Тема . Линал и алгебра.

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела линал и алгебра.
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66024

Вычислить определитель

||              ||
||8  3  ... 3  3||
||3  8  ... 3  3||
||..  ..  ..  ..  ..||
|.  .   .  .  .|
||3  3  ... 8  3||
||              ||
|3  3  ... 3  8|
Показать ответ и решение

Обозначим строки матрицы за a1,a2,...,an  . Так как определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, то

                                               |               |
                                               ||8   3  ... 3  3||
                                               ||               ||
                                               ||− 5 5  ... 0  0||
det(a1,a2,...,an) = det(a1,a2 − a1,...,an − a1) = || ... ...  ...  ...  ...||
                                               |               |
                                               ||− 5 0  ... 5  0||
                                               ||− 5 0  ... 0  5||

Расложим определитель по первому столбцу. Минор, полученный удалением первой строки первого столбца, очевидно равен     n−1
8 ⋅5   . Посмотрим на разложение при первом столбце i  -ой строке, i ⁄= 1  :

                   (                                    )
                     3  3    ...    3    3  3  ...    3
                   |                    |               |
                   || 5   0          0   |               ||
                   ||        ...     ..   |               ||
                   || 0   5          .   |       0       ||
                   || ...      ...     ...   |               ||
    (i+1) mod 2    |                    |               |
(− 1)         (− 5)||-0--...------5--0---|---------------|| =
                   ||                    | 5  0       0  ||
                   ||                    |               ||
                   ||         0          | 0  5          ||
                   |                    | ...      ...  ... |
                   (                    |               )
                                        | 0  ...     5

                                   (                                    )
                                     3  3    ...    3   | 3  3  ...    3
                                   ||                ..   |               ||
                                   || 0  5   0       .   |               ||
                                   || 0  0   5           |               ||
                                   ||    ..       ..   ..   |       0       ||
                                   ||    .        .  .   |               ||
= (− 1)(i+1) mod 2(− 1)(i−2) mod 2(− 5)| 0 0  ...      5   |               | =
                                   ||--------------------|---------------||
                                   ||                    | 5   0       0 ||
                                   ||                    | 0   5         ||
                                   ||         0          | .      .    . ||
                                   (                    | ..       ..  .. )
                                                        | 0  ...      5
                                                        |
         n−2      n−1
=  5⋅3 ⋅5   =  3⋅5

Для того, чтобы посчитать минор 1× i  , мы перенесли столбец с номером i  на место столбца с номером 1  , поэтому определитель матрицы, записанной во второй строке, домножили на знак перестановки, равный     (i− 2) mod 2
(− 1)
Таким образом,

det(a1,...,an) = 8⋅5n− 1 + (n − 1)3⋅5n−1 = 5n−1(5 + 3n) = 5n + 5n−1 ⋅3n
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!