Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Тема Линал и алгебра.

09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121182

Иван записывает на доске матрицу

(2 2) 3 4 .

Затем он выполняет следующую операцию над матрицей несколько раз: он выбирает строку или столбец матрицы и умножает или делит выбранную строку или столбец поэлементно на другую строку или столбец соответственно.

Выясните, может ли Иван после конечного числа шагов получить матрицу

(2 2) 4 3

Показать ответ и решение

Покажем, что начиная с матрицы $(2 2) A = 3 4 ,$ Иван не может получить матрицу $(2 2) B = 4 3 .$

Во-первых, допустимые операции сохраняют положительность элементов. Все матрицы, которые может получить Иван, содержат только положительные элементы.

Для любой матрицы $( ) X = x11 x12 x21 x22$ с положительными элементами определим матрицу

(log x log x ) L(X )= log2x11 log2x12 . 2 21 2 22

Логарифмируя элементы, операции Ивана превращаются в сложение или вычитание строк или столбцов. Такие операции сохраняют определитель матрицы. Значит, достаточно проверить, что $detL (A)⁄= detL(B ),$ чтобы дать ответ нет.

Вычислим определители:

detL(A)= (log22)(log2 4)− (log23)(log22)= 1⋅2− log2 3=2 − log23 >0,

detL(B)= (log 2)(log 3)− (log 2)(log4)= log 3− 2< 0. 2 2 2 2 2

Отсюда заключаем, что Иван не может получить матрицу $B.$

Ответ:

Нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38309

Вычислить $detA$ , где

( ) sin2α cos2α cos2α || 2 2 || A = ( sin β cos β cos2β) sin2γ cos2γ cos2γ

Показать ответ и решение

Как мы помним, элементарные преобразования над столбцами третьего типа (Э.П. 3) (т.е. прибавление к какому-то столбцу какого-то другого столбца с любым коэффициентом $λ ∈ ℝ$ ) не изменяют определителя. Сделаем несколько таких преобразований над нашей матрицей, и тогда всё станет очевидно:

( 2 2 ) ( 2 2 2 ) |sin α cos α cos2α| К 1 столбцу прибавили 2 | sin α + cos α cosα cos2α | det|(sin2β cos2β cos2β|) = det|( sin2β + cos2 β cos2β cos2β |) = sin2γ cos2γ cos2γ sin2γ + cos2 γ cos2 γ cos 2γ

( 2 ) ( 2 2 ) | 1 cos α cos2α| | 1 cos α 2 cos α − 1| = det|( 1 cos2β cos2β|) = det|( 1 cos2β 2 cos2β − 1|) = 1 cos2γ cos2γ 1 cos2γ 2 cos2γ − 1

( 1 2cos2α 2cos2α − 1) Аксиома 2 для det (делим на 12 чтобы ничего не изменилось)1 || 2 2 || = = 2 det( 1 2cos β 2cos β − 1) = 1 2cos2γ 2cos2γ − 1

( ) 1 2cos2α− 1 2cos2α − 1 =Вычтем из второг=о столбца первый 1det|| 1 2cos2β − 1 2cos2β − 1|| 2 ( 2 2 ) 1 2cos γ − 1 2cos γ − 1

У нас получился определитель с двумя одинаковыми столбцами.
По Свойству 2 он равен нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38310

Вычислить $detA,$ где

( ) (a + 1)2 a2 +1 a || 2 2 || A = ( (b+ 1) b + 1 b) (c+ 1)2 c2 + 1 c

Показать ответ и решение

( ) ( ) (a+ 1)2 a2 + 1 a a2 + 2a+ 1 a2 + 1 a det|| (b+ 1)2 b2 + 1 b|| = det|| b2 + 2b+ 1 b2 + 1 b|| = ( 2 2 ) ( 2 2 ) (c+ 1) c + 1 c c + 2c+ 1 c + 1 c

( ) a2 + 2a + 1 a2 + 2a+ 1 a Прибавим ко второму столбцу третий столбец, умнож енный на λ =2 || 2 2 || = det( b + 2b + 1 b + 2b+ 1 b) = c2 + 2c + 1 c2 + 2c+ 1 c

так как у матрицы 2=одинаковых столбца0

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38311

Вычислить $detA,$ где

( ) 1 2 3 || || A = (4 5 6 ) 7 8 9000

Показать ответ и решение

Вычислим определитель, диагонализуя нашу матрицу при помощи элементарных преобразований, с учетом того, как при этих самых элементарных преобразованиях меняется определитель:

( ) ( ) ( ) |1 2 3 | | 5 8 3 | | − 3 8 3 | det|(4 5 6 |) дваж д=ы Э.П.2-1--det|(20 20 6 |) Э.П=.3 -1-det|( 0 20 6 |) = 7 8 9000 4⋅5 35 32 9000 4⋅5 3 32 9000

