅i=i

i231 = (i4)57⋅i3 =157⋅i3 =i3 = i2 ⋅i= (−1)⋅i=− i

Вообще, нетрудно понять, что в общем случае $in$ определяется тем, какой остаток по модулю 4 даёт $n.$ (Это всё происходит из-за того, что $i4 = 1$ )

Итак, ясно исходя из вышеприведённых примеров, что

(|| 1 если n делится на 4 ||||{ in = i если n даёт остаток 1 при делении на 4 ||||| −1 если n даёт остаток 2 при делении на 4 |( −i если n даёт остаток 3 при делении на 4

Ответ:

$i4 = 1,i5 = i,i231 = −i$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36451

Найти $x,y$ если $4x− y+ (x− 2y)i=5 +(3+ x− y)i$

Показать ответ и решение

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них равны вещественные и мнимые части. Таким образом, должны быть выполнено одновременно:

$({ 4x− y = 5 (x − 2y = 3+ x− y$

Получаем систему на $x,y.$ Из первого уравнения получается, что $y = 4x − 5.$ Тогда, подставляя его во второе уравнение, находим, что $x− 2(4x− 5)= 3+ x− (4x − 5).$ Откуда $x= 1 2$ , $y =4x− 5= 4⋅ 1− 5= 2− 5= −3. 2$

Ответ:

$x = 1 2$ , $y = −3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36454

Найти вещественные числа $x,y$ если $(1+2i)x +(3− 5i)y = 1− 3i$

Показать ответ и решение

Преобразовав немного наше выражение, получим: $x+ 3y +(2x− 5y)i= 1− 3i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них равны вещественные и мнимые части.

Таким образом, должны быть выполнено одновременно:

$({ x +3y = 1 (2x− 5y = −3$

Получаем систему на $x,y.$ Её можно решить любым известным методом: хоть школьным способом подстановки, хоть методом Гаусса. Система совсем нетрудная, поэтому мы сразу выписываем ответ: $x= −-4,y = 5-. 11 11$

Ответ:

$x =− 4,y =-5 11 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#36588

Решить СЛУ ( $z 1$ и $z 2$ - комплексные неизвестные)

({ (3− i)z1+ (4 +2i)z2 = 2+ 6i ( (4+ 2i)z1− (2+ 3i)z2 = 5+4i

Показать ответ и решение

В целом, эту систему можно решить и методом Гаусса точно так же, как будто она с вещественными коэффициентами. Но, поскольку мы имеем дело с системой $2×2$ , то сделаем по-простому, школьным методом выражения и подстановки.

Итак, из второго уравнения нам нужно выразить $z2 :$

(4+ 2i)z1− 5 − 4i 2 1 z2 = ---(2+-3i)----= 13(7− 4i)z1− 13(22− 7i)

Теперь, подставляем это $z2$ в первое уравнение:

(3 − i)z1+ (4 +2i)(-2(7− 4i)z1−-1(22 − 7i))= 2+ 6i 13 13

Это линейное уравнение на $z1$ решается так же как и в школе: надо собрать все члены, не содержащие $z1$ и перекинуть их на одну сторону, а с другой - вычислить коэффициент перед $z1.$ Если сделать всё аккуратно, то у нас получится уравнение

(111-− 17-i)z = 128-+ 94i 13 13 1 13 13

Откуда

12183 + 9143i z1 = 111−-17i = 1+ i 13 13

Откуда мы уже легко найдём, что

z2 =-2(7− 4i)(1 +i)− 1(22− 7i)= i 13 13

Таким образом, получаем решение:

({z1 = 1+ i ( z2 = i

Ответ:

$({z = 1+i ( 1 z2 = i$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36754

Вычислить $(2+3i)(4− 5i)+ 6+ 7i.$

Показать ответ и решение

В комплексных числах, равно как и в привычных нам ещё со школы вещественных, или даже целых, числах, умножение идёт первее сложения. Значит, сначала нам нужно сначала перемножить $(2+ 3i)(4− 5i),$ а затем к этому прибавить $6+7i.$

Делается это максимально естественным образом, с учётом определяющего соотношения $2 i = −1.$

Имеем:

(2+3i)(4− 5i)= 8+ 12i− 10i− 15i2 = 8+ 2i+15= 23+ 2i

23+2i+ 6+ 7i= 29+ 9i

Ответ:

$29+ 9i$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36756

Записать комплексное число $1+ 2i$ в тригонометрической форме.

Показать ответ и решение

По формулам связи между алгебраической и тригонометрической формой комплексного числад будем иметь:

∘ ------ √ ---- √ - r= x2+ y2 = 1+4 = 5

y arg(z)= α= arctgx =arctg2

Итого:

√- 1 +2i= 5(cosα+ isinα), где α = arctg 2

Ответ:

$1+ 2i= √5(cosα+ isinα), где α =arctg2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36758

Вычислить $(5− 2i):(− 2+6i)$ .

Показать ответ и решение

Воспользуемся трюком домножения на сопряженное к знаменателю, получим:

(5−-2i)- (5−-2i)(−2−-6i)- (5 − 2i):(−2 +6i)= (−2 +6i) = (− 2+ 6i)(−2 − 6i) =

2 = −10−-30i+4i2+-12i-= −22−-26i= − 22− i26-= − 11− i13 4− 36i 40 40 40 20 20

Ответ:

$− 11− i13 20 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#36760

Найти $(√3 +i)24.$

Показать ответ и решение

У числа $√-- 3 + i$ модуль равен $2,$ а аргумент равен $π6$

Значит, у $√ -- 24 ( 3 + i)$ модуль равен $24 2 ,$ а аргумент равен $π 24 6 = 4π.$

Так как мы вычисляем аргумент с точностью до прибавления $2π,$ имеем $4π = 2(2π) = 0.$ Тем самым, $(√3-+ i)24$ это число с модулем $224$ и нулевым аргументом. Значит, $√ -- ( 3 + i)24 = 224.$

Ответ:

$224$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#36762

Найти все такие комплексные числа $z$ , что $z6 =− 100.$ То есть найти все корни 6 степени из числа $− 100$ .

Показать ответ и решение

Нам поможет в этом тригонометрическая форма записи числа $z.$ Давайте запишем $z$ в виде

z = r(cosα + isinα )

Далее, понятно, что

− 100 = 100(cosπ + isinπ)

Таким образом, мы имеем следующее равенство

6 r (cos6α + isin 6α) = 100(cosπ + isin π)

Значит,

√6---- 3√ --- r = 100 = 10

6α = π + 2πk

То есть

π +-2πk- α = 6 , k = 0,1,2,3,4,5

Таким образом, искомые 6 чисел $zk$ имеют вид

√ --- π + 2πk zk = 310(cosα + isin α), α = --------, k = 0,1,2,3,4,5 6

Ответ:

$√ --- zk = 310(cosα + isin α), α = π+26πk, k = 0,1,2,3,4,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37216

1. Вычислить модуль и аргумент числа $z = 4− 4i$

2. Пусть $u = 2(cos π+ isin π),v = 3(cos π + isin π ). 3 3 9 9$ Найти модуль и аргумент числа $u2 -¯v3.$ Значение аргумента укажите из интервала $[0,2π )$

3. Пусть $u = 3(cos π+ isin π),v = 2(cos π + isin π ). 6 6 7 7$ Найти модуль и аргумент числа $4 5 ¯u ⋅¯v.$ Значение аргумента укажите из интервала $[0,2π)$

4. Приведите число $z = 8 − 8i$ к тригонометрическому виду.

5. Приведите число $z = 4(cos 5π6 +isin 5π6 )$ к алгебраическому виду.

Показать ответ и решение

1. Модуль комплексного числа $z = x + iy$ вычисляется по формуле $∘ ------- |z| = r = x2 + y2.$ В нашем случае получается $∘ --------- √ -- √ - r = 42 + (− 4)2 = 32 = 4 2$
Аргумент же равен $arctg y = arctg(− 1) = 7π x 4$ .

2. Для начала найдем по отдельности числа $u2$ и $¯v3$ :

$2 u$ мы найдем из соображения, что при возведении в квадрат модуль комплексного числа тоже возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2. Тогда ясно, что $u2 = 4(cos 2π-+ isin 2π-). 3 3$ Аналогично, $v3 = 27(cos π + isin π). 3 3$ Тогда сопряженный к кубу $v$ будет, понятное дело: $3 π π 5π 5π ¯v = 27(cos 3 − isin 3) = 27(cos 3 + isin 3 ).$

А при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются (из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя). Таким образом, имеем: $u23 = 4-(cos(− π) + isin(− π)) = 4(cosπ+ isinπ) = − 4 v¯ 27 27 27$

3. Аналогично предыдущему пункту имеем: $4 4π 4π 4π 4π ¯u = 81(cos 6 − isin 6 ) = 81(cos 3 + isin 3 ),$ $¯v5 = 32(cos 5π7 − isin 5π7 ) = 32(cos 9π7 + isin 9π7 ).$ Значит, $¯u4 ⋅¯v5 = 2592(cos 552π1-+ isin 552π1 ) = 2592(cos 1321π+ isin 123π1-)$

4. Для этого нужно узнать аргумент и модуль данного числа. Модуль считается по формуле: $r = ∘82-+-(−-8)2 = √128 = 8√2.$ Аргумент $α$ вычисляется по формуле: $y tg(α) = x = − 1.$ Значит, $7π α = 4 .$ Получается, что $√ - 7π 7π z = 8− 8i = 8 2(cos4 + isin 4 ).$

5. Здесь нам понадобятся обратные формулы: $x = rcos(α),$ $y = rsin(α ).$ В нашем случае $r = 4,α = 56π.$ Тогда $√- x = 4cos 56π= − 2 3,$ $y = 4 sin 5π6-= 2.$ Таким образом, $z = − 2√3-+ 2i.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40754

Вычислить $z = (2−135+i2)(32i+5i)-$ .

