Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . Линал и алгебра.

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела линал и алгебра.
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65753

Вычислить приведением к ступенчатому виду:

| | | | | | |1 2 3 ... n| |1 n n ... n| |1 2 3 ... n − 2 n − 1 n| || || || || || || ||− 1 0 3 ... n|| ||n 2 n ... n|| ||2 3 4 ... n − 1 n n|| a)||− 1 − 2 0 ... n|| b)||n n 3 ... n|| c)||3 4 5 ... n n n|| || .. .. .. .. ..|| || .. .. .. .. ..|| ||.. .. .. .. .. .. ..|| || . . . . .|| || . . . . .|| ||. . . . . . .|| |− 1 − 2 − 3 ... 0| |n n n ... n| |n n n ... n n n|

|| 1 x x2 x3 ... xn || ||1 1 ... 1 − n|| || || || || ||a11 1 x x2 ... xn−1|| ||1 1 ... − n 1 || d)||a21 a22 1 x ... xn−2|| e)|| ... ... ... ... ... || || . . . . . . || || || | .. .. .. .. .. .. | |1 − n ... 1 1 | ||an1 an2 an3 an4 ... 1 || ||− n 1 ... 1 1 ||
Показать ответ и решение

a) Прибавим первую строку к каждой другой:

|| 1 2 3 ... n|| ||1 2 3 ... n || || || || || ||− 1 0 3 ... n|| ||0 2 6 ... 2n|| ||− 1 − 2 0 ... n|| = ||0 0 3 ... 2n|| = n! || . . . . .|| ||. . . . .|| | .. .. .. .. ..| |.. .. .. .. ..| ||− 1 − 2 − 3 ... 0|| ||0 0 0 ... n ||

b) Вычтем из каждой строки последнюю:

| | | | ||1 n n ... n n|| ||1− n 0 0 ... 0 0|| |n 2 n ... n n| | 0 2− n 0 ... 0 0| || || || || ||n n 3 ... n n|| || 0 0 3 − n ... 0 0|| n− 1 ||.. .. .. ... .. ..|| = || .. .. .. ... .. ..|| = (− 1) ⋅n! ||. . . . .|| || . . . . .|| |n n n ... n − 1 n| | 0 0 0 ... − 1 0| ||n n n ... n n|| || n n n ... n n||

c) Вычтем из каждой строки предыдущую:

|| || || || ||1 2 3 ... n − 2 n− 1 n || ||1 2 3 ... n − 2 n − 1 n|| ||2 3 4 ... n − 1 n n || ||1 1 1 ... 1 1 0|| |3 4 5 ... n n n | |1 1 1 ... 1 0 0| || . . . . . . .|| = ||. . . . . . .|| || .. .. .. .. .. .. ..|| ||.. .. .. .. .. .. ..|| || || || || n n n ... n n n 1 0 0 ... 0 0 0

Теперь поменяем местами столбцы таким образом, чтобы матрица пришла к нужному нам виду (первый с последним, второй с предпоследним и т. д.). Таким образом, мы поменяем столбцы местами [n2] раз (квадратные скобки означают целую часть), и определитель каждый раз будет менять знак. Таким образом, определитель будет равен (− 1)[n2 ] ⋅n

d) Вычтем из каждой, строки, кроме последней, следующую, умноженную на x :

|| 2 3 n || ||1 − a ⋅x 0 0 0 ... 0|| || 1 x x x ... x || || 11 || ||a11 1 x x2 ... xn −1|| || ... 1 − a22 ⋅x 0 0 ... 0|| |a a 1 x ... xn −2| = | ... 1 − a ⋅x 0 ... 0| = || 2.1 22. . . . . || || . . 3.3 . . .|| || .. .. .. .. .. .. || || .. .. .. .. .. ..|| || || || a a a a ... 1|| an1 an2 an3 an4 ... 1 n1 n2 n3 n4

= (1 − a11 ⋅x )(1 − a22 ⋅x)(1− a33 ⋅x)⋅...⋅(1 − ann ⋅x )

e) В решении предполагается, что размер матрицы n. Вычтем первую строку из всех, кроме последней. Прибавим к последней строке первую, уможенную на n:

| | | | || 1 1 1 ... 1 1 − n || ||1 1 1 ... 1 1 − n || || 1 1 1 ... 1 − n 1 || ||0 0 0 ... 0 − n − 1 n + 1 || || || || || || 1 1 1 ... − n 1 1 || ||0 0 0 ... − n − 1 0 n + 1 || | ... ... ... ... ... ... ... | = |... ... ... ... ... ... ... | || || || || || 1 1 − n ... 1 1 1 || ||0 0 − n − 1 ... 0 0 n + 1 || || 1 − n 1 ... 1 1 1 || ||0 − n − 1 0 ... 0 0 n + 1 || || || || 2|| − n 1 1 ... 1 1 1 0 n + 1 n + 1 ... n + 1 n + 1 1 − n

Теперь поменяем местами вторую строку с n − 1 -й, третью с n− 2 -й и т. д. Затем по очереди прибавим их к последней. Поменяем строки местами мы [n−22] раз.

||1 1 1 ... 1 1 − n || || || ||0 − n − 1 0 ... 0 0 n + 1|| ||0 0 − n− 1 ... 0 0 n + 1|| ||.. .. .. .. .. .. .. || |. . . . . . . | = ||0 0 0 ... − n − 1 0 n + 1|| || || ||0 0 0 ... 0 − n − 1 n + 1|| |0 n+ 1 n + 1 ... n+ 1 n + 1 1− n2|

||1 1 1 ... 1 1 − n || || || ||0 − n − 1 0 ... 0 0 n + 1 || |0 0 − n − 1 ... 0 0 n + 1 | ||. . . . . . . || = ||.. .. .. .. .. .. .. || ||0 0 0 ... − n − 1 0 n + 1 || || || |0 0 0 ... 0 − n − 1 n + 1 | ||0 0 0 ... 0 0 1 − n2 + (n − 2)(n+ 1)||

2 − n + (n− 2)(n + 1) = − n − 2

Определитель равен:

[n−2] n−2 [n−2]+n −1 n− 2 − 1 2 ⋅− (n + 2)(− n − 1) = − 1 2 ⋅(n + 2)(n+ 1)
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!