( 1 8 3 ) ( 1 40 3 ) ( 1 0 0 ) Э.П.2-− 3 | | Э.П.3 −-3- | | дважды Э.П.3 −-3 | | = 4 ⋅5 det|( 0 20 6 |) = 4⋅5 det|( 0 20 6 |) = 4⋅5 det|( 0 20 6 |) = − 1 32 9000 − 1 0 9000 − 1 40 9003

( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 дваж ды= Э.П.2 − 3⋅20-⋅3det|| 0 1 2 || Э=.П.3−-3⋅20⋅3-det|| 0 1 0 || 4⋅5 ( ) 4⋅5 ( ) − 1 2 3001 − 1 2 2997

( ) 1 0 0 дваж д=ы Э.П.3 − 3-⋅20⋅3det|| 0 1 0 || = − 26973 4 ⋅5 ( ) 0 0 2997

Ответ:

$− 26973$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38312

a) Найти обратную матрицу к матрице $A$ методом Жордана, если $( ) |1 2 3 | A = |(2 5 4 |) 0 1 0.5$ ;

b) Найдя обратную матрицу в пункте a), методом Жордана решить СЛAУ

( ) ( ) ( ) | 1 2 3 | | x1| | 0 | |( 2 5 4 |) |( x2|) = |( 2 |) 0 1 0.5 x − 4 3

Показать ответ и решение

a) В методе Жордана поиска обратной матрицы нам нужно приписать справа к $A$ единичную матрицу:
$( ) 1 2 3 1 0 0 ˆ || || A = ( 2 5 4 0 1 0) 0 1 0.5 0 0 1$ и далее преобразовываем эту матрицу так, чтобы матрица, которая изначально была матрицей $A$ (слева), стала единичной. Тогда та матрица, которая изначально была единичной, и станет $A −1.$ Имеем:

( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 7 5 − 2 0 ||2 5 4 0 1 0|| Э.П∼. 3|| 0 1 − 2 − 2 1 0|| дважды∼ Э.П. 3|| 0 1 − 2 − 2 1 0|| ∼ ( ) ( ) ( ) 0 1 0.5 0 0 1 0 1 0.5 0 0 1 0 0 2.5 2 − 1 1

( ) ( ) Э.П.2 |1 0 7 5 − 2 0 | дважды Э.П. 3| 1 0 0 − 0.6 0.8 − 2.8| ∼ |(0 1 − 2 − 2 1 0 |) ∼ |( 0 1 0 − 0.4 0.2 0.8 |) 0 0 1 0.8 − 0.4 0.4 0 0 1 0.8 − 0.4 0.4

Следовательно, мы с вами получили, что

( ) − 0.6 0.8 − 2.8 A−1 = ||− 0.4 0.2 0.8 || ( ) 0.8 − 0.4 0.4

b) Поскольку нам надо было решить систему $Ax = b$ , то, домножая всё на матрицу $A −1$ , получаем

( ) ( ) ( ) − 0.6 0.8 − 2.8 0 12.8 x = A− 1b = || − 0.4 0.2 0.8 || || 2 || = || − 2.8|| ( ) ( ) ( ) 0.8 − 0.4 0.4 − 4 − 2.4

Ответ:

a) $( ) |− 0.6 0.8 − 2.8| A−1 = |(− 0.4 0.2 0.8 |) 0.8 − 0.4 0.4$ ;
b) $( ) | 12.8| x|( − 2.8|) − 2.4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#65732

Решить систему матричных уравнений $( {XA1 = C1 ( A2X + B2Y = C2$ и найти матрицу $− 1 B2$
$( ) ( ) − 1 2 2 − 4 − 12 32 12 − 18 | | | | A1 = |( 2 − 6 0 2 |) ,C1 = |( − 1 2 0 − 7 |) − 3 8 4 − 3 0 − 2 6 − 3$
$( ) ( ) ( ) |− 1 − 3 − 2| | 1 − 2 3 3 | | − 13 − 9 2 | |− 2 − 1 − 1| | − 1 3 − 2 − 4| | 1 11 − 6| A2 = || || ,B2 = || || ,C2 = || || |(− 2 − 3 − 2|) |( 2 − 1 10 5 |) |( − 5 − 29 9 |) 3 3 3 1 − 1 7 9 9 − 35 20$

Показать ответ и решение

Запишем первое уравнение системы, задав матрицу $X$ :

( ) ( ) ( ) | x11 x12 x13| | − 1 2 2 − 4| |− 12 32 12 − 18| |( x21 x22 x23|) ⋅|( 2 − 6 0 2 |) = |( − 1 2 0 − 7|) x31 x32 x33 − 3 8 4 − 3 0 − 2 6 − 3

Составим систему уравнений для первой строки матрицы $C1$ :

$(| |||− x11 + 2x12 − 3x13 = − 12 |||{ 2x11 − 6x12 + 8x13 = 32 ||2x + 4x = 12 |||| 11 13 |(− 4x11 + 2x12 − 3x13 = − 18$

Решим ее. $x11 = 2,x12 = − 2,x13 = 2$
Аналогично составим систему уравнений для второй строки матрицы $X$ :

$( || |||− x21 + 2x22 − 3x23 = − 1 ||{2x − 6x + 8x = 2 21 22 23 |||2x21 + 4x23 = 0 |||| (− 4x21 + 2x22 − 3x23 = − 7$

$x21 = 2,x22 = − 1,x23 = − 1$ . Составим систему уравнений для третьей строки матрицы $X$ :

$( |||− x31 + 2x32 − 3x33 = 0 ||| |{2x31 − 6x32 + 8x33 = − 2 | |||2x31 + 4x33 = 6 |||( − 4x31 + 2x32 − 3x33 = − 3$

$x31 = 1,x32 = 2,x33 = 1$
Мы получили матрицу $X$ :

( ) 2 − 2 2 || || X = ( 2 − 1 − 1) 1 2 1

Подставим её во второе уравнение системы:

A X + B Y = C 2 2 2

( ) ( ) ( ) − 1 − 3 − 2 ( ) 1 − 2 3 3 − 13 − 9 2 || || 2 − 2 2 || || || || || − 2 − 1 − 1|| ⋅|| 2 − 1 − 1|| + || − 1 3 − 2 − 4|| ⋅Y = || 1 11 − 6 || | − 2 − 3 − 2| ( ) | 2 − 1 10 5 | | − 5 − 29 9 | ( ) 1 2 1 ( ) ( ) 3 3 3 1 − 1 7 9 9 − 35 20

( ) ( ) ( ) − 10 1 − 1 1 − 2 3 3 − 13 − 9 2 || || || || || || || − 7 3 − 4|| + ||− 1 3 − 2 − 4|| ⋅Y = || 1 11 − 6|| |− 12 3 − 3| | 2 − 1 10 5 | | − 5 − 29 9| ( ) ( ) ( ) 15 − 3 6 1 − 1 7 9 9 − 35 20

( ) ( ) | 1 − 2 3 3 | |− 3 − 10 3 | ||− 1 3 − 2 − 4|| || 8 8 − 2|| | | ⋅Y = | | |( 2 − 1 10 5 |) |( 7 − 32 12|) 1 − 1 7 9 − 6 − 32 14

Получившуюся систему решим стандартным способом через обратную матрицу:

( ) 145 89 − 32 9 || || B −1= | 45 28 − 10 3 | 2 ||− 31 − 19 7 − 2|| ( ) 13 8 − 3 1

( ) ( ) ( ) 145 89 − 32 9 − 3 − 10 3 − 1 − 2 − 1 || || || || || || Y = || 45 28 − 10 3 || ⋅|| 8 8 − 2|| = || 1 − 2 1 || | − 31 − 19 7 − 2| | 7 − 32 12 | | 2 − 2 1 | ( ) ( ) ( ) 13 8 − 3 1 − 6 − 32 14 − 2 − 2 1

Ответ:

$( ) | 2 − 2 2 | X = | 2 − 1 − 1| ( ) 1 2 1$
$( ) − 1 − 2 − 1 || || Y = | 1 − 2 1 | || 2 − 2 1 || ( ) − 2 − 2 1$
$( ) 145 89 − 32 9 | | −1 || 45 28 − 10 3 || B 2 = || − 31 − 19 7 − 2|| ( ) 13 8 − 3 1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#65752

Вычислить, не развертывая его, определитель

( ) | x y z 1| || y z x 1|| det|| || ( z x y 1) x+2z x+y2-- y+2z 1

Показать ответ и решение

Заметим, что четвертая строка матрицы линейно выражается через первую и третью (а именно, это их полусумма). Значит, определитель матрицы равен нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#65753

Вычислить приведением к ступенчатому виду:

( ) ( ) ( ) | 1 2 3 ... n | | 1 n n ... n | | 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n| || − 1 0 3 ... n || ||n 2 n ... n || || 2 3 4 ... n − 1 n n|| || − 1 − 2 0 ... n || ||n n 3 ... n || || 3 4 5 ... n n n|| a)det|| || b)det || || c)det || || | ... ... ... ... ...| | ... ... ... ... ...| | ... ... ... ... ... ... ...| ( ) ( ) ( ) − 1 − 2 − 3 ... 0 n n n ... n n n n ... n n n

