Описанная сфера

Пусть точка — основание высоты пирамиды, точка — центр описанной окружности сферы, — радиус этой сферы. Тогда По свойству правильной пирамиды точка лежит на прямой являющейся высотой.

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, так как перпендикулярна плоскости то есть перпендикулярна и прямой лежащей в как радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной Рассмотрим, чему может быть равна длина отрезка в зависимости от положения точки относительно точек и

1.

Пусть лежит на отрезке Тогда

2.

Пусть лежит за точкой то есть точки и находятся по разные стороны от точки Тогда

3.

Пусть лежит за точкой то есть точки и находятся по разные стороны от точки Но тогда и в прямоугольном треугольнике катет больше чем гипотенуза что не возможно, то есть не может лежать за

Получается, что По теореме Пифагора: