Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

Тема Аналитическая геометрия

02 Задачи в координатах на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведение.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела аналитическая геометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#68666

Показать, что если

−→ −→ −→ −→ −→ −→ [a ,b ]+ [b ,c ]+[ c ,a ] = 0

то векторы $−→ −→ −→ a, b , c$ - компланарны.

Показать доказательство

Давай возьмём вектор $−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ v = [a, b ]+ [b , c ]+ [c , a]$ и умножим его скалярно на вектор $−→a$ . Получим:

−→ −→ < −→v ,−→a >= < [−→a ,b ]+ [b ,−→c ]+ [−→c ,−→a],−→a >=

−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ =< [a ,b ],a > + < [b ,c ],a > + < [c ,a ],a >= (◟a,◝b◜ ,a-)◞ +( b ,c ,a )+ (◟c-,a◝◜,-a)◞ смеш. произв.= 0 смеш. произв. = 0

Но смешанное произведение равно нулю, если в нем есть два повторяющихся вектора, поскольку смешанное произведение считается как определитель из координат входящих в него векторов, а определитель с двумя равными строчками (или столбцами - неважно) равен нулю.

Таким образом, получаем, что первое и третье слагаемое в последней сумме равны нулю и, тем самым,

−→ −→ −→ < [−→a ,b ]+ [b ,−→c ]+ [−→c ,−→a ],−→a >= (b ,−→c ,−→a)

Теперь допустим, как и сказано в условии, что

−→ −→ −→ −→ −→ −→ [a ,b ]+ [b ,c ]+[ c ,a ] = 0

Но тогда получаем, что

< [−→a ,−→b ]+ [−→b ,−→c ]+ [−→c ,−→a ],−→a >= 0

(Скалярное произведение нулевого вектора слева с каким угодно вектором справа равно нулю).

Но тогда $(−→b ,−→c ,−→a ) = 0$ . А, значит, векторы $−→b ,−→c ,−→a$ образуют параллелепипед нулевого объема. Но такое может быть только если они компланарны. Что и требовалось доказать.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#68667

Пусть известно векторное произведение $−→ −→ [a, b ]$ . Выразить через него следующие произведения:

1. $−→ −→ −→ −→ [a + b , a − b ]$ ;
2. $[−→a,−→a + −→b ]$ ;
3. $−→a+−→b- −→ −→a- [ 2 ,b − 2 ]$ .

Показать ответ и решение

Раз векторное произведение $−→ −→ [a, b ]$ нам известно, обозначим его за $−→ v$ : $[−→a ,−→b ] = −→v$ . Далее, пользуемся свойствами векторного произведения и тем свойством, что векторное произведение любого вектора с самим собой даёт ноль, поскольку равна нулю площадь соответственного паралеллограмма:

1.

−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ [a + b ,a − b ] = [a, a]+ [a,− b ]+ [b ,a ]+ [b ,− b ] =

= −→0 − [−→a,−→b ]− [−→a,−→b ]− −→0 = − −→v − −→v = − 2−→v

[−→a ,−→a + −→b ] = [−→a,−→a]+ [−→a,−→b ] = −→0 +[−→a ,−→b ] = −→v

−→a + −→b −→ −→a −→a −→ −→a −→a −→b −→ −→b −→a [-------,b − --] = [-,b ]+ [-,− --]+ [--,b ]+[--,− --] = 2 2 2 2 2 2 2 2

= 1 [−→a,−→b ]− 1[−→b ,−→b ]+ 1 [−→b ,−→b ]− 1[−→b ,−→a] = 2 2 2 4

1 −→ −→ −→ −→ 1−→ −→ 3 −→ = 2[a, b ]− 0 + 0 + 4[a, b ] = 4 v

Ответ:

Если $−→ −→ −→ [a ,b ] = v$ то
1. $− 2−→v$ ;
2. $−→v$ ;
3. $3−→ 4v$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#96463

Пусть точки $A$ и $B$ имеют в некотором репере в пространстве координаты $(a1,a2,a3)$ и $(b1,b2,b3)$ соответственно.

Пусть $X$ - точка на отрезке $AB$ такая, что $|AX-| λ |XB | = μ$ .

Доказать, что тогда координаты точки $X$ в этом же репере можно вычислять по формуле

x1 = μa1 +-λb1, x2 = μa2-+-λb2, x3 = μa3-+-λb3 λ+ μ λ + μ λ + μ

Замечание. Разумеется, для аналогичной ситуации на плоскости формулы будут абсолютно такими же.

Показать доказательство

Очевидно, что при данных условиях задачи координаты векторов $−−→ AX$ и $−−→ XB$ равны, соответственно $(x1 − a1,x2 − a2,x3 − a3)$ и $(b1 − x1,b2 − x2,b3 − x3 )$ (мы просто вычли из координат конца вектора координаты его начала).
Ну а что значит, что точкой $X$ мы хотим разбить отрезок $AB$ в отношении $λ μ$ (считая от вершины $A$ )? Это в точности значит, что

−−→ −−→ μAX = λXB

В координатах эти условия записываются как:

( || μ(x1 − a1) = λ(b1 − x1) |{ μ(x2 − a2) = λ(b2 − x2) |||( μ(x3 − a3) = λ(b3 − x3)

Эта СЛУ с неизвестными $x ,x ,x 1 2 3$ имеет (при, конечно, $λ ⁄= 0,μ ⁄= 0$ ) единственное решение (проверьте, например, методом Гаусса, или по правилам Крамера!):

μa + λb xi = --i----i, i = 1,2,3 μ + λ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#96464

Даны две различные точки $A$ и $B$ и положительное число $k$ , причем $k ⁄= 1$ . Найти геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точек $A$ и $B$ равно $k$ .

Показать ответ и решение

Введем ортонормированный репер следующим образом: начало координат совпадает с точкой $A$ , а точка $B$ лежит на оси $Ox$ , причем справа от начала координат. Тогда в таком репере точка $A$ имеет координаты $A(0,0)$ . А точка $B$ имеет координаты $B (xB,0)$ , причем $xB > 0$ .

Точка точка с координатами $(x,y)$ принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда

∘ ------- d(A, x) x2 + y2 ------- = k, ∘---------2----2 = k d(B, x) (x − xB) + y

Возводя обе части в квадрат, получим:

x2 + y2 2 (x−-x--)2 +-y2-= k B

Далее, домножая все на знаменатель дроби и группируя подобные слагаемые, будем иметь:

k2 k2 (x + -----2xB)2 + y2 = -----2-2x2B 1− k (1 − k )

Это уравнение окружности с центром в точке

k2 (− ----2xB, 0) 1− k

и радиусом

--|k|-- |1− k2|xB

Ответ:

Окружность с центром в точке $2 (− 1−kk2xB, 0)$ и радиусом $|k| |1−k2|xB$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#96465

Доказать тождество Лагранжа (бац минус цаб):
Для любых векторов трёхмерного пространства выполнено тождество

[−→a ,[−→b ,−→c ]] = −→b < −→a,−→c > − −→c < −→a ,−→b >

Показать доказательство

Давайте выберем ортонормированный репер положительной ориентации $O −→e1−→e2−→e3$ так, чтобы вектор $−→ c$ был коллинеарен $−→ e1$ , а вектор $−→ b$ лежал в плоскости, натянутой на векторы $−→ −→ e1,e2$ , а вектор $−→ a$ - как получится.

В таком базисе наши вектора $−→ −→a, b ,−→c$ , очевидно, будут иметь координаты немного специального вида (мы специально этого и добивались для упрощения вычислений):