( ) 1 x x2 x3 ... xn || 2 n− 1|| || a11 1 x x ... x || d)det|| a21 a22 1 x ... xn− 2|| | .. .. .. .. .. .. | |( . . . . . . |) an1 an2 an3 an4 ... 1

Показать ответ и решение

a) Прибавим первую строку к каждой другой:

( ) ( ) | 1 2 3 ... n| | 1 2 3 ... n| || − 1 0 3 ... n|| || 0 2 6 ... 2n|| || || || || det|| − 1 − 2 0 ... n|| = det|| 0 0 3 ... 2n|| = n! | ... ... ... ... ...| | ... ... ... ... ...| ( ) ( ) − 1 − 2 − 3 ... 0 0 0 0 ... n

b) Вычтем из каждой строки последнюю:

( ) ( ) | 1 n n ... n n | | 1 − n 0 0 ... 0 0| | n 2 n ... n n | | 0 2 − n 0 ... 0 0| || || || || det|| n n 3 ... n n || = det|| 0 0 3− n ... 0 0|| = (− 1)n−1 ⋅n! || ... ... ... ... ... ...|| || ... ... ... ... ... ...|| || || || || ( n n n ... n− 1 n ) ( 0 0 0 ... − 1 0) n n n ... n n n n n ... n n

c) Вычтем из каждой строки предыдущую:

( ) ( ) | 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n| | 1 2 3 ... n − 2 n− 1 n | || 2 3 4 ... n − 1 n n|| || 1 1 1 ... 1 1 0 || || || || || det | 3 4 5 ... n n n| = det| 1 1 1 ... 1 0 0 | || ... ... ... ... ... ... ...|| || ... ... ... ... ... ... ...|| ( ) ( ) n n n ... n n n 1 0 0 ... 0 0 0

Теперь поменяем местами столбцы таким образом, чтобы матрица пришла к нужному нам виду (первый с последним, второй с предпоследним и т. д.). Таким образом, мы поменяем столбцы местами $[n] 2$ раз (квадратные скобки означают целую часть), и определитель каждый раз будет менять знак. Таким образом, определитель будет равен $[n ] (− 1)2 ⋅n$

d) Вычтем из каждой, строки, кроме последней, следующую, умноженную на $x$ :

( ) ( ) 1 x x2 x3 ... xn 1− a11 ⋅x 0 0 0 ... 0 || 2 n−1|| || || || a11 1 x x ... x || || ... 1− a22 ⋅x 0 0 ... 0|| det| a21 a22 1 x ... xn−2| = det| ... 1− a33 ⋅x 0 ... 0| = || . . . . . . || || . . . . . .|| |( .. .. .. .. .. .. |) |( .. .. .. .. .. ..|) an1 an2 an3 an4 ... 1 an1 an2 an3 an4 ... 1

= (1 − a11 ⋅x )(1 − a22 ⋅x)(1− a33 ⋅x)⋅...⋅(1 − ann ⋅x )

Ответ:

a) $n!$
b) $n−1 (− 1) n!$ c) $[n2] (− 1) ⋅n$
d) $(1− a11 ⋅x)(1 − a22 ⋅x )(1 − a33 ⋅x) ⋅...⋅ (1 − ann ⋅x)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#65756

Решить матричные уравнения

( ) ( ) | 1 2 − 3| | 1 − 3 0| a)|( 3 2 − 4|) X = |( 10 2 7|) 2 − 1 0 10 7 8

( ) ( ) | 5 3 1 | | − 8 3 0| b) X |( 1 − 3 − 2|) = |( − 5 9 0|) − 5 2 1 − 2 15 0

Показать ответ и решение

( ) − 1 ( ) ( ) ( ) ( ) | 1 2 − 3| | 1 − 3 0| | − 4 3 − 2| | 1 − 3 0| | 6 4 5| X = |( 3 2 − 4|) ⋅|( 10 2 7|) = |( − 8 6 − 5|) ⋅|( 10 2 7|) = |( 2 1 2|) 2 − 1 0 10 7 8 − 7 5 − 4 10 7 8 3 3 3

( ) ( ) −1 ( ) ( ) ( ) − 8 3 0 5 3 1 − 8 3 0 1 − 1 − 3 1 2 3 || || || || || || -1-|| || || || X = ( − 5 9 0) ⋅( 1 − 3 − 2) = ( − 5 9 0) ⋅19 ( 9 10 11) = ( 4 5 6) − 2 15 0 − 5 2 1 − 2 15 0 − 13 − 25 − 17 7 8 9

Ответ:

a) $( ) | 6 4 5| X = | 2 1 2| ( ) 3 3 3$
b) $( ) 1 2 3 || || X = (4 5 6) 7 8 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#66017

Как изменится определитель порядка $n$ , если:
а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение?
б) его строки записать в обратном порядке?
в) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец?
г) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы?
д) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку?
е) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний последний столбец?

