Тема . Линал и алгебра.

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65754

Вычислить разложением по строке/столбцу:

|| n − 1 0 0 ... 0 0 || ||1 0 0 0 ... 0 1 || || || || || ||n − 1 x − 1 0 ... 0 0 || ||1 a1 0 0 ... 0 0 || ||n − 2 0 x − 1 ... 0 0 || ||1 1 a2 0 ... 0 0 || | . . . . . . . | | | a)|| .. .. .. .. .. .. .. || b)||1 0 1 a3 ... 0 0 || || 3 0 0 0 ... − 1 0 || ||... ... ... ... ... ... ... || || || || || || 2 0 0 0 ... x − 1|| ||1 0 0 0 ... an− 1 0 || | 1 0 0 0 ... 0 x | |1 0 0 0 ... 1 an|

Показать ответ и решение

a) Разложим определитель по первому столбцу. Первое слагаемое получится $n⋅xn −1$ . Теперь посмотрим на строку с множителем $k (− 1) ⋅(n − k)$ . После вычеркивания соответствующих строки и столбца получися матрица такого вида:

( − 1 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 ) | | || x − 1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 || || 0 x − 1 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0 || || .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. || | . . . . . . . . . . . . | || 0 0 0 ... − 1 0 0 0 0 ... 0 0 || || || || 0 0 0 ... x − 1 0 0 0 ... 0 0 || || 0 0 0 ... 0 0 x − 1 0 ... 0 0 || || || | 0 0 0 ... 0 0 0 x − 1 ... 0 0 | || ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... || || || || 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... − 1 0 || |( 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... x − 1|) 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 x

Чтобы посчитать ее определитель, разложим его по первой строке. Получится $(− 1 )$ умножить на такой же определитель, только без первых матрицы и столбца. Продолжим рекурсивно раскладывать определители по первой строке, пока не дойдем до места, где была $n− k$ -я строка, которую мы вычеркнули. На данный момент коэффициент равен $(− 1)k(n − k) ⋅(− 1)k$ :

⌊ | ⌋ | − 1 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 0 | | x − 1 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 0 | || | || || 0 x − 1 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 0 || || ... ... ... ... ... ... | ... ... ... ... ... ... || || | || || 0 0 0 ... − 1 0 | 0 0 0 ... 0 0 || | 0 0 0 ... x − 1 | 0 0 0 ... 0 0 | ||---------------------------|-------------------------|| || 0 0 0 ... 0 0 | x − 1 0 ... 0 0 || || 0 0 0 ... 0 0 | 0 x − 1 ... 0 0 || || . . . . . . | . . . . . . || || .. .. .. .. .. .. | .. .. .. .. .. .. || | 0 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... − 1 0 | || | || |⌈ 0 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... x − 1|⌉ 0 0 0 ... 0 0 | 0 0 0 ... 0 x

Умножим этот коэффициент на определитель оставшейся матрицы (нижняя правая), получится $(− 1)k(n − k) ⋅(− 1)k ⋅xn −k−1 = (n − k) ⋅xn−k−1$ .

Итак, определитель исходной матрицы равен $n ⋅xn−1 + (n − 1) ⋅xn−2 + (n − 2)⋅ xn−3 + ...+ 3⋅x2 + 2⋅x + 1$

b) Разложим определитель по первому столбцу. Первое слагаемое получится $a1a2a3...an−1an$ . Рассмотрим строку, содержащую $ak$ . Вычеркнем ее (и первый столбец), а также запомним, что знак каждого слагаемого будет зависеть от четности k. Получим матрицу следующего вида:

( 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 1) | | | a1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0| || 1 a ... 0 0 0 0 0 ... 0 0|| || . 2. . . . . . . . . .|| || .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..|| || 0 0 ... a 0 0 0 0 ... 0 0|| || k− 2 || | 0 0 ... 1 ak− 1 0 0 0 ... 0 0| || 0 0 ... 0 0 1 a 0 ... 0 0|| || k+1 || || 0 0 ... 0 0 0 1 ak+2 ... 0 0|| || ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|| || || ( 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... an−1 0) 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 a n

Разложим ее по первой строке. Единственным ненулевым слагаемым будет единица с каким-то знаком, зависящим от четности $n$ (это будет плюс при четном $n$ ), умножанная на такой определитель:

| | ||a1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 || |1 a ... 0 0 0 0 0 ... 0 | ||. 2. . . . . . . . . || ||.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. || || || ||0 0 ... ak− 2 0 0 0 0 ... 0 || ||0 0 ... 1 ak− 1 0 0 0 ... 0 || |0 0 ... 0 0 1 a 0 ... 0 | || k+1 || ||0 0 ... 0 0 0 1 ak+2 ... 0 || ||... ... ... ... ... ... ... ... ... ... || || || |0 0 ... 0 0 0 0 0 ... an−1| ||0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 ||

Получается слагаемое вида $a1 ⋅a2 ⋅...⋅ak−2 ⋅ak− 1$ . Вспомним, что это слагаемое для строки, содержащей $ak$ . Значит, определитель всей матрицы равен

(− 1)n ⋅(1 − a + a a − a a a + ...+ (− 1)n−1 ⋅a a ...a a + (− 1)n ⋅a a ...a a ) 1 1 2 1 2 3 1 2 n− 2 n−1 1 2 n−1 n

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