Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . Линал и алгебра.

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела линал и алгебра.
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66025

Вычислить определитель

( ) | 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n| || 2 3 4 ... n − 1 n n|| || || | 3 4 5 ... n n n| detAn ×n = det|| ... ... ... ... ... ... ...|| || || || n − 2 n − 1 n ... n n n|| |( n − 1 n n ... n n n|) n n n ... n n n
Показать ответ и решение

Поскольку определитель матрицы не меняется при сложении и вычитании строк, то

det(a1,a2,...,an− 1,an) = det(a1,a2 − a1,a3 − a2,...,an−1 − an −2,an − an− 1) = ( ) | 1 2 3 ... n − 2 n− 1 n | | 1 1 1 ... 1 1 0 | || || || 1 1 1 ... 1 0 0 || = det|| ... ... ... ... ... ... ...|| || || || 1 1 1 ... 0 0 0 || | 1 1 0 ... 0 0 0 | ( ) 1 0 0 ... 0 0 0

Разложим матрицу по последнему столбцу. У нас получится произведение элемента n на определитель верхнетреугольной матрицы. Поменяем столбцы верхнетреугольной матрицы местами, ведь определитель матрицы

( 1 1 1 ... 1 1) | | || 0 1 1 ... 1 1|| || 0 0 1 ... 1 1|| det|| . . . . . .|| | .. .. .. .. .. ..| || 0 0 0 ... 1 1|| ( ) 0 0 0 ... 0 1

равен 1. С учётом знака перестановки получаем

( ) | 1 1 1 ... 1 1| || 1 1 1 ... 1 0|| || .. .. .. .. .. ..|| det(a1,a2,...,an−1,an) = (− 1)1+(n mod 2)n det| . . . . . .| = || 1 1 1 ... 0 0|| || || ( 1 1 0 ... 0 0) 1 0 0 ... 0 0 = (− 1)1+(n mod 2)ndet(b1,b2,...bn) = 1+(n mod 2) (n−1)(n−2) 1+ (n mod 2)+ (n−-1)(n−2) = (− 1) n ⋅(− 1) 2 det(bn,bn−1,...b1) = (− 1) 2 n

Осталось посчитать степень у (− 1) . Если n = 4k , то

1+4k mod 2+(4k−1)(4k−2) 1+ (4k−1)(2k−1) (− 1) 2 = (− 1) = 1

Если n = 4k + 1 , то

(4k)(4k−1) (− 1)1+ (4k+1) mod 2+ 2 = (− 1)2+2k(4k−1) = 1

Если n = 4k + 2 , то

(4k+1)(4k) (− 1)1+ (4k+2) mod 2+ 2 = (− 1)1+2k(4k+1) = − 1

Если n = 4k + 3 , то

(4k+2)(4k+1) (− 1)1+(4k+3) mod 2+ 2 = (− 1)2+(2k+1)(4k+1) = − 1

Следовательно

Ответ:

( {n, n = 4k; n = 4k + 1 detAn×n = ( − n, n = 4k + 2; n = 4k + 3, k ∈ ℤ

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!