Показать ответ и решение

а) Вспомним, что если два столбца матрицы поменять местами, то ее определитель сменит знак. Ясно, что чтобы произвести указанную операцию, нужно поменяем столбцы местами $n − 1$ раз (по сути, мы обменяем каждый столбец на соседний по циклу, поэтому нужно будет сделать $n − 1$ обменов), и столько же раз, соответственно, определитель сменит знак. Иными словами, если $n$ - четное, то определитель поменяет знак, а если нечетное - не изменится.

б) Записать строки в обратном порядке - то же самое, что поменять каждую $i$ -ую строку до середины матрицы (не включительно) местами с $(n − i+ 1)$ -ой строкой. Например, первую строку поменять местами с $n$ -ой, вторую с $(n − 1)$ -ой, и т. д. Таким образом, чтобы привести матрицу к нужному виду, нужно сделать $n [2]$ перестановок (квадратные скобки - целая часть). Сколько перестановок, столько раз поменяется знак у определителя. Таким образом, если $n [2]$ - чётно, то определитель не изменится, а если $n [2]$ - нечётно, то он сменит знак.

в) Определитель не меняется, если к элементам его столбца прибавить элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число. Преобразование, которое мы делаем в этом пункте, можно представить так: прибавим к последнему столбцу предпоследний, к предпоследнему тот, что перед ним, и т. д. - к каждому столбцу прибавим предыдущий. Каждое из преобразований по отдельности не меняет определитель, значит и все вместе они его не изменят.

г) Аналогично пункту в)

д) После преобразования получится, что мы каждую строку вычли из какой-нибудь ровно по одному разу. Значит, если сложить теперь все строки, получится, что в сумме каждая строка встречается по одному разу с плюсом и по одному разу с минусом, а вся сумма равна нулю. Таким образом, если просуммировать все строки, то их сумма будет равна нулю, значит, так можно образовать из нашего определителя определитель с нулевой строкой. Следовательно, он равен нулю.

е) Для начала разделим определитель на сумму двух, воспользовавшись тем, что после преобразования первый столбец представляет из себя сумму исходных первого и $n$ -го. Пусть изначально матрица выглядела так:

( ) a1,1 a1,2 ... a1,n−1 a1,n || || | a2,1 a2,2 ... a2,n−1 a2,n| || ... ... ... ... ... || ( ) an,1 an,2 ... an,n− 1 an,n

Тогда после преобразования она вглядит так:

( ) a1,1 + a1,n a1,2 + a1,1 ... a1,n−1 + a1,n−2 a1,n + a1,n−1 || a + a a + a ... a + a a + a || || 2,1 . 2,n 2,2. 2,1 . 2,n−1 . 2,n−2 2,n . 2,n−1|| |( .. .. .. .. .. |) an,1 + an,n an,2 + an,1 ... an,n−1 + an,n− 2 an,n + an,n−1

Разложим ее определитель на сумму двух через первый столбец:

( ) | a1,1 a1,2 + a1,1 ... a1,n−1 + a1,n−2 a1,n + a1,n−1| || a2,1 a2,2 + a2,1 ... a2,n−1 + a2,n−2 a2,n + a2,n−1|| det|| .. .. .. .. .. || + ( . . . . . ) an,1 an,2 + an,1 ... an,n−1 + an,n−2 an,n + an,n−1

( ) a1,n a1,2 + a1,1 ... a1,n−1 + a1,n−2 a1,n + a1,n−1 || || + det|| a2,n a2,2 + a2,1 ... a2,n−1 + a2,n−2 a2,n + a2,n−1|| | ... ... ... ... ... | ( ) an,n an,2 + an,1 ... an,n−1 + an,n−2 an,n + an,n−1

Теперь разберемся, чему равен каждый из двух получившихся определителей. В первом последовательно вычтем из каждого столбца предыдущий. Из второго вычтем первый - получится исходный второй. Теперь из третьего вычтем новый второй - получится исходный третий. Таким образом дойдем до последнего столбца и получим исходный определитель.

Посмотрим, что получается во втором определителе. Вычтем первый столбец из последнего, получим исходный предпоследний. Теперь из $(n− 1)$ -го столбца вычтем новый последний - получится исходный $(n − 2)$ -ой. Продолжим действовать таким образом, пока не дойдем до второго столбца (из него мы вычтем новый третий и получим исходный первый). Получился определитель, который похож на исходный, только у него все столбцы сдвинуты на один вправо, а на месте первого стоит исходный последний. Аналогично первому пункту задачи, такой определитель равен исходному, если n нечетное, и меняет знак, если $n$ четное.

