Тема Школьный этап ВсОШ

Школьный 10 - 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела школьный этап всош

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#97786Максимум баллов за задание: 7

У жадины Вовочки $25$ одноклассников. В честь своего Дня Рождения он принёс в класс $200$ конфет. Мама Вовочки, чтобы он не съел всё сам, велела раздать конфеты так, чтобы у любых $16$ его одноклассников суммарно оказалось хотя бы $100$ конфет. Какое наибольшее количество конфет Вовочка может оставить себе, выполнив при этом просьбу мамы?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется, чтобы условие выполнялось для всех выбранных групп из 16 человек. Тогда какую группу достаточно проверить, чтобы это работало для любой?

Подсказка 2

Рассмотрите группу из 16 человек с наименьшими количествами конфет! Можно ли что-то сказать про некоторого ученика из неё?

Подсказка 3

В ней найдётся человек, у которого не менее 7 конфет! Тогда что можно сказать про остальных одноклассников?

Подсказка 4

У всех одноклассников, не входящих в эту группу, будет также не менее 7 конфет! Осталось лишь аккуратно всё подсчитать и придумать пример ;)

Показать ответ и решение

Среди всех 25 одноклассников выберем 16 людей с наименьшим числом выданных конфет. Заметим, что среди них есть человек, которому выдали не меньше 7 конфет (иначе, если им всем выдали не больше 6 конфет, то суммарно им выдали не больше $16⋅6= 96$ конфет, что меньше 100). Тогда и оставшимся $25 − 16= 9$ одноклассникам выдали не меньше 7 конфет. Тогда всего конфет суммарно выдали хотя бы $100 +9⋅7= 163$ . Соответственно, Вовочка оставил себе не более $200− 163= 37$ конфет.

Заметим также, что Вовочка мог себе оставить ровно 37 конфет, если остальные 163 он выдал одноклассникам так: 13 одноклассникам выдал по 7 конфет, а 12 одноклассникам выдал по 6 конфет. Тогда у любых 16 человек суммарно хотя бы $6⋅12+ 7⋅4= 100$ конфет, а всего Вовочка действительно выдал $13⋅7+ 12⋅6= 163$ конфеты.

Ответ: 37

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#97940Максимум баллов за задание: 7

Учитель написал на доске число $1818.$ Вася заметил, что если между разрядами сотен и десятков написать знак умножения, то значение полученного выражения будет точным квадратом $( 2) 18× 18 =324= 18 .$ А какое ближайшее следующее за $1818$ четырёхзначное число обладает таким же свойством?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте будем искать нужное число среди чисел вида 18ab (нам ведь нужно ближайшее к 1818). Что если поставить между 8 и a умножение?

Подсказка 2

Получится число 18*ab, то есть 3²*2*ab. Что тогда можно сказать про 2*ab?

Подсказка 3

2*ab — точный квадрат! Осталось лишь найти такое ab, большее 18)

Показать ответ и решение

Поскольку надо найти ближайшее четырёхзначное число, попробуем найти его в виде $18ab-$ . Тогда число $18⋅ab-=32⋅(2⋅ab)$ должно быть точным квадратом. Отсюда следует, что и $-- 2 ⋅ab$ должно быть точным квадратом. Ясно, что $-- ab ∈{19,20,21...,31}$ под это условие не подходят, а $-- ab= 32$ подходит. Значит, ответ в задаче - число 1832.

Замечание. Тот же ответ можно было получить, доказав, что $-- 2 ab =2s$ для некоторого натурального $s> 3$ .

Ответ: 1832

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#97949Максимум баллов за задание: 7

Олег выписал на доску несколько составных натуральных чисел, меньших $1500.$ Оказалось, что наибольший общий делитель любых двух из них равен $1.$ Какое наибольшее количество чисел мог выписать Олег?

Показать ответ и решение

Простые числа, меньшие $√1500-$ , назовём маленькими. Таких чисел ровно 12 : это $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.$

Заметим, что у каждого числа Олега есть маленький делитель (иначе оно было бы не меньше $2 43 > 1500$ ), а также у разных чисел разные маленькие делители (иначе НОД этих чисел был бы больше 1). Значит, чисел у Олега не меньше, чем всего маленьких чисел, т.е. не меньше 12.

