Функциональные уравнения

Сначала докажем, что Действительно,

Подставив в условие задачи получим

Тогда или В случае получаем

Получим для любого что неверно. Значит, Подставляя получаем

Значит, Тогда для любого натурального верно

Докажем по индукции следующую формулу:

База: при

Переход: пусть верно для хотим доказать, что для выполняется равенство

Пусть тогда

Поскольку

По предположению индукции

Итак, мы доказали данную формулу. В частности,

Значит,

Тогда для всех натуральных верно

Отсюда для натуральных и

Теперь разберемся с отрицательными дробями:

Тогда

Следовательно, функция определена для всех рациональных чисел. Она непрерывна, а если две функции совпадают для всех рациональных чисел, то они совпадают на всей вещественной оси.