Поймем, каков ответ на вопрос пункта е. Мы разложили определитель на сумму двух, и одно из слагаемых оказалось равно исходному определителю, а второе либо равно ему же, либо обратно (по знаку). Тогда сумма либо равна удвоенному исходному определителю, либо нулю.

Итак, ответ: если $n$ нечетное, определитель удвоится, а если четное, то обнулится.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#66023

Найти значение многочлена $f(x) = 3x2 − 2x + 5$ от матрицы

$( ) | 1 − 2 3| A = |( 2 − 4 1|) 3 − 5 2$

Показать ответ и решение

Многочлен $f (x )$ от матрицы $A$ – результат $f(A) = 3A2 − 2A + 5$ . Посчитаем $A2$ :

$( ) ( ) ( ) | 1 − 2 3| | 1 − 2 3| | 6 − 9 7| |( 2 − 4 1|) |( 2 − 4 1|) = |( − 3 7 4|) 3 − 5 2 3 − 5 2 − 1 4 8$

Следовательно,

$( ) ( ) ( ) 6 − 9 7 1 − 2 3 5 0 0 2 || || || || || || f (A ) = 3A − 2A + 5 = 3( − 3 7 4) − 2 ( 2 − 4 1) + (0 5 0) = − 1 4 8 3 − 5 2 0 0 5 ( ) ( ) 18 − 2+ 5 − 27 + 4 21 − 6 21 − 23 15 = || − 9 − 4 21 + 8 + 5 12 − 2 || = ||− 13 34 10|| ( ) ( ) − 3 − 6 12+ 10 24− 4 + 5 − 9 22 25$

Ответ:

$( ) | 21 − 23 15| |− 13 34 10| ( ) − 9 22 25$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#66024

Вычислить определитель

$( ) |8 3 ... 3 3| ||3 8 ... 3 3|| || .. .. .. .. ..|| det | . . . . .| ||3 3 ... 8 3|| ( ) 3 3 ... 3 8$

Показать ответ и решение

Обозначим строки матрицы за $a1,a2,...,an$ . Так как определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, то

$( ) 8 3 ... 3 3 || || || − 5 5 ... 0 0|| det(a1,a2,...,an) = det(a1,a2 − a1,...,an − a1) = det|| ... ... ... ... ...|| | | |( − 5 0 ... 5 0|) − 5 0 ... 0 5$

Расложим определитель по первому столбцу. Минор, полученный удалением первой строки первого столбца, очевидно равен $n−1 8 ⋅5$ . Посмотрим на разложение при первом столбце $i$ -ой строке, $i ⁄= 1$ :

( ) 3 3 ... 3 3 3 ... 3 | | | || 5 0 0 | || || ... .. | || || 0 5 . | 0 || || ... ... ... | || (i+1) mod 2 | | | (− 1) (− 5)||-0--...------5--0---|---------------|| = || | 5 0 0 || || | || || 0 | 0 5 || | | ... ... ... | ( | ) | 0 ... 5

( ) 3 3 ... 3 | 3 3 ... 3 || .. | || || 0 5 0 . | || || 0 0 5 | || || .. .. .. | 0 || || . . . | || = (− 1)(i+1) mod 2(− 1)(i−2) mod 2(− 5)| 0 0 ... 5 | | = ||--------------------|---------------|| || | 5 0 0 || || | 0 5 || || 0 | . . . || ( | .. .. .. ) | 0 ... 5 |

$n−2 n−1 = 5⋅3 ⋅5 = 3⋅5$

Для того, чтобы посчитать минор $1× i$ , мы перенесли столбец с номером $i$ на место столбца с номером $1$ , поэтому определитель матрицы, записанной во второй строке, домножили на знак перестановки, равный $(i− 2) mod 2 (− 1)$
Таким образом,

$det(a1,...,an) = 8⋅5n− 1 + (n − 1)3⋅5n−1 = 5n−1(5 + 3n) = 5n + 5n−1 ⋅3n$

Ответ:

$5n + 5n−1 ⋅3n$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#66025

Вычислить определитель

$( ) | 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n| || 2 3 4 ... n − 1 n n|| || || | 3 4 5 ... n n n| detAn ×n = det|| ... ... ... ... ... ... ...|| || || || n − 2 n − 1 n ... n n n|| |( n − 1 n n ... n n n|) n n n ... n n n$

