Тема АЛГЕБРА

Функции → .01 Исследование функций и производные

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Исследование функций и производные

Суперпозиция f(f(x))

Функциональные уравнения

Функциональные неравенства

Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#39088Максимум баллов за задание: 7

Найдите область значений функции

f(x)= cos(cos(cosx))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что в лоб находить область значений тут у нас не получится. Давайте попробуем начать оценивать область изнутри. Сделаем это последовательно, сначала для cos(cos(x)). Вспомните, как у нас ведёт себя cos(x) от -1 до 1?

Подсказка 2

Верно, от -1 до 0 он возрастает, а от 0 до 1 — убывает. Учитывая, что cos(-1)=cos(1), найдём область значений для cos(cos(x)). Попробуйте далее аналогично понять, как ведёт себя функция косинуса, но уже на новом интервале. Не забудьте, что единица тут в радианах!

Подсказка 3

Ага, так как 1<π/2, то косинус убывает на данном интервале. Далее раз все значения из интервала достигаются, найдём ответ на задачу.

Показать ответ и решение

cosx∈ [− 1,1]

Функция $cos$ возрастает на $[−1,0]$ и убывает на $[0,1]$ . При этом $cos(−1)= cos1$ . Значит,

cos(cos(x))∈ [cos1,1]

И все значения из этого интервала достигаются. Так как $1< π 2$ , то на $[cos1,1]$ функция $cosx$ убывает, поэтому $cos(cos(cosx))$ пробегает ровно все значения от $cos1$ до $cos(cos1)$ .

Ответ:

$[cos1;cos(cos1)]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#40268Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение функции

f(x)= 2sinx +sin2x

на отрезке $[0,5π]. 4$

Источники: ПВГ - 2014, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, нужно найти максимальное значение суммы двух функций на отрезке… Конечно же, нам поможет в этом производная!

Подсказка 2

Вспомним, что производная от суммы двух функций – это сумма производных от каждой из этих функций! А производная синуса – косинус!

Подсказка 3

Получается, максимальное значение достигается либо в точке π, либо в точке π/3, либо на концах отрезка. Осталось найти максимум из значений выражения в этих точках!

Показать ответ и решение

Наибольшее значение может достигаться или в одном из концов отрезка, или во внутренней точке отрезка — при выполнении необходимого условия экстремума:

′ f (x)= 0 ⇐⇒ 2cosx+2 cos2x= 0

2 cosx+ 2cos x− 1= 0

cosx= −1 или cosx = 1 2

На отрезке из условия подходят точки $π,π 3$ . Не будем проверять, максимум ли или минимум в этой точке. Достаточно сравнить значения в них и на концах отрезка.

Максимальное значение достигается в $π 3$ и равно $3√3 2$ .

Ответ:

$3√3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#40269Максимум баллов за задание: 7

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

-1-- y =x + x− 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам поможет производная! А если конкретно, то нули производной!

Подсказка 2

Производная равна нулю в точках 0 и 2. Тогда, осталось лишь расставить знаки и не забыть, что при x = 1 функция не определена

Показать ответ и решение

Найдём нули производной

′ ---1-- y(x)=1 −(x− 1)2 = 0 ⇐ ⇒ x= 1±1

Не будем забывать также про точку разрыва $x= 1.$

По знакам производной определяем, что функция возрастает на $(−∞;0],[2;+∞ ),$ а убывает на $[0;1),(1;2].$ Обратите внимание, что писать в множество возрастания/убывания функции объединение промежутков будет некорректно, потому что в данном случае из-за разрыва 2 рода нарушается определение возрастания/убывания сразу на всём множестве. Через запятую написать отдельные промежутки, на которых функция возрастает, будет приемлемо.

Ответ:

функция возрастает на $(−∞;0],[2;+ ∞)$ ,

убывает на $[0;1),(1;2]$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#40270Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sinx− x= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу вспомним, что синус у нас ограничен от -1 до 1, а значит и х лежит в этом промежутке. Необычное уравнение нам дали. В такие моменты в принципе бывает полезно перебрать все способы решения: какой-то да сработает. Давайте попробуем хотя бы угадать сразу очевидный корень.

Подсказка 2

Ага, х=0 подходит нам. Уже хорошо! Хм, а давайте попробуем перенести х влево. Что тогда у нас получается? Выходит справа ноль, а слева странная функция. Если есть какие-то другие корни, то искать точно не хотелось бы его... Какой тогда способ решения напрашивается?

Подсказка 3

Верно, если мы докажем, что слева функция монотонна, а справа у нас константа, то это будет победа! Ведь корней тогда не более одного, а мы его уже нашли. Итак, попробуйте взять производную и понять, почему на нужном нам промежутке функция sinx-x монотонна.

Показать ответ и решение

Так как $sinx ∈[−1;1],$ то $x∈ [− 1;1].$

Рассмотрим функцию $f(x)= sinx− x.$ Заметим, что на отрезке $[−1;1]$ её производная $′ f (x) =cosx− 1≤ 0$ отрицательна всюду, кроме единственной точки $x= 0,$ в которой производная обращается в ноль. Значит, функция монотонно убывает на всём отрезке.

Но раз так, то решений уравнения не более одного.

При этом легко видеть, что $x= 0$ является решением.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#41244Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 1 2 2x + 2x − x − a − 1= 0

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

а входит только в первой степени, поэтому удобно будет перенести а направо и нарисовать получившееся уравнение в плоскости хОа!

