Школьный 8 - 9 класс

Количество школьников, которые выполнили все заклинания правильно, не больше 75, так как только 75 школьников выполнили правильно второе заклинание. Количество школьников, которые ошиблись в 1-ом, 3-ем, 4-ом или 5 -ом заклинаниях, не более . Если школьник ошибся хотя бы в двух заклинаниях, то он точно ошибся в каком-то заклинании, отличном от второго. Следовательно, количество школьников, которые ошиблись хотя бы в двух заклинаниях не превышает 17. Тогда искомое количество школьников не менее .

Осталось показать, что такое количество школьников бывает. Действительно, пусть первые 25 школьников ошиблись во втором заклинании. Из них пятеро ошиблись в первом, трое — в третьем, пятеро — в четвертом, четверо — в пятом. Так как меньше 25 , то эти 17 школьников могут быть различными.

Обозначим

Тогда Тогда можно выразить угол

По условию разность между углом и половиной угла равна , то есть

Тогда получили, что

Так как сумма углов треугольника равна , то:

Подставим выражение для суммы и :

Тогда

Пусть — точка пересечения отрезков и .

В треугольнике биссектриса является высотой, поэтому треугольник равнобедренный. Следовательно,

Разложим выражение на множители:

Так как , то исходное выражение должно быть чётным, значит, —нечетное число и

Так как нужно найти минимальное нечётное , то , то есть

Осталось проверить,что исходное выражение будет кратно 4. Действительно,

Поскольку каждое из этих чисел делится на их НОД, то их произведение делится на квадрат этого НОД. Наибольший точный квадрат, на который делится число это , поэтому НОД двух искомых чисел не превосходит 60. При этом НОД может равняться 60, если искомые два числа это 60 и 120.

Заметим, что внутри фигуры есть горизонтальный ряд из 9 клеток. Поэтому площадь итогового квадрата не может быть меньше В фигуре 32 клетки, то есть требуется добавить минимум клеток.

С другой стороны, легко видеть, что внутрь квадрата фигура помещается целиком.

Отметим деревню город точку встречи автомобиля и велосипедиста, а также точку где оказался велосипедист в момент возвращения автомобиля в город. Поскольку скорости автомобиля и велосипедиста различаются в раза, то Поскольку автомобиль потратил на перемещения и одинаковое время, то и велосипедист потратил на соответствующие перемещения и одинаковое время. Следовательно,

Поскольку велосипедист потратил на перемещение ровно 35 минут, то на всё перемещение он потратил пропорциональное время: минут.

Пусть биссектрисы углов и пересекаются в точке лежащей на

Так как то а, раз и биссектрисы, Следовательно, в треугольнике получаем

Проведём медиану в треугольнике раз треугольник прямоугольный, то Треугольник равнобедренный, значит, а, следовательно, Но — середина значит, — средняя линия трапеции поэтому

Всего пар человек в кружке . За 360 дней в кафе побывало пар (так как каждый день прибавляется по три пары). Так как все пары побывали одинаковое количество раз, это количество равно .

Пример: 9 монет по 1 рублю, 9 монет по 2 рубля, 9 монет по 5 рублей и 1 монета по 10 рублей. Заметим, что в кошельке всего монет достоинством не 1 рубль, пюэтому среди любых 20 монет обязательно встретится рублевая. Аналогично проверяется и про все остальные номиналы.

Оценка: Предположим, что в кошельке лежит монет. Так как монет достоинством не 1 рубль не больше 19 (иначе наплось бы 20 монет, не содержащих рублевую), рублевых монет должно быть не менее 19. Аналогично двухрублевых и пятирублевых. Следовательно, всего монет не менее . Получаем неравенство , откуда . Так как - целое, оно не превосходит 28 .

Пусть прямые и пересекаются в точке Поскольку треугольники и подобны по углам, откуда получаем В равнобедренном треугольнике проведем высоту и медиану

Тогда в треугольнике отрезок проходит через середину стороны и параллелен Следовательно, — средняя линия этого треугольника, и

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Чтобы число делилось на 4, число, образованное его последними двумя цифрами, тоже должно делится на 4. Значит, последнее число, которое напишет София, должно делиться на 4.