Показать ответ и решение

Поскольку определитель матрицы не меняется при сложении и вычитании строк, то

$det(a1,a2,...,an− 1,an) = det(a1,a2 − a1,a3 − a2,...,an−1 − an −2,an − an− 1) = ( ) | 1 2 3 ... n − 2 n− 1 n | | 1 1 1 ... 1 1 0 | || || || 1 1 1 ... 1 0 0 || = det|| ... ... ... ... ... ... ...|| || || || 1 1 1 ... 0 0 0 || | 1 1 0 ... 0 0 0 | ( ) 1 0 0 ... 0 0 0$

Разложим матрицу по последнему столбцу. У нас получится произведение элемента $n$ на определитель верхнетреугольной матрицы. Поменяем столбцы верхнетреугольной матрицы местами, ведь определитель матрицы

$( 1 1 1 ... 1 1) | | || 0 1 1 ... 1 1|| || 0 0 1 ... 1 1|| det|| . . . . . .|| | .. .. .. .. .. ..| || 0 0 0 ... 1 1|| ( ) 0 0 0 ... 0 1$

равен 1. С учётом знака перестановки получаем

$( ) | 1 1 1 ... 1 1| || 1 1 1 ... 1 0|| || .. .. .. .. .. ..|| det(a1,a2,...,an−1,an) = (− 1)1+(n mod 2)n det| . . . . . .| = || 1 1 1 ... 0 0|| || || ( 1 1 0 ... 0 0) 1 0 0 ... 0 0 = (− 1)1+(n mod 2)ndet(b1,b2,...bn) = 1+(n mod 2) (n−1)(n−2) 1+ (n mod 2)+ (n−-1)(n−2) = (− 1) n ⋅(− 1) 2 det(bn,bn−1,...b1) = (− 1) 2 n$

Осталось посчитать степень у $(− 1)$ . Если $n = 4k$ , то

$1+4k mod 2+(4k−1)(4k−2) 1+ (4k−1)(2k−1) (− 1) 2 = (− 1) = 1$

Если $n = 4k + 1$ , то

$(4k)(4k−1) (− 1)1+ (4k+1) mod 2+ 2 = (− 1)2+2k(4k−1) = 1$

Если $n = 4k + 2$ , то

$(4k+1)(4k) (− 1)1+ (4k+2) mod 2+ 2 = (− 1)1+2k(4k+1) = − 1$

Если $n = 4k + 3$ , то

$(4k+2)(4k+1) (− 1)1+(4k+3) mod 2+ 2 = (− 1)2+(2k+1)(4k+1) = − 1$

Следовательно

Ответ:

$( {n, n = 4k; n = 4k + 1 detAn×n = ( − n, n = 4k + 2; n = 4k + 3, k ∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#66035

Считая определитель по определению через сумму по перестановкам найти члены, содержащие $x3$ и $4 x$ .

$( ) x 1 2 3 || || det|| x x 1 2|| |( 1 2 x 3|) x 1 2 2x$

Показать ответ и решение

Определитель матрицы - это большая сумма:

$∑ sgn σ ⋅a1,σ(1) ⋅a2,σ(2) ⋅...⋅an,σ(n) σ∈Sn$

Это определение в точности означает, что слагаемые, входящие в определитель, состоят из произведения множителей, где каждая пара множителей не имеет ни общую строку, ни общий столбец.
Следовательно, можем сразу же найти все члены, содержащие $x4$ : так как дана матрица $4× 4$ , то необходимо с каждой строки взять множитель, равный $x$ . В первой и третьей строке такие элементы единственные – из первого и третьего столбца соответственно.
Тогда из второй строки мы обязаны взять элемент из второго столбца (ведь элемент из первого столбца уже есть в нашем произведении). С четвёртой строкой аналогично – берём элемент из четвёртого столбца.

$| | ||x 1 2 3 || ||x x 1 2 || |1 2 x 3 | ||x 1 2 2x||$

Следовательно, член, содержащий $x4$ , единственный и равен $2x4$ .

Аналогично найдём члены, содержащие $3 x$ – нам нужно взять ровно из трёх строк по $c⋅x$ , $c$ – коэффициент. Но мы не сможем взять $x$ из первой строки, потому что это будет означать, что из оставшихся строк мы можем взять либо три $x$ , либо меньше двух $x$ (проверьте!). Поэтому возьмём $x$ со второй, третьей и четвёртой строки, а с первой возьмём число. Следовательно, возможны такие варианты:

$| | | | |x 1 2 3 | |x 1 2 3 | ||x x 1 2 || ||x x 1 2 || ||1 2 x 3 ||, ||1 2 x 3 || || || || || x 1 2 2x x 1 2 2x$

Осталось посчитать количество перестановок, чтобы найти члены, содержащие $x3$ – у первой матрицы число перестановок равно $1$ , у второй равно $5$ . Поэтому элементы равны $− 2x3$ и $− 3x3$ .