Пример на 12 чисел строится легко: это числа $2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,3 ,5 ,7,11,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#98073Максимум баллов за задание: 7

Три золотодобытчика — Вася, Миша и Гриша — накопали по мешку золота (каждый себе). По пути домой они встретили старика Хоттабыча. Он предложил им на выбор:

1. Увеличить на $10%$ добычу Васи и на $20%$ добычу Миши;

2. Увеличить на $10%$ добычу Миши и уменьшить на $10%$ добычу Гриши;

3. Увеличить на $40%$ добычу Гриши и на $20%$ добычу Васи.

Гриша, самый сообразительный из них, посчитал, что в первом случае их суммарная добыча увеличится на 1 кг; во втором случае — уменьшится на 0,5 кг; в третьем случае — увеличится на 4 кг. Какая была суммарная добыча друзей (в килограммах) до встречи с Хоттабычем?

Показать ответ и решение

Обозначим добычу Васи, Миши и Гриши за $x,y,z$ соответственно. Тогда, $0,1x+ 0,2y =$ $1;0,1y− 0,1z =− 0,5;0,4z+0,2x =4.$ Сложив уравнения, получим $0,3(x +y +z)= 4,5,$ откуда $x+y +z =15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#39066Максимум баллов за задание: 7

Параболы $y =x2+ ax+ b$ и $y =x2+ cx+ d$ пересекают ось $Ox$ в точке $(2022;0)$ . Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью $Ox$ расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью $Oy$ расположены симметрично относительно начала координат.

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 11.1

Показать доказательство

Пусть первая парабола вторично пересекает ось $Ox$ в точке $r$ , а вторая — в точке $− r$ . Тогда по теореме Виета $b=2022r$ , $d =− 2022r$ , то есть $b= −d$ . Но эти параболы пересекают ось $Oy$ в точках $(0;b)$ и $(0;d)$ , откуда и следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#75443Максимум баллов за задание: 7

Даны квадратные трёхчлены $x2 +ax+ b$ , $x2+cx+ d$ и $x2+ ex +f$ . Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх:

a2 +c2− e2 ----4----> b+d − f; c2+-e2−-a2- 4 > d+f − b; e2-+a2−-c2-> f + b− d. 4

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 10.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с условия на то, что любые два из квадратных трёхчленов имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Что мы тогда можем сказать про кол-во корней каждого них? А сколько всего различных корней в совокупности этих трёх квадратных уравнений?

Подсказка 2

Да, у каждого из них по 2 различных корня, а у трёх вместе - 3. Давайте тогда обозначим их за x₁, x₂, x₃ и как-то распределим их между нашими уравнениями без ограничения общности и наконец-то воспользуемся теоремой Виета, чтобы заменить каждый из коэффициентов a, b, c на выражения с x₁, x₂, x₃.

Подсказка 3

После преобразований мы получим квадратные уравнения относительно какого-то из корней. Для примера, из первого неравенства получится: x₂² - (x₁+x₃)x₂ + x₁x₃ > 0, можем ли мы сразу сказать, какие корни у этого квадратного трёхчлена? А когда оно верно?

Подсказка 4

Да тут же снова теорема Виета, остаётся проделать такие же шаги для других неравенств, сделать правильный вывод и радоваться доказательству!

Показать доказательство

Понятно, что каждый трёхчлен имеет по два различных корня, пусть первый трёхчлен имеет корни $x 1$ и $x 2$ , тогда со вторым он имеет общий корень $x1$ , с третьим — $x2$ . Общий корень второго и третьего трёхчленов обозначим $x3$ . Выразим в первом неравенстве коэффициенты через корни соответствующих трёхчленов по теореме Виета: $(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x1+x3)2- 4 >x1x2+ x2x3 − x1x3$ . После тождественных преобразований получим $2 x2− (x1+x3)x2+x1x3 > 0$ . Оно справедливо, когда $x2$ не лежит между $x1$ и $x3$ . Аналогично для выполнения двух других неравенств необходимо, чтобы $x1$ не лежал между $x2$ и $x3$ , $x3$ не лежал между $x1$ и $x2$ . Но среди чисел $x1,x2,x3$ нет равных чисел, значит всегда какое-то одно находится между двумя другими, а два других — нет. Таким образом, выполнено ровно два неравенства из трёх приведённых.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#123017Максимум баллов за задание: 7

У Юры есть $n$ карточек, на которых написаны числа от $1$ до $n.$ После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна $5600.$ Какое число написано на потерянной карточке?

