19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Пусть мы хотим доказать, что функция принимает в какой-то точке значение лежащее между и

Рассмотрим тогда функцию Поскольку лежит между и то она больше одного из чисел и и меньше другого. То есть,

Таким образом, поскольку - тоже непрерывна на то она удовлетворяет всем условиям теоремы Больцано-Коши.

Значит, найдётся точка такая, что Но это и означает, что

В каждой точке отличной от 0, наша функция представляет собой композицию непрерывных функций и поэтому непрерывна.

Поэтому единственная "подозрительная" точка - это точка

Посчитаем

поскольку мы имеем бесконечно малую при функцию умноженную на ограниченный

Следовательно, так как то наша функция непрерывна в точке 0.

Ясно, что в каждой точке отличной от 0, наша функция представляет собой либо непрерывную экспоненту, либо линейную функцию, непрерывную при любом Поэтому единственная "подозрительная" точка - это точка

Чтобы была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы Однако

Поэтому единственное допустимое для условия задачи это

Найти следующие пределы:

1.
Найти предел

Решение.

Давайте немного преобразуем выражение, домножив на сопряженное к числителю и знаменателю:

А далее пользуемся формулой сокращенного умножения в знаменателе:
И мы, тем самым, избавились от всех наших неопределенностей. Ясно, что числитель этой дроби - константа - стремится к 1, а знаменатель будучи непрерывной функцией: при
Значит, по теореме о пределе частного имеем:

2.
Найти предел

Решение.

Ясно, что

А, поэтому, в силу непрерывности экспоненты, будем иметь:

Вычислим отдельно

Итак, Сделаем замену Тогда если то а поэтому при

Следовательно, будем иметь:

А потому А, следовательно,

3.
Найти предел

Решение.

Ясно, что - по теореме о пределе частного.

4.
Найти предел

Решение.

Ясно, что по формулам приведения а поэтому Далее, поскольку при аргументе, стремящемся к 0 то имеем:

Давайте для начала преобразуем наше выражение:

Далее, давайте вспомним определение того, что
Это означает, что

Давайте посмотрим в нашем случае на выражение :

Итак, пусть нам дали Выберем так, что при будет выполнено, что

Аналогично, выберем так, что при будет выполнено, что

Тогда ясно, что при будет выполнено, что будет выполнено, что

И поскольку при достаточно большом то окончательно имеем, что при

И тогда если обозначит то мы получаем, что при правильном выборе мы можем сделать при разность между нашей функцией и 1 по модулю меньше любого наперед заданного Это и доказывает по определению, что

Ясно, что

Но тогда ясно, что Числитель стремится к 8, знаменатель стремится к 1. Значит, по теореме о пределе отношения, дробь стремится к 8 при

Согласно таблице будем иметь:


(Здесь мы воспользовались тем, что , а также тем, что , а также тем, что ).

И теперь видно, что числитель будет стремиться к а знаменатель будет стремиться к 0. Таким образом, вся дробь будет стремиться к

Следовательно, предела при у функции не существует.

Ясно, что числитель нашей функции непрерывен в каждой точке, потому что он является произведением всюду непрерывной функции и которая тоже всюду непрерывна, будучи композицией всюду непрерывной и - квадратичной параболы (теорема о композиции непрерывных функций).

Знаменатель - тоже непрерывен во всех точках - это композиция всюду непрерывной и - линейной функции (теорема о композиции непрерывных функций).

Следовательно, единственной точкой, где наша функция может терпеть разрыв - это точка

Однако, поскольку при Следовательно, раз функция не определена в точке но при этом имеет предел при то по определению разрыв в точке - устранимый. Ибо достаточно только доопределить нашу функцию в точке её пределом и новая, уже доопределенная функция, будет непрерывной на всём

Достаточно в приведенном определении положить и и мы видим, что определение равномерной непрерывности на тогда превращается в определение непрерывности функции в точке . И, поскольку от выбора ничего не зависит, то получается, что из равномерной непрерывности на следует обыкновенная поточечная в каждой точке

Рассмотрим функцию - болталочка.

Тогда на интервале наша непрерывна в каждой точке как композиция непрерывных в каждой точке функций и

Однако она не равномерно непрерывна на То есть невозможно, чтобы

Потому что если взять скажем, равное 1 (подойдёт любое меньшее 2), то не получится уже выбрать требуемое в определении равномерной непрерывности. Потому что какое бы маленькое мы ни взяли, в любой окрестности левого конца интервала, то есть ноля, найдётся и точка в которой (это точки вида ), и также в любой окрестности ноля найдётся и точка в которой (это точки вида ).

