Тема . Линал и алгебра.

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66025

Вычислить определитель

$|| || || 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n|| || 2 3 4 ... n − 1 n n|| || || | 3 4 5 ... n n n| detAn ×n = || ... ... ... ... ... ... ...|| || || ||n − 2 n − 1 n ... n n n|| ||n − 1 n n ... n n n|| | | | n n n ... n n n|$

Показать ответ и решение

Поскольку определитель матрицы не меняется при сложении и вычитании строк, то

$det(a1,a2,...,an− 1,an) = det(a1,a2 − a1,a3 − a2,...,an−1 − an −2,an − an− 1) = || || ||1 2 3 ... n − 2 n − 1 n|| |1 1 1 ... 1 1 0| || || ||1 1 1 ... 1 0 0|| = ||... ... ... ... ... ... ...|| || || ||1 1 1 ... 0 0 0|| |1 1 0 ... 0 0 0| || || |1 0 0 ... 0 0 0|$

Разложим матрицу по последнему столбцу. У нас получится произведение элемента $n$ на определитель верхнетреугольной матрицы. Поменяем столбцы верхнетреугольной матрицы местами, ведь определитель матрицы

$| | |1 1 1 ... 1 1| || || ||0 1 1 ... 1 1|| ||0 0 1 ... 1 1|| ||. . . . . .|| |.. .. .. .. .. ..| ||0 0 0 ... 1 1|| || || |0 0 0 ... 0 1|$

равен 1. С учётом знака перестановки получаем

$|| || ||1 1 1 ... 1 1|| ||1 1 1 ... 1 0|| ||.. .. .. .. .. ..|| det(a1,a2,...,an−1,an) = (− 1)1+(n mod 2)n |. . . . . .| = ||1 1 1 ... 0 0|| || || ||1 1 0 ... 0 0|| |1 0 0 ... 0 0| = (− 1)1+(n mod 2)ndet(b1,b2,...bn) = 1+(n mod 2) (n−1)(n−2) 1+ (n mod 2)+ (n−-1)(n−2) = (− 1) n ⋅(− 1) 2 det(bn,bn−1,...b1) = (− 1) 2 n$

Осталось посчитать степень у $(− 1)$ . Если $n = 4k$ , то

$1+4k mod 2+(4k−1)(4k−2) 1+ (4k−1)(2k−1) (− 1) 2 = (− 1) = 1$

Если $n = 4k + 1$ , то

$(4k)(4k−1) (− 1)1+ (4k+1) mod 2+ 2 = (− 1)2+2k(4k−1) = 1$

Если $n = 4k + 2$ , то

$(4k+1)(4k) (− 1)1+ (4k+2) mod 2+ 2 = (− 1)1+2k(4k+1) = − 1$

Если $n = 4k + 3$ , то

$(4k+2)(4k+1) (− 1)1+(4k+3) mod 2+ 2 = (− 1)2+(2k+1)(4k+1) = − 1$

Следовательно, получаем ответ:

$({ detA = n, n = 4k; n = 4k + 1 n×n (− n, n = 4k + 2; n = 4k + 3, k ∈ ℤ$

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