Показать ответ и решение

Сначала давайте посчитаем наш знаменатель:

(2 − 3i)(2 + 5i) = 4 + 10i− 6i − 15i2 = 19 + 4i

То есть

15+ 23i 15+ 23i z = --------------= -------- (2 − 3i)(2 + 5i) 19 + 4i

А далее, нужно всего лишь домножить на сопряженное к знаменателю и числитель и знаменатель:

15-+-23i= (15+-23i)(19−-4i)-= 377-+-377i = 1+ i 19+ 4i (19 + 4i)(19 − 4i) 377

Ответ:

$1 + i$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40756

Решить систему c комплексными неизвестными $z1,z2$ :

( { (3+ 2i)z1 + (3 − 5i)z2 = 20 + 2i ( (− 1 + 4i)z1 + (1+ 4i)z2 = − 22 + 22i

Показать ответ и решение

Давайте из второго уравнения выразим

− 22 + 22i+ (1− 4i)z1 22 1 z2 = ---------------------= ---(3 + 5i)− ---(15 + 8i)z1 1 + 4i 17 17

И подставим это $z2$ в первое уравнение:

22 1 (3 + 2i)z1 + (3 − 5i)(--(3+ 5i)− --(15+ 8i)z1) = 20 + 2i 17 17

Мы получаем линейное уравнение с одним неизвестным, правда тут нужно ещё раскрыть скобки и посчитать коэффициент при $z1$ и свободный член.

Но это уже обыкновенные вычисления с комплексными числами

Если всё аккуратно посчитать, это уравнение приводится к виду

(− 2+ 5i)z1 = − 24 + 2i

и, таким образом,

z1 = − 24-+-2i= (− 24-+-2i)(−-2−-5i)-= 2 + 4i − 2+ 5i (− 2+ 5i)(− 2 − 5i)

И, тогда,

22 1 22 1 z2 = --(3 + 5i)− --(15 + 8i)z1 = ---(3+ 5i)− ---(15+ 8i)(2+ 4i) = 4+ 2i 17 17 17 17

Ответ:

$( {z1 = 2 + 4i ( z2 = 4 + 2i$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40757

Используя формулу Муавра, вычислите $√ - (1−1−ii3)20.$ Ответ запишите в алгебраической форме.

Показать ответ и решение

Сначала вычислим то, что стоит под степенью. Пусть

1 − i√3- z = -------- 1− i

Тогда

√ -- √ -- 1−-i--3- (1−-i--3)((1-+-i))- 1 − i = (1 − i)(1+ i) =

√-- √ -- = 1+ -3-+ (1-− --3)i 2 2 2 2

Таким образом, если записывать это в тригонометрической форме, то

√ -- rz = 2

√ -- 1−---3- φz = arctg 1+ √3--

Тогда, по формуле Муавра,

√ -- √ -- z20 = r20(cos 20φz + i sin20 φz) = 1024 (1+ i-3) = 512(1+ 3i) z 2 2

Ответ:

$√ -- 512(1 + 3i)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#68175

Доказать, что при делении комплексных чисел их аргументы вычитаются, а модули делятся.

Показать доказательство

Возьмём два произвольных числа $z1 = r1(cosα + isinα )$ , $z2 = r2(cosβ + isinβ )$ .

Что тогда из себя представляет комплексное число $z1 z2$ ? Допустим, оно имеет тригонометрическую форму

z1 z-= ρ(cosγ + isinγ). 2

Но тогда ясно, что должно быть выполнено

z1 ⋅z2 = z1 z2

А поскольку при умножении комплексных чисел аргументы складываются, а модули перемножаются, мы это последнее равенство $z1z2-⋅z2 = z1$ можем записать в тригонометрической форме:

ρr2(cos(γ + β )+ isin(γ + β)) = r1(cosα+ isin α)

Следовательно приравнивая модули и аргументы левой и правой части имеем:

( { γ + β = α ( ρr2 = r1

Откуда $γ = α − β$ и $ρ = r1 r2$ . Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#68176

Найти все корни

--------- ∘ 18 4 − ---√--- 1+ i 3

Показать ответ и решение

Давайте сначала преобразуем немного выражение под корнем:

- - - 18 18(1− i√3) − 18+ 18√3i 9 9√ 3 −1-+-i√3-= − (1+-i√3)(1−-i√3) = -12 +-(√3)2 = −2 + -2--i

Ясно, что модуль подкоренного комплексного числа равен $9 9√3 ∘ 81-----81 |− 2 + 2 i| = 4 + 3 ⋅4 = 9$ , а аргумент $α$ равен $9√3 √- arctg-29 + π = arctg(− 3)+ π = 2π3 − 2$ .