Таким образом, какое бы маленькое мы ни взяли, всегда в любой окрестности ноля найдутся две точки такие, что где мы выбрали равным 1.

Для начала вспомним, что такое функция Дирихле:



Иными словами, функция Дирихле принимает значение 1 на рациональных числах и значение 0 на иррациональных.

Известно, что функция Дирихле разрывна во всех точках.

Теперь воспользуемся второй частью подсказки - умножим функцию Дирихле, например, на . Получится функция, которая нам и нужна, и сейчас мы в этом убедимся:



Эта функция всё ещё будет разрывна во всех точках, кроме . Это потому, что если , то .

Действительно, в любой окрестности есть как рациональные, так и иррациональные точки, значит, при функция , в рациональных точках равная , при и при стремлении по рациональным точкам будет стремится к , в то время как при стремлении по иррациональным точкам будет стремится к 0, поскольку она просто равна 0 в любой иррациональной точке.

Следовательно, при предела у нет.

Однако, поскольку при функция есть произведение бесконечно малой на ограниченную , то

А, значит, функция непрерывна в нуле. Но, как мы показали выше, разрывна в любой другой другой точке. Что и требовалось построить.

Пусть .

Так как:
a) При выполнено, что (в силу того, что при );

b) А при выполнено, что (в силу того, что при ),

то ясно, что найдётся отрезок такой, что . Тогда, по теореме Больцано-Коши (a.k.a. теорема о промежуточном значении непрерывной функции) такая, что . Следовательно, наш многочлен (как и любой многочлен нечётной степени, что видно из приведённого выше рассуждения) обязательно имеет хотя бы один вещественный корень .

Сначала поймем, что непрерывность в точке из данного условия не следует. Рассмотрим функцию
Она разрывна в точке , т. к. ее предел в этой точке не равен значению. Однако для любой окрестности точки найдется такой (например, ), что будет выполняться данное нам условие.

Свойство, которое следует из условия - ограниченность в любой окрестности. Действительно, если в любой окрестности значение функции отличается от не более, чем на конечный , можно утверждать, что функция имеет в любой окрестности верхнюю и нижнюю границы и соответственно.

Давайте для начала отметим, что в этой логической формуле изменилось по сравнению с обычным определением предела функции в точке.

А изменилось вот что: здесь мы не требуем, чтобы . То есть мы усилили условие: в обычном определении неравенство должно было выполняться для всех из проколотой окрестности точки , а теперь для всех из обычной, непроколотой окрестности. То есть, в частности, должно быть выполнено и для самого .

Тогда, конечно, мы получаем гораздо более узкое в логическом смысле условие. Далеко не каждая функция, имевшая предел в некоторой точке в обычном смысле, будет удовлетворять этому условию. Возьмём, к примеру, функцию

Она имеет предел в точке , и этот предел равен 1. То есть .

Однако для этой не выполнено условие

Потому что если взять в качестве , например, число , а в качестве взять саму точку 0, то, разумеется, условие выполнено для любой положительной , поскольку , а значит и , но однако при этом

1. Изменилось по отношению к обычному определению предела то, что мы не написали, что . Казалось бы, что такого - теперь мы разрешаем брать не просто любые сколь угодно маленькие положительные , но вообще любые . Однако это небольшое изменение, оказывается, крайне существенно.

Ведь если мы возьмём, к примеру, какое-нибудь отрицательное , допустим, , то как мы там ни старайся и ни подбирай , мы никогда не найдем никакой проколотой окрестности , чтобы для всех точек из этой окрестности выполнялось

Потому что это последнее неравенство превращается в

Чего быть не может, поскольку слева заведомо стоит неотрицательная величина, и она не может быть строго меньше отрицательной.

2. Тем самым ответ на второй вопрос такой - не будет ни одной функции, которая бы имела бы предел хотя бы в какой-то точке. Класс сходящихся в любой точке функций будет пустым множеством.

Вывод. В определении предела важны все входящие в него детали вплоть до самых, казалось бы, мелочей (как и любое определение в математике).

1. Изменилось то, что в конце теперь вместо мы написали . На что же это повлияет?
Получается, что наше определение теперь можно прочитать так:

То есть теперь значения нашей функции при приближении к должны быть всё дальше и дальше от какой-то точки .

