.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

а) Вспомним, что если два столбца матрицы поменять местами, то ее определитель сменит знак. Ясно, что чтобы произвести указанную операцию, нужно поменяем столбцы местами раз (по сути, мы обменяем каждый столбец на соседний по циклу, поэтому нужно будет сделать обменов), и столько же раз, соответственно, определитель сменит знак. Иными словами, если - четное, то определитель поменяет знак, а если нечетное - не изменится.

б) Записать строки в обратном порядке - то же самое, что поменять каждую -ую строку до середины матрицы (не включительно) местами с -ой строкой. Например, первую строку поменять местами с -ой, вторую с -ой, и т. д. Таким образом, чтобы привести матрицу к нужному виду, нужно сделать перестановок (квадратные скобки - целая часть). Сколько перестановок, столько раз поменяется знак у определителя. Таким образом, если - чётно, то определитель не изменится, а если - нечётно, то он сменит знак.

в) Определитель не меняется, если к элементам его столбца прибавить элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число. Преобразование, которое мы делаем в этом пункте, можно представить так: прибавим к последнему столбцу предпоследний, к предпоследнему тот, что перед ним, и т. д. - к каждому столбцу прибавим предыдущий. Каждое из преобразований по отдельности не меняет определитель, значит и все вместе они его не изменят.

г) Аналогично пункту в)

д) После преобразования получится, что мы каждую строку вычли из какой-нибудь ровно по одному разу. Значит, если сложить теперь все строки, получится, что в сумме каждая строка встречается по одному разу с плюсом и по одному разу с минусом, а вся сумма равна нулю. Таким образом, если прибавить все строки, то их сумма будет равна нулю, значит, так можно образовать из нашего определителя определитель с нулевой строкой. Следовательно, он равен нулю.

е) Для начала разделим определитель на сумму двух, воспользовавшись тем, что после преобразования первый столбец представляет из себя сумму исходных первого и -го. Пусть изначально матрица выглядела так:

Тогда после преобразования она вглядит так:

Разложим ее определитель на сумму двух через первый столбец:

Теперь разберемся, чему равен каждый из двух получившихся определителей. В первом последовательно вычтем из каждого столбца предыдущий. Из второго вычтем первый - получится исходный второй. Теперь из третьего вычтем новый второй - получится исходный третий. Таким образом дойдем до последнего столбца и получим исходный определитель.

Посмотрим, что получается во втором определителе. Вычтем первый столбец из последнего, получим исходный предпоследний. Теперь из -го столбца вычтем новый последний - получится исходный -ой. Продолжим действовать таким образом, пока не дойдем до второго столбца (из него мы вычтем новый третий и получим исходный первый). Получился определитель, который похож на исходный, только у него все столбцы сдвинуты на один вправо, а на месте первого стоит исходный последний. Аналогично первому пункту задачи, такой определитель равен исходному, если n нечетное, и меняет знак, если четное.

Поймем, каков ответ на вопрос пункта е. Мы разложили определитель на сумму двух, и одно из слагаемых оказалось равно исходному определителю, а второе либо равно ему же, либо обратно (по знаку). Тогда сумма либо равна удвоенному исходному определителю, либо нулю.

Итак, ответ: если нечетное, определитель удвоится, а если четное, то обнулится.