a) Домножим и разделим на сопряженное:

∘ ---------- 2 2 x − x2 + x+ 1 = x--−-(√x--+-x+-1) = ----√− x-−-1---- x + x2 + x + 1 x + x2 + x+ 1

Теперь поделим и числитель и знаменатель на $x$ .

Только будем осторожными - когда мы будем делить вот этот кусочек знаменателя $√ ---------- x2 + x + 1$ на $x$ , нам, разумеется, захочется внести его под корень. Но у нас $x → − ∞$ , поэтому мы вспоминаем школьное свойство, что при $a < 0$ выполнено

√---------- √ -------- √ -------- a2 что-то = |a| что-то = ( если a < 0 )− a что- то

(в нашем случае роль $a$ играет $1x$ , которое то как раз и отрицательно при $x → − ∞$ ).

И тогда

1 ---√−-x−-1-----= ---∘−-1−--x----- x+ x2 + x+ 1 1− 1 + 1 + -1 x x2

Итак, числитель, очевидно, стремится к $− 1$ .

В знаменателе же стоит разность $1$ и корня $∘ ---------- 1 + 1 + 1- x x2$ , который, очевидно, стремится к 1. Таким образом, знаменатель наш стремится к нулю, причем оставаясь всегда положительным, а числитель стремится к $− 1$ .

Делаем вывод: при $x → − ∞$ выражение

− 1− 1 ---∘------x----- 1− 1 + 1x + x12

А вместе с ним и наше исходное выражение

∘ ---------- x− x2 + x + 1

расходится к $− ∞$ .

b) Поскольку задача состоит в том, чтобы найти

xl→im∞ нашего вы ражени я

необходимо исследовать предел

xl→im+ ∞ наш его выраж ения

и

lim наш его выраж ения x→− ∞

Если окажется, что они существуют и равны между собой, то тогда и только тогда мы скажем, что существует и равен им предел

lim нашего вы ражени я x→ ∞

Итак, приступим:

Домножим и разделим на сопряженное:

∘3--3---2---- ∘3--3---2---- ------------------x3-+-x2 +-1-−-(x3 −-x2-+-1)----------------- x + x + 1− x − x + 1 = 3∘ (x3 +-x2-+-1)2 + 3∘ (x3-+-x2-+-1)(x3-−-x2-+-1)+ ∘3(x3-−-x2 +-1)2 =

2 = ∘-----------------∘----------2x---------------∘--------------- 3 (x3 + x2 + 1)2 + 3 (x3 + x2 + 1)(x3 − x2 + 1)+ 3(x3 − x2 + 1)2

Теперь поделим и числитель и знаменатель на $2 x$ .

В данном случае мы делим, во-первых, на что-то явно положительное при $x → +∞$ , и при $x → − ∞$ тоже. Да и корень у нас нечетной степени. Поэтому никаких таких забот, как в предыдущем пункте у нас не возникнет. Наше деление происходит без смены знака у корня причем как при $x → +∞$ , так и при $x → − ∞$ . Тогда:

-----------------------------2x2------------------------------ 3∘ (x3 +-x2-+-1)2 + ∘3(x3-+-x2 +-1)(x3-−-x2 +-1)+ 3∘ (x3 −-x2 +-1)2 =

2x2 = ∘3-6-----------------------------3∘--6-----------------------------3∘---6-------------------------- = x + од ночлены степен и < 6 + x + од ночлены степени < 6 + (x + одноч лены степе&#

(а теперь делим )

= ∘----------------------------∘------------2----------------∘-------------------------- 3 1+ члены вида 1k,k > 0 + 31 + члены вида -1k,k > 0 + 3 1+ члены вида 1k,k > 0 x x x

Видно, что числитель стремится к 2 (он просто равен 2), а в знаменателе стоит сумма трех корней, в каждом из которых подкоренное выражение стремится к 1, следовательно, знаменатель стремится к 3.

Причем, обратите внимание, что мы нигде не пользовались тем, $x → + ∞$ или $x → − ∞$ .

