Функциональные уравнения

Пусть — многочлен степени удовлетворяющий данному равенству. Позже мы докажем, что для каждого решение единственно. Легко получить, например, с помощью метода неопределенных коэффициентов, что решениями являются

Заметим, что верна реккурентная формула Попробуем решить ее так, будто это равенство не для многочленов, а для чисел. Тогда для нахождения ответа необходимо решить характеристическое уравнение

Далее будем искать решение в виде

где — некоторые многочлены. Учитывая условие можем предположить, что и убедиться, что они удовлетворяют условию Тогда

Простой подстановкой легко убедиться, что действительно удовлетворяет уравнению. Осталось доказать, что — единственное решение для каждого

Пусть — решение. Тогда имеем

Из этих равенств следует, что поскольку старший коэффициент должен быть положительным в силу равенства и Пусть Во втором равенстве коэффициент при равен нулю, если нечетно. Из первого равенства следует, что коэффициентами при степенях являются суммы слагаемых вида Тогда минимальная степень с возможно ненулевым индексом удовлетворяет неравенству если четно. Теперь, если мы запишем по порядку убывания уравнения на коэффициенты при все из них, кроме первого, будут иметь вид где — известные к моменту решения этого уравнения числа (поскольку мы последовательно вычисляем ). Каждое уравнение такого вида имеет единственное решение относительно и потому многочлен единственен.