Показать ответ и решение

Сумма чисел на всех карточках Юры равна сумме чисел от 1 до $n,$ что равно

n-(n-+1) 2

Пусть на потерянной карточке было число $x,$ тогда:

n(n+ 1) ---2---− x= 5600

n(n+-1)= x+ 5600 2

Так как $x$ — это одно из чисел на карточках, то $1≤ x≤ n,$ откуда:

5601≤ n(n+-1) 2

Если $n≤ 105,$ то

n(n+-1)≤ 105(105+-1)-=5565< 5601 2 2

Таким образом, $n≥ 106.$ С другой стороны:

n(n+-1)≤ 5600+ n 2

2 n − n − 11200≤0

Дискриминант уравнения $n2− n− 11200 =0$ равен $D = 1+ 4⋅11200= 44801,$ то есть корни равны $√----- x1 = 1−-44801- 2$ и $1+ √44801- x2 =----2---.$ Неравенство не верно для всех чисел, больших $x2,$ при этом заметим, что $44801< 46225= 2152,$ откуда

√----- x2 = 1+-44801-< 1+-215-= 107 2 2

Значит, при $n≥ 107$ неравенство неверно, то есть $n< 107.$

Получается, $n =106,$ сумма чисел на всех карточках равна $106(106+1)-=5671, 2$ а на потерянной карточке написано число $5671− 5600= 71.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#38621Максимум баллов за задание: 7

Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа $133355555$ получить число $123456789$ ? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах бывает очень полезно заметить что-то, что не меняется при наших операциях, так называемый инвариант. Потому как, если бы у начального числа это что-то было бы одним, а у конечного числа - другим, то мы бы сказали, что это невозможно. Попробуйте поделать операции, которые описаны в задаче и посмотреть на число, которое получается после замены. Может быть в нем что-то постоянно?

Подсказка 2

Ну вот , допустим , мы первый раз проделаем эту операцию. Цифра на которую надо будет заменять - это последняя цифра числа 35. То есть 5 - нечетная. Значит, все цифры нашего числа останутся нечетными. Но ведь проделав эту же операцию еще раз, мы опять получим нечетную цифру и, значит, опять число будет состоять только из нечетных цифр. Значит, мы нашли наш инвариант! А что теперь это нам дает? Правда, что мы решили задачу?

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма цифр исходного числа нечётна. Тогда после замены оно всё ещё будет состоять только из нечётных цифр и снова сумма цифр будет нечётна. Это означает, что число $123456789$ мы не получим, так как в нём есть чётные цифры.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#38622Максимум баллов за задание: 7

Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и синий цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ну просто беее, а не задача. Раскрасить, да еще и все(!) натуральные числа. Да уж… Это ведь какой-то общий алгоритм надо придумывать, а потом еще и доказывать, что все числа будут использованы при таком алгоритме раскраски. Мда, ну и задача. Но это если думать, что ответ - «ДА», а вот если он противоположный, то можно, основываясь на условии задачи, найти контрпример и «дело в шляпе». Попробуйте это сделать!

Подсказка 2

Видимо нам нужно получить контрпример с тем, что число n будет и красным и синим одновременно, в условии того, что что - то известно про числа, которые связаны с данным(а именно отличаются от него на 5 или в два раза). Ну пусть числа n/2 и n-5. А вот если бы эти числа отличались на 5, то мы бы пришли к противоречию. А такое может быть?

Подсказка 3

Ну конечно, может. К примеру, если n=20. Тогда, с одной стороны, 20 имеет не совпадающий с 10 цвет, а с другой - не совпадающий с 15. Но при этом - 15 и 10 сами разных цветов, потому цвет 20 не совпадает с обоими цветами, которые у нас есть. Пришли к противоречию!

