Тема 6. Решение уравнений

6.08 Тригонометрические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1484Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

( √ - ) ( √- ) cos π--2x = cos 0,3π-2- 3 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $cosx = a$ имеет вид: $x = ±arccosa + 2πn, n ∈ ℤ,$ тогда для исходного уравнения получаем

π√2- 0,3π√2- ----x = ±-------+ 2πn, n ∈ ℤ, 3 3

что равносильно $√ - x = ±0,3+ 3 2n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 0,3$ при $n = 0.$

Ответ: 0,3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1485Максимум баллов за задание: 1

( π-) √- ctg 3x = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $π 3x ⁄= πk, k ∈ ℤ.$ Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $ctgx = a$ имеет вид: $x = arcctga + πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

π- π- 3 x = 6 + πn,n ∈ ℤ,

что равносильно $x = 0,5+ 3n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1486Максимум баллов за задание: 1

( π ) ( 4π) tg 13 x = tg 13-

Показать ответ и решение

ОДЗ: $π- π 13x ⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ.$ Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $tgx = a$ имеет вид: $x = arctg a+ πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

π 4π 13x = 13-+ πn, n ∈ ℤ,

что равносильно $x = 4+ 13n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1487Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

( π ) (22π ) tg 17x = tg -17-

Показать ответ и решение

ОДЗ: $π- π 17x ⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ.$ Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $tgx = a$ имеет вид: $x = arctg a+ πn, n ∈ ℤ.$ Так как

( (22π )) ( (22π ) ) ( ( 5π) ) 5π arctg tg -17- = arctg tg -17-− π = arctg tg 17- = 17,

то для исходного уравнения получаем

-π x = 5π-+ πn,n ∈ ℤ, 17 17

что равносильно $x = 5+ 17n,n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный $x = − 12.$

Ответ: -12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2001Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение. В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на $π.$

√ - ( 1 π) 3tg 6x + 3- − 1 = 0

Показать ответ и решение

Данное уравнение преобразуется в

(1 π ) 1 tg 6 x+ 3- = √-- 3

Заметим, что $√- 1√-= -3. 3 3$ Сделаем замену $1x + π= y. 6 3$ Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:

√ - --3 π- tgy = 3 ⇒ y = 6 + πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную замену:

1 π π 1 π -x + --= --+ πn, n ∈ ℤ ⇒ - x = −--+ πn, n ∈ ℤ ⇒ x = − π +6πn, n ∈ ℤ 6 3 6 6 6

Заметим, что из данной серии корней при $n = 0$ получается корень $x = − π,$ который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при $n = 1$ мы получаем положительный корень $x = 5π.$ При $n ≥ 2$ корни будут больше $5π,$ а при $n ≤ − 1$ – меньше $− π.$ Следовательно, $5π$ – наименьший положительный корень.

Следовательно, в ответ нужно записать $5π÷ π = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2230Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение. В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на $2 π .$

x- cos2 = − 1

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

x- 2 = π+ 2πn ⇔ x = 2π+ 4πn, n ∈ ℤ

Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство:

1 2π + 4πn < 0 ⇔ n < − 2 ⇒

последние два отрицательных корня получаются при $n = − 2; − 1$ и это $x = − 6π; − 2π.$

Следовательно, их произведение, деленное на $π2,$ равно $12π2 ÷ π2 = 12.$

Ответ: 12

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#2231Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение. В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на $2 π .$

x- tg 3 = 1

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

x π 3π 3-= 4-+ πn ⇔ x = 4-+ 3πn, n ∈ ℤ

Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство:

3π-+ 3πn < 0 ⇔ n < − 1 ⇒ 4 4

наибольший отрицательный корень получается при $n = − 1$ и это $x = − 9π. 4$

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство:

3π-+ 3πn > 0 ⇔ n > − 1 ⇒ 4 4

наибольший отрицательный корень получается при $n = 0$ и это $3π- x = 4 .$

Тогда произведение, деленное на $2 π ,$ равно

9π 3π 2 27 −-4-⋅-4-÷ π = −16 = − 1,6875

Ответ: -1,6875

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#2234Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение. В ответе укажите наименьший положительный корень.

ctgπx = 0

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

π 1 πx = 2-+ πn ⇔ x = 2 + n, n ∈ ℤ

Найдем положительный корень, решив неравенство

1 + n > 0 ⇔ n > − 1 ⇒ 2 2

наименьшее $n = 0,$ откуда $x = 1. 2$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#2663Максимум баллов за задание: 1

(π √π- ) ( − 0,1π√ π) sin -22- x = sin ---22----

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $sin x = a$ имеет вид:

x1 = arcsin a+ 2πn, x2 = π − arcsina+ 2πn, n ∈ ℤ

Откуда для исходного уравнения получаем

√-- √-- √-- √ -- π-π- −-0,1π-π- π-π- − 0,1π-π- 22 x1 = 22 + 2πn, n ∈ ℤ, 22 x2 = π − 22 + 2πn, n ∈ ℤ,

что равносильно

44 22 44 x1 = − 0,1+ √-n, n ∈ ℤ, x2 = √--+ 0,1+ √--n, n ∈ ℤ π π π

– подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный $x = − 0,1.$

Ответ: -0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#11015Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $π(x−-7) 1 cos 3 = 2 .$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение корня увеличивается при увеличении $k.$ При $k = − 2$ получаем корни $− 6$ и $− 4,$ при больших $k$ корень уже будет положителен. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#11016Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $tg πx-= −1. 4$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение корня увеличивается при увеличении $k.$ При $k = 0$ получаем корень $− 1,$ при больших $k$ корень уже будет положителен. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 1.$

Ответ: -1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#11020Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший корень уравнения $π- ctgx = 0.$

Показать ответ и решение

$pict$

Наибольший корень достигается при наименьшем $k,$ для которого знаменатель все еще положителен. Это $k = 0$ и $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#11023Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $( ) tg π(x-−-1)- = √3. 6$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение каждого из корней увеличивается при увеличении $k.$ При $k = −1$ получаем корни $− 9$ и $− 3,$ при больших $k$ оба корня уже будут положительны. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#11026Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $ctg πx-= −√1-. 3 3$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#11027Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $π(x−-6) √- ctg 12 = − 3.$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение корня увеличивается при увеличении $k.$ При $k = −1$ получаем корень $− 8,$ при больших $k$ корень уже будет положителен. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 8.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#11710Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение

- π(2x+ 7) √3 sin----6--- = − 2-.

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Показать ответ и решение

По определению синуса на тригонометрической окружности имеем две серии решений:

$pict$

Значение каждого из корней увеличивается при увеличении $k.$ При $k = 0$ получаем корни $− 4,5$ и $− 5,5,$ при больших $k$ оба корня уже будут положительны. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 4,5.$