Тема . Линал и алгебра.

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела линал и алгебра.
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38309

Вычислить определитель матрицы A,  то есть найти detA,  если     (                   )
      sin2α   cos2α  cos2α
A = || sin2β   cos2β  cos2β||
    (   2      2        )
      sin γ   cos γ  cos2γ

Показать ответ и решение

Как мы помним, элементарные преобразования над столбцами третьего типа (Э.П. 3) (т.е. прибавление к какому-то столбцу какого-то другого столбца с любым коэффициентом λ ∈ ℝ  ) не изменяют определителя. Сделаем несколько таких преобразований над нашей матрицей, и тогда всё станет очевидно:
   (                   )                      (                          )
    sin2 α  cos2 α  cos 2α                         sin2α + cos2α   cos2α  cos2α
det ||sin2β  cos2 β  cos2β|| К 1 столбцу= прибавили 2det|| sin2β + cos2β cos2β  cos2β||  =
   (   2     2         )                      (   2      2      2        )
    sin γ  cos γ  cos2γ                         sin γ + cos γ   cos γ  cos2γ
     (               )      (                    )
      1  cos2α  cos2α         1  cos2 α  2cos2α− 1
= det||1  cos2β  cos2β|| = det|| 1  cos2 β  2cos2β − 1|| =
     (      2        )      (      2        2    )
      1  cos γ  cos2γ         1  cos γ  2cos γ − 1
                                                (                     )
                                                 1  2cos2α  2 cos2α − 1
Аксиома 2 для det (делим на 12 чтобы ничего не изменилось)1 ||    2       2     ||
                    =                      2 det(1  2cos β  2 cos β − 1) =
                                                 1  2 cos2γ  2 cos2γ − 1
                              (                        )
                               1  2cos2α − 1 2 cos2α − 1
Вычтем из второго столбца первый1  ||       2          2     ||
           =             2 det(1  2cos β − 1  2cos β − 1) .
                               1  2cos2γ − 1  2cos2 γ − 1
У нас получился определитель с двумя одинаковыми столбцами.
По Свойству 2 он равен нулю. То есть:   (                    )       (                         )
    sin2 α  cos2α   cos2α           1  2cos2α − 1 2 cos2α − 1
  ||   2      2         ||   1   ||        2          2     ||
det( sin  β  cos β  cos 2β ) = 2 det( 1 2cos β − 1 2 cos β − 1) = 0.
    sin2 γ  cos2 γ  cos 2γ          1  2cos2γ − 1 2 cos2γ − 1

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!