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа $10$ и $15$ . Они должны быть разных цветов. Посмотрим теперь на число $20$ . С одной стороны оно должно быть цвета, отличного от цвета $10$ , а с другой — не такого же цвета как и $15$ . Но такого быть не может так как цветов всего два — противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#38643Максимум баллов за задание: 7

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность $ω$ . На меньшей дуге $CD$ окружности $ω$ выбрана произвольная точка $M$ . Внутри квадрата отмечены такие точки $K$ и $L$ , что $KLMD$ — квадрат. Найдите $∠AKD.$

Источники: Школьный этап - 2019, Москва, 10.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте по отмечаем что-то равное на картинке. Во-первых, равны DK и DM, во-вторых, равны AD и DC, просто по определению квадрата. Тогда, есть предположение, что треугольники AKD и DMC равны, но тогда еще нужно доказать что-то про углы соответствующие. Как это сделать?

Подсказка 2

Если вы уже прожженный геометр, то знаете, что если повернуть угол на некоторый градус, то углы между соответствующими сторонами начального и повернутого углов, будут равны. Но вообще, можно просто посчитать ADK = ADC - KDC = 90 - KDC = KDM - KDC = CDM. Отсюда, незамедлительно следует равенство треугольников. Что теперь это нам дает для задачи? Куда теперь можно перекинуть угол AKD?

Подсказка 3

Верно, угол AKD можно перекинуть на угол DMC, так как они равны. А значит, так как мы знаем чему равен угол DMC, то мы решили задачу! Мы ведь знаем, чему равен этот угол?

Показать ответ и решение

Заметим, что

∘ ∠ADK = ∠ADC − ∠KDC = 90 − ∠KDC = ∠KDM − ∠KDC = ∠CDM.

Также верно что $AD =CD, KD = MD$ . Тогда треугольники $ADK$ и $CDM$ равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, $∠AKD = ∠CMD$ . Вписанный угол $CMD$ опирается на дугу окружности, составляющую $3 4$ длины окружности, а значит, равен $3 ⋅180∘ = 135∘. 4$

$PIC$

Ответ: 135

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#38876Максимум баллов за задание: 7

Внутри шляпы волшебника живут $100$ кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольным образом вытащить из шляпы $81$ кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных?

Источники: Школьный этап - 2019, Москва, 11.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перефразируем условие: кроликов любых двух цветов вместе не более 80 (почему?)

Подсказка 2

Попробуем найти количество кроликов того цвета, которого больше всех. Для этого обозначим его за a (пусть они красные) и посчитаем, сколько красных и синих кроликов может быть в сумме?

Подсказка 3

Если синие это те, которые идут по своему количеству на втором месте, то в сумме их с красными не менее a + (100-a)/2 (почему?). Какой вывод можно сделать с учетом первой подсказки?

Подсказка 4

a + (100-a)/2 <= 80, значит a <= 60. А теперь вспомним, что a - это наибольшее количество кроликов одного цвета и сделаем из этого выводы)

Показать ответ и решение

Пусть в шляпе живёт $a$ белых кроликов и их больше всего. Пусть синие кролики вторые по количеству живущие в шляпе. Тогда их хотя бы $100−a 2$ . Из условия следует, что общее количество белых и синих кроликов должно быть не больше $80$ (иначе можно вытащить $81$ кролика, среди которых не найдётся трёх разноцветных) и верно неравенство $100−a a+ 2 ≤ 80$ . Отсюда находим, что $a≤ 60$ . В силу того, что $a$ — это наибольшее количество кроликов одного цвета, это означает, что если произвольным образом вытащить $61$ кролика из шляпы, то среди них точно найдутся два разноцветных. Заметим, что если вытащить $60$ кроликов, то этого может не хватить, например, если в шляпе живут $60$ белых и по $20$ синих и зелёных кроликов.

Ответ: 61

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#38887Максимум баллов за задание: 7

В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на $3$ , вторую — на $2$ , третью — на $1$ . В итоге число увеличилось в $4$ раза. Приведите пример такого исходного числа.

Источники: Школьный этап - 2018, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пускай a, b, c- цифры числа x. Как х выражается через них?

Подсказка 2

x=100a+10b+c. Как изменится число x, если a увеличить на 3, b на 2 и с на 1?

