.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

a) Слагаемых будет столько, сколько существует различных перестановок на элементах .

Каждая перестановка имеет вид

это следует из того, что , коль скоро она в , обязана быть биекцией

Тогда получается, что для есть вариантов, потому что единичку перестановка может отправить в любое число от до .

Далее, для есть вариант, поскольку двойку может отправить в любое число от до , за исключением того числа, в которое отправила единичку.

Для , по аналогичным соображениям, возможны всего варианта, потому что два уже запрещены - те, в которые отправила 1 и 2.

Тем самым, всего вариантов для заполнения нижней строки в двустрочной записи перестановки

будет

b) Слагаемое определении определителя через сумму по перестановкам будет со знаком плюс, если оно соответствует четной перестановке (четное число инверсий), и со знаком минус, если оно соответствует нечетной перестановке (нечетное число инверсий).

Итак, мы утверждаем, что в всегда чётных и нечётных перестановок поровну.

Обозначим через - это множество нечётных перестановок, а через - множество чётных перестановок.

Ясно, что

Теперь, пусть некоторая , то есть - чётная перестановка. Возьмём теперь такую , которая меняет местами 1 и 2, а остальные элементы оставляет на месте:

Тогда мы утверждаем, что , то есть если умножить произвольную чётную перестановку на , то получится нечётная перестановка.

Действительно, это так:
Все инверсии, которые существовали между числами - сохранятся, так как очевидно, что если была инверсия на паре при , то есть

то также и останется после применения :

Потому что вообще оставляет такие на месте.

Если же одно из -ых равно 1 или 2, а другое больше 2, то, тем не менее, просто поменяет их местами, но инверсия, если она была, тоже сохранится. Действительно, пусть , и - это единица и двойка (не говорим, кто из них кто именно). Тогда если инверсия была, то это значит, что было . Но тогда:

Таким образом все инверсии, которые были между числами больше 2 и между одним из чисел больше 2 и 1 или 2 - сохраняются.

Таким образом, остаются только сами и . Если раньше между ними была инверсия, то у и её не будет, и наоборот, если её не было, то она появится. Таким образом, количество инверсий у и у отличается на единичку. То есть если - чётна, то - нечётна. (И верно и обратное, конечно).

На самом деле, мы с вами построили сейчас отображение

по правилу

Это отображение будет инъективно. Действительно, пусть , но это то же самое, что . Тогда, коль скоро у каждой перестановки есть обратная, домножим это равенство на справа, и получим, что

Следовательно, если , то . Это и есть определение инъекции. А раз у нас есть инъекция

то заведомо можно утверждать, что .

Наоборот, при помощи той же самой можно построить инъекцию

По правилу: если - произвольная нечетная перестановка, то будет уже чётной, поэтому правило для будет таким:

Аналогично проверяется, что - инъекция из в , следовательно, .

Таким образом получается, что , а с учётом того, что , мы получаем, что

И, таким образом, когда мы будем расписывать наш определитель в виде суммы по перестановкам, ровно половина слагаемых у нас будет с плюсом, и ровно половина - с минусом.