2. Итак, давайте поэкспериментируем. Пусть . Что тогда? Тогда найдется такая проколотая окрестность , что выполнено, что , то есть

Отлично, а что, если ? Тогда найдется какая-то другая проколотая окрестность , что выполнено, что

Но это означает, что каково бы ни было , мы всё равно, поскольку можем брать любые получим, что будет находиться всё меньше и меньше окрестность такая, что для всех иксов из этой проколотой окрестности либо .

Но поскольку - некоторое фиксированное число, а - любое положительное число, то может быть сделано сколь угодно большим, а наоборот сколь угодно отрицательным большим. То есть мы получаем, для любой константы найдётся проколотая окрестность точки такая, что для всех из этой проколотой окрестности получаем, что

Это означает, что - бесконечно большая при (это понятие абсолютно аналогично такому же понятию для последовательности).

Давайте распишем более подробно, что из себя представляем функция .

Если , то .

1. Докажем по определению по Коши, что .
Для этого достаточно показать, что для любой окрестности точки 1 найдётся проколотая окрестность точки 0 такая, что для всех из этой выполнено .

Но на самом деле в любой проколотой окрестности нуля функция тождественно равна 1, и поэтому её значения заведомо попадут в любую окрестность точки 1. Следовательно, .

2. Докажем по определению по Гейне, что .
Для этого достаточно показать, что какую бы последовательность с условиями , для любого мы ни взяли, всегда будет выполнено, что .

Однако, если последовательность удовлетворяет условиям , , то, в частности, из-за того, что , мы получаем, что для любого . То есть последовательность - константная последовательность, равная всё время 1. Следовательно, .

Но, поскольку последовательность была произвольна, то мы и доказали согласно определению предела по Гейне.

Давайте запишем отрицание того, что некоторая функция имеет предел в точке по Гейне:

по Гейне означает, что неверно, что какую бы последовательность , стремящуюся к , но никогда не равную мы ни взяли, обязательно для неё будет выполнено, что для какого-то одного и того же .

Иными словами, либо:
1. Для какой-то последовательности , для любого последовательность значений функции предела не имеет;
2. Либо для каких-то двух последовательностей , , , для любого будет выполнено, что , , и при этом .

То есть, говоря коротко, функция не имеет предела в точке по Гейне если либо на какой-то последовательности её значения не имеют предела, либо если на двух последовательностях её значения сходятся, но к разным числам.

Давайте докажем, что у нас с вами именно тот самый случай.

А именно, возьмём две такие последовательности:

Ясно, что .

При этом

(поскольку синус в этих точках просто-напросто всегда равен )
Аналогично,

И мы видим, что наша функция на двух разных последовательностях стремящихся к нулю стремится при этом к разным пределам, следовательно, по Гейне у неё предела при нет.

Допустим, от противного, что существует такая , что при всех выполнено

и, кроме того, , но при этом .

Возьмём тогда две такие окрестности и , что окрестность лежит целиком правее, чем окрестность :

Тогда по определению предела, поскольку , то для окрестности существует такая проколотая окрестность , что при всех выполнено, что .

Аналогично, по определению предела, поскольку , то для окрестности существует такая проколотая окрестность , что при всех выполнено, что .

Тогда для всех будет выполнено, что и одновременно с этим .

Но это означает, что значения лежат правее значений (поскольку значения попадают в , которая правее , в которую попадают значения ). Но это противоречит тому, что в какой-то проколотой окрестности выполнено неравенство .

Полученное противоречие доказывает, что не может быть строго больше .

Давайте здесь применим определение предела функции в точке по Гейне. Нам дано, что и что .

Первое означает, что какую бы последовательность с условиями: 1) ; 2) мы ни взяли, обязательно будет выполнено .
Аналогично, второе означает, что для таких же выполнено, что .

Давайте теперь возьмём произвольную последовательность с условиями: 1) ; 2) .
Поскольку , то рано или поздно попадёт в проколотую окрестность , в которой выполнено двойное неравенство

То есть начиная с некоторого при будет выполнено

Далее, поскольку , , то к этому последнему неравенству можно применить теорему о двух милиционерах для последовательностей(!) и заключить, что .

А поскольку последовательность была произвольная, то мы заключаем, что для произвольной последовательности выполнено, что при .

Но это и означает, согласно определению предела функции в точке по Гейне, что . И мы, тем самым, всё доказали.