Подсказка 3

100(a+3)+10(b+2)+(c+1)=100a+10b+c+321=x+321. По условию это число равняется 4x. Осталось только решить уравнение x+321=4x и убедиться, что x- натуральное трехзначное число.

Показать ответ и решение

Покажем, как можно найти ответ. Обозначим искомое число за $x$ . Тогда условие задачи можно записать как $x +321= 4x$ и единственным решением этого уравения будет $x =107$ .

Ответ: 107

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#39067Максимум баллов за задание: 7

Лёша не поленился вычислить сумму

9+ 99+ 999+ ...+ 9◟. ◝..◜9 ◞ 2022

и выписать ее на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра $1$ ?

Источники: Школьный этап - 2018, Москва, 10.5

Показать ответ и решение

Каждое слагаемое имеет вид $9...9= 10k − 1 ◟ ◝k◜ ◞$ . Тогда вся сумма имеет вид: $10+ 100+...+102022− 2022= 1...10 − 2022 ◟ ◝20◜2 ◞2$ . Последними цифрами этого числа будут $11110− 2022= 9088$ , а оставшиеся будут единицами. Так как мы испортили первые пять знаков, то остальные $2023− 5 =2018$ будут единицами.

Ответ: 2018

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#39356Максимум баллов за задание: 7

Числа от $1$ до $50$ написаны на карточках. Можно ли разложить эти карточки в $11$ мешков (чтобы в каждый мешок попала хотя бы одна карточка) так, чтобы в каждом мешке произведение чисел на карточках делилось на $9$ ?

В ответ внесите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте, прочитав условие, поймём, а когда вообще произведение чисел в мешке будет делиться на 9? Какие возможны варианты?

Подсказка 2

Верно, нужно, чтобы в мешке либо было число делящееся на 9, либо два числа делящиеся на 3. Но таких чисел от 1 до 50 явно не много. Попробуйте посчитать, сколько их.

Подсказка 3

Ага, у нас получается пять чисел, кратных 9, и 11 чисел, кратных 3, но не кратных 9. Но получится ли тогда у нас раскидать их по мешкам, чтобы соблюдалось условие? Проверьте это, и задача решена!

Показать ответ и решение

Чтобы произведение чисел на карточках делилось на $9$ , то в мешке либо должна быть хотя бы одна карточка, число на которой делится на $9$ , либо хотя бы две карточки, числа на которых делятся на $3$ , но не делятся на $9$ . Среди чисел от $1$ до $50$ есть пять чисел кратных $9$ — $9$ , $18$ , $27$ , $36$ и $45$ . Их хватит на не более чем пять мешков. Чисел от $1$ до $50$ , которые кратны $3$ , но не кратны $9$ , всего $11$ — $3$ , $6$ , $12$ , $15$ , $21$ , $24$ , $30$ , $33$ , $39$ , $42$ , $48$ . Этих чисел также хватит не более чем на пять мешков. Получается, что максимум в десяти мешках произведение чисел может делиться на $9$ — противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#38889Максимум баллов за задание: 7

Во время распродажи Пётр купил брюки с $40%$ -ной скидкой и рубашку с $20%$ -ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр? В ответ укажите “да” или “нет”.

Источники: Школьный этап - 2017, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим цену брюк за x, а цену рубашки за y. Попробуйте составить уравнение, которое описывает условие.

Подсказка 2

Из условия мы понимаем, что Петр заплатил за покупку 0,6x+0,8y рублей, а Иван x+y рублей. Если ответ в задаче да, то должно быть верно следующее равенство: 1,5(0,6x+0,8y)=x+y. Попробуйте найти какие-нибудь x и y, при которых оно верно.

Подсказка 3

Наше равенство равносильно тому, что y=2x, а это означает, что достаточно взять цену рубашки за 2000 рублей, а брюк за 1000.

Показать ответ и решение

Пусть брюки без скидки стоят $x$ рублей, а рубашка без скидки стоит $y$ рублей. Тогда Пётр заплатил за покупку $0,6x +0,8y$ рублей, а Иван, купивший всё без скидки, заплатил $x+ y$ рублей. Запишем уравнением то, что Иван заплатил в полотора раза больше и получим: $1,5(0,6x+0,8y)=x +y$ . Это равносильно уравению $0,9x +1,2y =x +y$ , что в свою очередь есть $0,1y = 0,2x$ . Умножив обе части на $10$ получаем, что $y =2x$ и рубашка должна быть в два раза дороже, чем брюки.