Ближайшее число, которое делится на это , но число имеет сумму цифр 158, т.е. не делится на 3. Следующее число, которое делится на это . Сумма цифр числа равна 216, т.е. всё число делится на 3 .

Очевидно, в числе нет 0. Если в числе есть цифра 1, то её можно убрать и увеличить какую-нибудь из оставшихся цифр на 1, от этого сумма не изменится, а произведение увеличится. Если в числе есть цифра , то её можно заменить на цифры 2 и , и произведение увеличится: при . Наконец, если в числе хотя бы три двойки или двойка и четверка, то их можно заменить на две тройки. Если в числе хотя бы две четверки, то их можно заменить на 3,3 и 2.

Таким образом, в числе с максимальным произведением помимо троек может быть или не более одной четверки, или не более двух двоек. Это возможно только если в числе 7 троек и либо одна четверка, либо две двойки (в обоих случаях произведения одинаковы). Наименьшим из полученных чисел является 33333334.

Докажем, что к 6-значному числу , меньшему 888 888, все цифры которого чётны, можно добавить число, не большее 111112 так, что вновь все его цифры будут чётные. Если среди цифр числа , кроме первой, есть цифра, меньшая 8 , то можно увеличить её на 2. В противном случае число имеет вид . Так как , то к нему можно добавить 111112 и получится . Если же , то все большие 6-значные числа содержат в себе нечётную цифру, поэтому среди них не может найтись подходящее число .

Осталось проверить, что разность 111112 бывает. Рассуждения из оценки подсказывают, что примером могут быть числа и . И правда: у любого числа между ними есть или цифра 3, или цифра 9.

Если — квадрат натурального числа, то любое простое число, большее 2, входит в в четной степени, а двойка — в нечетной. Значит, и в любое простое число, большее 2, должно входить в четной степени, а двойка — в нечетной, то есть должно иметь вид . Следовательно, нам надо найти количество таких , что — трехзначное. Другими словами,

Подойдут от 8 до 22, их 22 - 7 = 15.

Выделим четыре квадрата , примыкающие к углам квадрата :

Эти квадраты не пересекаются, поэтому если закрашено не более трех клеток, то хотя бы один из этих квадратов остался целиком белым. Если же мы закрасим 4 клетки, отмеченные на рисунке серым, то ни одного белого квадрата не останется.

Пусть в заливе объём соли а объём воды в части моря, не включающей залив, объём соли а весь её объём Имеем уравнения

Таким образом, откуда Нам требуется найти отношение Оно равно 13.

Так как число четырёхзначное, то его сумма цифр не больше , а раз она делится на , то она в точности равна .

Число делится на поэтому может оканчиваться на , , или .

Если оно оканчивается на , то его сумма цифр не превосходит — не подходит.

Если оканчивается на , то его сумма цифр не превосходит — не подходит.

Если оно оканчивается на , то сумма двух первых цифр должна быть равна . Но тогда это могут быть только две цифры . Произведение цифр числа не делится на .

Получается, что восхитительное число может оканчиваться только на . Тогда сумма его первых двух цифр равна , причём одна из них должна быть равна , значит, вторая — . Оба числа и подходят.

Пусть Маша прошла пешком расстояние . Тогда мама и по дороге к школе, и по дороге обратно проехала на меньше, чем обычно. Значит, мама проезжает расстояние за минут. Тогда расстояние она проезжает за минут. Отсюда следует, что мама встретила Машу за минут до того, как обычно приезжает в школу. Значит, их встреча произошла в .

Пусть загаданное число равно где и — цифры. После преобразований над числом, оно приняло вид

Из условия получаем уравнение Преобразуем его, подставив выражения для десятичных записей чисел

После переноса слагаемых с и влево и приведения подобных получаем

Делим обе части на 18

Так как получаем, что то есть Вася загадал число