.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Введём для удобства такую вот матрицу .

А теперь заметим, что

Далее, по свойству определителей,

поскольку (при развертывании определителя из 24 слагаемых у только одно слагаемое будет ненулевым - когда мы возьмём все элементы на главной диагонали).

Однако, коль скоро все указанные в условии числа делятся на 31, то для них, по определению делимости, найдутся такие такие, что

Таким образом, мы можем написать, что

Теперь по свойству определителя, из последнего столбца определителя можно вынести общий множитель и получить:

Откуда видно, что делится на 31, поскольку он есть 31, умноженный на , а - это явно целое число, поскольку все элементы этой матрицы целые, а при подсчете определителя мы только умножаем и складываем, а, значит, если все элементы матрицы целые, то и её определитель цел.

Таким образом, наш исходный получается равен целому определителю , умноженному на 31. И мы всё доказали.