Также в качестве ответа подойдёт предъявление конкретных стоимостей рубашки и брюк, например $2000$ и $1000$ рублей, с обоснованием того, что при таких ценах условию задачи будет выполнено — Пётр заплатит $2000$ рублей, а Иван — $3000$ рублей.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#76412Максимум баллов за задание: 7

Точка $O$ – центр квадрата $ABCD$ . Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A,B,C,D,O$ , сумма которых равна нулевому вектору.

Источники: Школьный этап - 2017, Москва, 10.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем облегчить себе работу и составить «цепочку» векторов с вершинами уже в данных нам точках.

Подсказка 2

Проще всего сначала найти неравные векторы на рисунке, а потом уже из них пробовать составить цепочку!

Показать ответ и решение

−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ BA +AO + OB +AC + CO +OD + DA = 0

$PIC$

Ответ:

Например, $BA,AO,OB,AC, CO,OD,DA$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#88685Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости изображены графики функций $y =x2 +bx+ c$ и $y =x2 +cx+ b$ .

$PIC$

Найдите значения $b$ и $c$ . В ответе запишите уравнения каждой из функций.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем один из корней трехчлена. Очень хочется найти и второй, ведь тогда мы сможем найти и b, и c. Подумайте, как это можно сделать, пользуясь графиком?

Подсказка 2

Заметьте, что второй корень трехчлена лежит именно в точке пересечения двух графиков. Как переписать условие пересечения двух графиках в виде уравнения?

Подсказка 3

Если графики пересекаются, значит, значения функций в этой точке равны, следовательно, мы можем приравнять функции, задающие графики парабол.

Подсказка 4

Получаем уравнение x² + bx + c = x² + cx + b, отсюда получаем, что (b - c)x = b - c. Далее мы можем получить x = 1, разделив на (b - c), но сделать мы можем это только при условии, что b - c не равно нулю. Докажите, почему b - c не может быть равно нулю!

Показать ответ и решение

Абцисса точки пересечения графиков функций удовлетворяет уравнению

2 2 x + bx+ c= x +cx+ b

(b− c)x= (b− c)

В силу того, что графики функций не совпадают, заключаем $b⁄=c,$ то есть $x= 1$ — общий корень двух трехчленов. Без ограничений общности можем считать, что именно многочлен $x2+ bx+ c$ имеет корень $− 3.$ Таким образом, $x2+ bx+ c=(x+ 3)(x− 1),$ то есть $b= 2,c=− 3.$

Ответ:

$x2+ 2x− 3,x2− 3x+ 2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#38636Максимум баллов за задание: 7

В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено $44$ ответа «правдивец» и $28$ ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 10.4

Показать ответ и решение

Если учеников было $n$ , то они дали каждый по $n− 1$ -му ответу и всего получилось $n(n − 1)$ ответ. Так как всего ответов было дано $72$ , то $n = 9$ . Пусть среди учеников было $x$ честных и $9− x$ лжецов. Тогда каждый из честных ребят дал $x− 1$ ответ «правдивец» и $9− x$ ответов «лжец». А каждый из лжецов дал $x$ ответов «лжец» и $8− x$ ответов «правдивец». Тогда ответов «правдивец» всего было дано $x(x− 1)+ (9− x)(8 − x)$ , что по условию равно $44$ . Отсюда получаем уравнение $2 2 x − x+ 72− 17x+ x = 44$ . Приведя подобные слагаемые, получим: $2 x − 9x +14= 0$ . Это равенство раскладывается на множители $(x− 7)(x− 2)=0$ , то есть $x$ может быть равен $2$ или $7$ . Подставляя полученные значения $x$ в количество полученных ответов «лжец» равное $x(9− x)+ (9− x)x$ , видим что $28$ получится при обоих значениях $x$ . Если честных было двое, то они дали $2⋅1+ 2⋅7 =16$ правдивых ответов. Если же их было $7$ , то тогда они дали $7 ⋅6 +7⋅2 =56$ правдивых ответов.