Следовательно, мы можем заключить и то, что

∘3 ----------- 3∘ ----------- 2 x→lim−∞ x3 + x2 + 1− x3 − x2 + 1 = 3

И то что

∘3 ----------- 3∘ ----------- 2 x→li+m∞ x3 + x2 + 1− x3 − x2 + 1 = 3

А значит, вывод:

3∘ -3----2---- 3∘ -3----2---- 2- xli→m∞ x + x + 1 − x − x + 1 = 3

c) Поскольку задача состоит в том, чтобы найти

xl→im∞ нашего вы ражени я

необходимо исследовать предел

lim наш его выраж ения x→+ ∞

и

lim наш его выраж ения x→− ∞

Если окажется, что они существуют и равны между собой, то тогда и только тогда мы скажем, что существует и равен им предел

xl→im∞ нашего вы ражени я

Итак, приступим:

Домножим и разделим на сопряженное:

∘ ---------- 1 (x2 − x + 1)− (x − 1)2 3 x2 − x + 1 − x+ -= -√----------------21--= √--------4--------1 2 x2 − x + 1 + x− 2 x2 − x+ 1 + x − 2

1. Исследуем при $x → +∞$ . Тогда числитель стремится к $3 4$ , а в знаменателе давайте вынесем $x$ за скобки:

---------- ∘ ----------- ∘ x2 − x + 1+ x − 1-= x ( 1 − 1-+ 1-+ 1 − -1-) 2 x x2 2x

И видно, что при $x → + ∞$ выполнено:

∘ ----------- 1 − 1-+ -1-→ 1, 1− 1--→ 1 x x2 2x

Следовательно, наш $x$ умножается на скобку, стремящуюся к 2.

Следовательно, знаменатель стремится к $+ ∞$ , следовательно, вся дробь

3 √--------4--------1 x2 − x + 1 + x− 2

стремится к 0 при $x → + ∞$ .

2. Исследуем при $x → − ∞$ . Тогда числитель стремится к $3 4$ , а в знаменателе давайте вынесем $x$ за скобки.

Однако, вспомним, что $x → − ∞$ , поэтому по школьному свойству, говорящему о том, что при $a < 0$ выполнено

√---------- √ -------- √ -------- a2 что-то = |a| что-то = ( если a < 0 )− a что- то

(в нашем случае роль $a$ играет $x$ , которое то как раз и отрицательно при $x → − ∞$ ). И будем иметь:

∘ ---------- ∘ ----------- x2 − x + 1+ x− 1= x(− 1 − 1-+ -1-+ 1 − -1) 2 x x2 2x

К чему же все это стремится при $x → − ∞$ ? Давайте немного преобразуем:

∘ ----------- ∘ ----------- x(− 1 − 1-+ -1-+ 1− 1-) = − x ( 1 − 1-+ 1-− 1 + -1-) x x2 2x x x2 2x

Сделаем замену $x = − t$ . Тогда наш пример превратится в

∘ ---------- t( 1+ 1+ 12-− 1 − 1-) t t 2t

Но при такой замене, если $x → − ∞$ , то $t$ , конечно, $t → + ∞$ .

Засунем $t$ обратно под корень ( $t > 0$ ):

∘ -2------- 1- t + t+ 1 − t− 2

Домножим на сопряженное:

2 1 2 3 ∘t2--+-t+-1− t− 1-= t√+--t+-1−-(t+--2)-= √-------4--------- 2 t2 + t+ 1 + t+ 1 t2 + t+ 1 + t+ 1 2 2

И видно, что знаменатель при $t → + ∞$ стремится к $+ ∞$ , числитель стремится к $34$ .

Следовательно,

∘ --------- t2 + t+ 1− t− 1-→ 0,t → + ∞ 2

Следовательно, и до замены

∘ ----------- 1 1 1 − x ( 1− --+ -2 − 1 +---) → 0,x → − ∞ x x 2x

То есть

∘ -2-------- 1- x − x+ 1+ x − 2 → 0,x → − ∞

Таким образом,

---------34--------- √ x2 − x + 1 + x− 1 2

- есть константа, деленная на бесконечно малую. Следовательно,

3 √--2-----4--------1 x − x + 1 + x− 2

- расходится к бесконечности при $x → − ∞$ . Следовательно,

∘ ---------- 1 x2 − x + 1 − x+ -- 2

расходится к бесконечности при $x → − ∞$ .

Получилось, что

lim наш его выраж ения = 0 x→+ ∞

однако

xl→im−∞ нашего вы ражени я − не сущ ествует

Следовательно.

lim наш его вы раж ения − не существует x→∞

19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.