.09 Обратные матрицы. Определитель. Метод Жордана для СЛУ и обратной матрицы. Метод Крамера.

Разумеется, одним из способов является решение в два шага.

1. Находим

при помощи метода Жордана.

2. Ясно, что тогда

Однако, мы не пойдем таким путем, потому что разнесение на два шага хотя и точно сработает, но это слишком лобовой и поэтому слишком долгий метод решения. На самом деле, эти два шага можно, в некотором смысле, соединить в один, модифицировав алгоритм Жордана.

А именно, в алгоритме Жордана мы для нахождения приписываем справа к единичную матрицу и пытаемся, делая Э.П. строк, привести матрицу к единичной.

Но что если мы припишем к матрице справа не единичную, а сразу матрицу ?

И будем как обычно пытаться привести , стоящую слева, к единичной, не особо обращая внимания на то, что происходит справа?

Но тогда, когда мы приведем матрицу слева к единичной, что у нас будет стоять справа?

Применение Э.П. строк, как мы помним, равносильно домножению на некоторые элементарные матрицы.

Итак, пусть последовательность домножений на элементарные матрицы приводит матрицу к единичной, то есть

или, что то же самое,

Но тогда мы легко можем понять, что у нас будет стоять справа.

Изначально там стояла матрица и мы к ней применяли те же самые элементарные преобразования, что и к .

То есть, мы её тоже домножили на .

Следовательно, в результате такого алгоритма справа у нас будет стоять

То есть вообще-то искомая матрица .

Ура, теперь мы поняли, как мы можем быстро решать такую задачу!

Реализуем эту идею на практике:

Следовательно,