Ответ:

$− 2x3$ , $− 3x3$ и $2x4$ соответственно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#66046

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ перестановочны, то

$∑n ( ) (A + B )n = n AiBn −i i=0 i$

Привести пример двух матриц, для которых эта формула неверна.

Показать доказательство

Если матрицы перестановочны, то $AB = BA$ . Поэтому когда мы из произведения $n$ скобок выбираем $i$ раз матрицу $A$ (и, следовательно, выбираем $n − i$ раз матрицу $B$ ), то мы получаем $(n) i$ слагаемых, состоящих из произведения матриц $A$ и $B$ . Пользуясь перестановочностью матриц, меняем местами множители $A$ и $B$ , перенося таким образом $A$ в левую часть произведения, $B$ – в правую. И получаем требуемое равенство.

На неперестановочных матрицах, конечно же, такое свойство не работает: возьмём для примера $n = 2$ матрицы

$( ) ( ) A = 1 1 ,B = 1 0 ( 0 1) 1( 1 ) 2 1 1 1 AB = 1 1 ,BA = 1 2$

Следовательно,

$(3 2) (A+ B )2 = (A + B )(A + B) = A2 + AB + BA + B2 = A2 + +B2 ⁄= ( ) 2 3 2 4 2 2 2 2 ⁄= A + 2 2 + B = A + 2AB + B$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#66168

С помощью правила Крамера решить систему уравнений:

( ( |{ 2x − x = 1 |{2x + 5x = 1 а) 1 2 б) 1 2 |( x + 16x = 17 |(3x + 7x = 2 1 2 1 2

( (| |||| 2x1 + x2 + x3 = 3 { x1cosα + x2 sin α = cosβ { в) | г) | x1 + 2x2 + x3 = 0 ( − x1sin α + x2cosα = sinβ |||( x1 + x2 + 2x3 = 0

Показать ответ и решение

По правилу Крамера, $detA xj = ----j- detA$ , где $Aj$ получена из $A$ заменой $j$ -того столбца на столбец свободных членов. Проведем вычисления в соответствии с этим правилом.

а)

( ) 1 − 1 det 17 16 x1 = ----(------)--= 16+-17-= 33= 1 2 − 1 32 + 1 33 det 1 16

( ) 2 1 det -----1--17--- 34−-1- 33- x2 = ( ) = 32+ 1 = 33 = 1 det 2 − 1 1 16

б)

( ) 1 5 det x = -----2--7-- = -7−-10- = −-3= 3 1 (2 5) 14 − 15 − 1 det 3 7

( ) det 2 1 3 2 4 − 3 1 x2 = ----(----)- = ------- = --- = − 1 2 5 14 − 15 − 1 det 3 7

в)

(cos β sinα ) det sinβ cosα cosβcos α− sinβ sin α cos(α + β) x1 = ---(--------------)-= ---cos2α-+-sin2α-----= -----1---- = cos(α+ β) det cosα sinα − sin α cosα

( ) det cosα cos β − sinα sin β cosα sin β + cos βsinα sin(α + β) x2 = ----(-------------)-= ----cos2-α+--sin2α-----= ----1-----= sin (α + β ) det cosα sin α − sinα cos α

г)

( ) 3 1 1 | | det |(0 2 1|) 0 1 2 9 x1 = ----(-------)- = -- 2 1 1 4 det ||1 2 1|| ( ) 1 1 2

( ) | 2 3 1| det | 1 0 1| ( ) x = ----(-1-0--2)- = − 3- 2 2 1 1 4 | | det |( 1 2 1|) 1 1 2

( ) 2 1 3 || || det ( 1 2 0) 1 1 0 3 x3 = ----(-------)- = − -- | 2 1 1| 4 det | 1 2 1| ( ) 1 1 2

Ответ:

a) $x1 = 1,x2 = 1$ ;
б) $x1 = 3,x2 = − 1$ ;
в) $x1 = cos(α + β),x2 = sin (α + β )$ ;
г) $9 3 3 x1 = 4,x2 = −4 ,x3 = − 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#66171

Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей.

Показать доказательство

Пусть у нас есть две матрицы - $A$ и $B$ . Мы хотим доказать, что $tr(AB ) = tr(BA )$ .
Для того, чтобы и $AB$ , и $BA$ были определены, нужно чтобы соответствующие размеры матриц были равны: если матрица $A$ размера $n × m$ , то матрица $B$ должна иметь размер $m × n$ . Тогда матрица $AB$ будет размера $n × n$ , а матрица $BA$ - размера $m × m$ .