Таким образом, если $4 18 u ∈ {u ∈ ℂ|u = − 1+i√3}$ и $u$ имеет тригонометрическую форму $u = r(cosα+ isinα)$ то мы получаем следующую систему:

({ 4 r = 9 (4α = 2π +2πk, k ∈ ℤ, 3

Откуда получаем, что $√- r = 3$ , $2π+6πk- π+3πk αk = 12 = 6$ , $k = 0,1,2,3$ . То есть решением будет множество

√- π- π- √- 2π- 2π- √- 7π- 7π- √- 5π- 5π- { 3(cos6+i sin 6), 3(cos 3 +isin 3 ), 3(cos 6 +i sin 6 ), 3(cos 3 +i sin 3 )}

Или, что то же самое

√ - √ - √- √- √ - --3 i √ - 1 --3 √- -3- i √- 1 -3- { 3( 2 + 2), 3(− 2 + i2 ), 3(− 2 − 2), 3(2 − i 2 }

Ответ:

$√ - √- √ - √ - √ - √- √ - √- { 3(23+ i2), 3(− 12 + i-23), 3(− -32-− i2), 3(12 − i-32 }$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#68177

Какой геометрический смысл имеет выражение $|z1 − z2|$ , если $z1$ и $z2$ - некоторые заданные комплексные числа?

Показать ответ и решение

Пусть $z1 = a + bi$ , $z2 = c+ di$ , тогда $z1$ имеет на комплексной плоскости координаты $(a,b)$ , а $z2$ имеет на комплексной плоскости координаты $(c,d)$ . Тогда $z − z 1 2$ имеет координаты $(a − c,b − d)$ , и тогда $|z − z | = ∘ (a−-c)2 +-(b−-d)2 1 2$ - то есть фактически это длина вектора, соединяющего концы $z1$ и $z2$ .

Таким образом, выражение $|z1 − z2|$ обозначает расстояние между числами $z1$ и $z2$ на комплексной плоскости.

Ответ:

Расстояние между числами $z1$ и $z2$ на комплексной плоскости.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#68178

На комплексной плоскости изобразить множество точек:
a) $|z| = 1$ ;
b) $argz = π 3$ ;
c) $|z| ≤ 2$ ;
d) $1 ≤ |z − 2i| ≤ 2$ ;
e) Решить систему графически: $( { |z| = √2 ( |z − 1| = 1$

Показать ответ и решение

a) Возможно, будет немного понятнее, если мы сделаем немного искусственную запись того уравнения, которое задает наше множество точек:

|z − 0| = 1

Ясное дело, что мы ничего не изменили. Но теперь видно, что $|z − 0|$ — это расстояние от точки $z$ до точки 0 (начала координат). Следовательно, множество таких $z$ , что $|z| = 1$ — это множество таких комплексных чисел, которые находятся на расстоянии 1 от нуля. То есть это окружность радиуса 1 с центром в начале координат;

$PIC$

b) Множество точек, у которых аргумент равен $π3$ — это луч, выходящий из начала координат под углом $π 3$ к положительному направлению оси $Re (z)$ ;

$PIC$

c) Вновь перезапишем исходное условие как

|z − 0| ≤ 2

Ясное дело, что мы ничего не изменили. Но теперь видно, что $|z − 0|$ — это расстояние от точки $z$ до точки 0 (начала координат). Следовательно, множество таких $z$ , что $|z| ≤ 2$ — это множество таких комплексных чисел, которые находятся на расстоянии не больше 2 от нуля. То есть это круг радиуса 2 с центром в начале координат, включая граничную окружность;

$PIC$

d) Это множество точек, расстояние от которых до точки $2i$ не меньше 1 и не больше 2. То есть это кольцо с центром в $2i$ внутреннего радиуса 1 и внешнего радиуса 2, включая обе граничные окружности;

$PIC$

e) Первое уравнение системы задает окружность с центром в начале координат радиуса $√2-$ , а второе уравнение — это окружность с центром в точке 1 радиуса 1. Нетрудно видеть, что они пересекаются в точках $1 +i$ и $1− i$ .