Ответ: 16 или 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#38886Максимум баллов за задание: 7

За лето однокомнатная квартира подорожала на $21%$ , двухкомнатная — на $11%$ , а суммарная стоимость квартир — на $15%$ . Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной? Если это количество нецелое, отделяйте дробную часть запятой.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пускай однокомнатная квартира стоит a рублей, а двухкомнатная стоит b рублей. Как записывается условие задачи?

Подсказка 2

1,21a+1,11b=1,15(a+b). Что получится после приведения подобных слагаемых?

Подсказка 3

0,06a=0,04b. Умножив обе части на 100, получим, что 6a=4b. Посчитайте отношение b/a и радуйтесь!

Показать ответ и решение

Пусть однокомнатная квартира стоила $a$ рублей, а двухкомнатная — $b$ рублей. Тогда условие задачи можно записать как: $1,21a +1,11b =1,15(a+ b)$ . Приведя подобные слагаемые получаем, что $0,06a= 0,04b$ или же: $1,5a =b$ . Это означает, что однокомнатная квартира в $1,5$ раза дешевле.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#38891Максимум баллов за задание: 7

Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении $-1-+ -1-= 1 x+a x+b c$ вместо $a$ , $b$ и $c$ поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, если мы еще «методом пристального взгляда» не подобрали такие коэффициенты, то стоит привести все к общему знаменателю, так как в таком виде непонятно как работать с уравнением и его корнями. Чтобы были целые корни, нужен как минимум, дискриминант равный квадрату целого числа, так как если он не равен квадрату целого, то корни будут иррациональными.

Подсказка 2

Ну вот мы нашли дискриминант. Он получился (a-b)^2 + (2c)^2. И это должно быть квадратом. Хмм… То есть, сумма квадратов - это квадрат. Интересно. Но ведь мы же знаем примеры таких чисел и это…

Подсказка 3

Верно, пифагоровы тройки. Тогда давайте начнем с первой такой тройки - (3,4,5). Значит, a - b = 3, c = 2. Тогда корни уравнения будут выражения (2с - a - b +-5)/2 = (4 - a - b +- 5)/2. Нам нужно, чтобы выражение делилось на 2, значит, нужно, чтобы а и b были разной четности. Пусть тогда это 3 и 6. Осталось проверить, что они подходят под ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Проверим, что числа $a =6$ , $b= 3$ и $c= 2$ подойдут. Уравнение будет иметь вид: $-1-+ -1-= 1 x+6 x+3 2$ . Его корнями будут числа $x =0$ и $x =− 5$ .

Первое решение.

Если привести всё к общему знаменателю и перемножить по правилу пропорции, то мы получим квадратное уравнение: $2 x + (a+b− 2c)x+ (ab− ac− bc)= 0$ . Это означает, что у уравнения должно быть два корня. Можно подобрать их исходя из того, что дискриминант $2 2 (a− b)+ (2c)$ должен быть точным квадратом (если мы хотим получить целые корни). В этом помогают пифагоровы тройки, например $2 2 2 3 + 4 =5$ и можно выбрать $c= 2$ , $a− b=3$ . В таком случае $2c−a−b±5 4−a−-b±5- x1,2 = 2 = 2$ . Если $a =6$ , $b= 3$ , то получаем те же решения $x1 = 0$ , $x2 = −5$ . Можно подставлять другие тройки, например, $2 2 2 5 + 12 =13$ и для них будут параметры $a =7$ , $b= 2$ и $c= 6$ , а корнями уравнения будут $x= 5$ и $x= −8$ .

Второе решение.

Также можно попробовать сделать один корень равным нулю и подобрать $a,b,c$ так, чтобы выполнялось равенство $1a + 1b = 1c$ . Довольно известным является равенство $12 + 13 + 16 = 1$ , поэтому стоит попробовать тройку $c= 2$ , $b= 3$ , $a= 6$ . Более того, в силу теоремы Виета, сумма корней равна $2c−a2−b$ , а поэтому если $a+ b$ чётно, то сумма корней будет целым числом, а значит, если один корень целый (например, $0$ ), то и второй корень тоже будет целым.

Ответ: