Школьный 6 - 7 класс

Если скорость Сабины , то скорость Маши — это . Если время Сабины , то время Маши — это . Но съели они поровну, поэтому . Раскрывая скобки, получим, что , откуда .

Подсчитаем, сколько раз в сумме всех периметров повторяется сторона исходного квадрата. Стороны прямоугольника считаютея по одному разу (итого 12), перемычки — по два раза ( ). Итого см — сторона квадрата.

Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки с номером 1. Значит, в ней может находиться только число 2. Карточка с числом 2 должна указывать на карточку с числом 3, так как указывает только на карточку и на карточку с числом 9, то в должно быть записано 3. Карточка с числом 3 должна указывать на карточку с числом 4, так как указывает на карточки и то в одной из них должно быть записано число 4. Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки Значит, чтобы были заполнены все карточки, то в может быть записано только число с карточки + 1, так как на написано 3, то на будет Сама карточка указывает на и но свободна только Значит, на нужно записать число 5. Так как указывает только на то на карточке должно быть написано число 6. Стрелки показывают на но она уже занята числом 5, и на Значит, в записываем 7. Карточка указывает только на поэтому в ставим 8, и оно как раз указывает на карточку с числом 9, как просили в условии. Значит, мы верно расставили все числа.

Составив наименьшую сумму чисел А и Б, а также наибольшее число В, мы получим наименьшее значение выражения А + Б - В: . Но такое разбиение не подходит: у двух чисел есть одинаковые цифры. Поменяв в разряде единиц местами цифры 6 и 8 получим нужное разбиение: . Почему такое разбиение - лучшее? При любом другом варианте расстановки в разряде сотен цифр мы получим вклад сотен, равный 200 , или . А в разрядах десятков и единиц мы получим положительные значения, так как сумма любых двух из цифр больше любой третьей цифры. Значит, число А + Б - В будет больше 200. Итак, А и Б начинаются с цифр 5 , а В - с цифры 9. Аналогично получаем, что вторые цифры чисел А и Б должны быть 6 , а числа В - 8. Про единицы сказано выше.

Поскольку у двух получившихся полосок ширина одинакова, их площади относятся как их длины, т.е. . Обозначим через площадь, покрытую обеими полосками. Тогда

Решая это линейное уравнение, получаем

Назовём первой группой всех людей, сказавших первую фразу, и второй груипой всех людей, сказавших вторую фразу. Рассмотрим два случая.

• Пусть во второй группе есть хотя бы отличник, выберем любого из них. Среди 24 остальных людей хулиганов в три раза больше, чем отличников, поэтому всего хулиганов ровно 18 , а отличников ровно .

  Заметим, что такая ситуация возможна: в первой группе было 5 отличников, сказавших правду (ведь ), а во второй группе было 2 отличника, сказавших правду (ведь ), а также 18 хулиганов, сказавших неправду (ведь ).

• Пусть во второй группе вообще нет отличников, тогда всего хулиганов хотя бы 20. Тогда любой человек из первой группы сказал правду (ведь и 19, и 20 составляют больше половины от 24), поэтому все 5 человек в первой группе — отличники, и отличников в классе ровно 5 .

  Заметим, что такая ситуация возможна: в первой группе было 5 отличников, сказавших правду (ведь ), а во второй группе было 20 хулиганов, сказавших неправду (ведь ).

Пусть каждый граф сразился с маркизами. Обозначим через количество графов, через  — количество герцогов, через  — количество маркизов. Заметим, что по условию всего боёв между герцогами и маркизами было с одной стороны , а с другой — , откуда . Аналогично посчитаем количество боёв между герцогами и графами двумя способами. Получим . откуда . Теперь осталось лишь посчитать количество боёв между графами и маркизами двумя способами. Получаем , но тогда , откуда .

Будем класть одни сундуки внутрь других по очереди. Изначально у нас было пустых сундуков. За одну операцию добавления средних или маленьких сундуков внутрь другого, количество пустых сундуков увелчивается на штук. А значит, мы сделали операций добавления сундуков и в итоге их стало .

Пусть в классе человек, которые ниже Димы. Тогда выше него человек и ещё сам Дима, то есть всего в классе . Пусть в классе человек, которые выше Лёни. Тогда ниже него человек и ещё сам Лёня, то есть всего в классе . Получается, что количество детей в классе без одного человека делится на и на , то есть на . Такое число в нужном диапазоне есть только одно — . Тогда всего детей в классе .

Можно переформулировать условие задачи так, что каждую минуту король даёт всем золотую монету, а потом сразу же забирает её у кого-то одного. Тогда давайте проделаем эту операцию раз и десять раз заберём монету у первого, девять раз у второго, восемь раз у третьего, …, один раз у десятого. То есть каждому из мудрецов в итоге дали монет и забрали столько, сколько у них имелось до начала всех раздач (операций). Тогда у всех мудрецов будет ровно по монет.

Раз только две прямые параллельны, то у нас есть различных направлений прямых. Заметим, что любые две прямые разных направлений пересекаются в некоторой точке. Тогда всего их будет — число способов выбрать две прямые разных направлений и плюс ещё , которые даёт вторая параллельная прямая. Всего пересечения. Так как есть три прямые, которые пересекаются в одной точке, то одно из пересечений мы посчитали раза, а значит, настоящее количество точек пересечения равно .

Проделаем следующие операции:

Заметим, что соседи Артура точно являются лжецами. Также, те, кто стоит через одного человека от Артура также заведомо являются лжецами. Это значит, что человек, который находится от Артура на расстоянии два (в любую из сторон) — рыцарь, так между ним и Артуром точно стоят два лжеца. Заметим, что тогда и следующий после рыцаря человек тоже обязан быть рыцарем и так далее. Получается, что все люди, которые стоят на расстоянии не менее чем в два человека от Артура — рыцари. Получается, что всего лжецов может быть не более четырёх человек. Все эти варианты возможны: если Артур стоит последним в шеренге, то лжецов будет двое, если же препоследним, то трое, а иначе лжецов будет четыре.

44 сказали, что пьют чай. Это могут быть только эльфы, потому что гномы, пьющие чай, сказали бы, что пьют кофе, а гномы, пьющие кофе, сказали бы правду. Значит, только эльфы пьют чай, а все гномы пьют кофе. гномов всего. 33 сказали, что они гномы. Это могли быть эльфы, пьющие кофе или гномы, пьющие кофе. И те, и другие, из признавших себя гномами, пьют кофе. Значит, остальные существа пьют чай. пьют чай.

Рассмотрим случай, когда гном говорит правду: Так как четверг августа это нечетный день месяца, то в пятницу августа гном не соврет, что будет есть манную кашу. Так как в следующие дни у гнома нет в расписании манной каши, то правду он сказать не сможет до августа, которое будет четвергом. Соответсвенно, гном не будет врать и числа.

Рассмотрим случай, когда гном врет: Гном может соврать и сказать, что будет есть манную кашу в понедельник, вторинк, субботу и воскресенье. Если августа это четверг, то в субботу августа гном может соврать и сказать, что будет есть манную кашу. Значит и в понедельник он соврет, так как это будет число месяца. Соответсвенно, гном соврет и числа.

Пока Маша делает шагов, папа делает шагов, а Яша делает шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают шагов. А пока они сделают шагов, папа сделает тоже в раз больше шагов, т.е. шагов.

Алиса не может быть самой хитрой, т.к. если она сама хитрая, то она хитрее Ларисы, т.е. Алиса сказала правду. Но самая хитрая лиса должна была солгать.

Лариса тоже не может быть самой хитрой, т.к. она сказала правду про Алису, а самая хитрая лиса должна была солгать.

Поэтому остался только один вариант: самая хитрая — Инесса.

Так как Матроскин втрое легче Шарика, то Матроскин легче Шарика на два своих веса. По условию это равно кг, т.е. Матроскин весит кг.

Так как у гнома с самой длинной бородой капюшон синий, то у Ели не самая длинная борода. У Пили тоже не самая длинная (т.к. она короче, чем у Ели). Поэтому самая длинная борода у Спали, средняя — у Ели, самая короткая — у Пили. Значит, таз нашел Спали, а алмаз — Пили. Тогда топаз нашел Ели.

Если размеры коробки в кубиках были , то сначала съели слой , потом съели слой , потом слой . В итоге кубиков осталось . Заметим, что в таком случае и , то есть — это общий делитель чисел и . Тогда вариантов два. Если , то , , т.е. осталось кусков сахара. Если же , то , , т.е. осталось кусков сахара.