Подсказка 2

Изобразим график функции а(x) = 2x³ + x²/2 - x - 1. Как можно изобразить график кубической функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Определим промежутки возрастания и убывания функции, посчитаем значение функции в точках перегиба. Осталось лишь "двигать" горизонтальную прямую, соответствующую разным значениям а, и искать ровно одно пересечение!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=2x3+ x2− x− 1 2$ и построим её эскиз. Для этого возьмём производную: $f′(x)=6x2+ x− 1= 0 ⇐⇒ (3x− 1)(2x+ 1)=0.$ По знакам производной определяем промежутки возрастания и убывания функции:

$PIC$

Найдём $a∗ = f(13)= 227 + 118 − 43 = − 6554$ и $a∗ = f(− 12)= − 14 + 18 + 12 − 1=− 58.$ При $a< a∗$ и $a >a∗$ прямая $y = a$ пересекает график $y =f(x)$ ровно в одной точке, при других значениях параметра $a$ точек пересечения больше одной.

Ответ:

$(−∞;− 65)∪(− 5;+∞ ) 54 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#41245Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx +2 cos 3 +3cos3 =a

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас непрерывная функция, справа a. Чтобы существовало решение, нам нужно, чтобы a принадлежало множеству значений функции слева. Как это удобно учесть?

Подсказка 2

Чтобы a принадлежало множеству значений непрерывной функции, достаточно принадлежности a отрезку между максимумом и минимумом функции! По формуле тройного угла можно связать cos(x) и cos(x/3), а вместе с ними и cos(2x/3). Так как же найти максимум и минимум функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Заменим cos(x/3) на t, осталось лишь найти точки экстремума f(t) = 4t³-3t +3/2 (2t²-1) + 3t

Показать ответ и решение

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения. Но отметим, что это непрерывная функция, поэтому принимает все значения между своими максимумом и минимумом. Остаётся найти их.

После замены $x cos3 = t∈[−1,1]$ получаем задачу исследования

3 3 2 3 2 3 f(t)= 4t− 3t+ 2(2t − 1)+ 3t=4t + 3t − 2

на отрезке $[− 1;1]$ .

Возьмём производную по $t$ :

f′(t)= 12t2+ 6t=0 ⇐ ⇒ t∈ {0;− 12}

Остаётся подставить $t=− 1,t= − 12,t= 0,t= 1$ (максимум и минимум могут достигаться только в этих точках) и получить

fmin = f(− 1)=− 5,fmax =f(1)= 11 2 2

Ответ:

$[− 5;11] 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#51602Максимум баллов за задание: 7

Дана функция $f(x)= sin4x-+cos4x- sin6x +cos6x$ . Найти:

1) корни уравнения $10 f(x)= -7$

2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ .

Показать ответ и решение

Используем тождества (первое равенство получается из формулы суммы кубов)

6 6 4 4 2 2 2 2 3 2 sin x +cosx = sin x+cos x− sin xcos x= 1− 3sin xcosx = 1− 4sin 2x

1 sin4x+ cos4x= (sin2x+ cos2x)2− 2sin2x cos2x= 1− 2sin22x

Далее сделаем замену $sin22x= t,$ получим

f(x)= -1− t∕2 = 2⋅-t−-2 = 2⋅ (t− 4∕3)− 2∕3 = 2 − 9⋅-1 = g(t) 1− 3t∕4 3 t− 4∕3 3 t− 4∕3 3 4 t− 4∕3

где $0 ≤t≤ 1.$ Функция $g(t)$ является возрастающей на отрезке $[0;1],$ и поэтому $gmin = g(0)= 1$ , $gmax = g(1) =2.$ Если $f(x)= 10, 7$ то $g(t)= 10, 7$ т. e. $2(t−2)= 10, 3t−4 7$ откуда $t= 3. 4$ Следовательно, $sin22x= 3 4$ или $cos4x =$ $= − 1, 2$ откуда $x =± π+ πn,n∈ ℤ 6 2$ .

Ответ:

$1)x= ±π + πn-,n ∈ℤ; 6 2$

$2)fmax = 2,fmin =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#74945Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение функции

( a+4b)2 ( 2b+ 2c)2 (c+ 2a)2 f(a,b,c) = -c--- + --a-- + --2b--

при $a> 0,b> 0,c> 0.$

Источники: САММАТ-2022, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда хотим оценить снизу положительную сумму, что первым приходит в голову?)

Подсказка 2

Неравенство о средних! Теперь мы понимаем, когда функция принимает свой минимум. Получается, нам нужно решить систему уравнений. Будем преобразовывать и выразим остальные буквы через a.

Подсказка 3

Получится, что a = 2b = c. Теперь мы знаем, что подставлять в функцию для поиска минимума. Осталось лишь привычным в решении этой задачи методом показать, что оно действительно наименьшее!

Показать ответ и решение

По неравенству о средних (неравенству Коши)

( )2 ( )2 ( )2 ∘ (-----)2(-----)2-(-----)2- f(a,b,c)= a+-4b- + 2b-+2c + c+-2a ≥ 33 a+-4b 2b+-2c c+-2a c a 2b c a 2b

Равенство достигается при

(a-+4b)2 ( 2b+-2c)2 (c+-2a)2 c = a = 2b

Т.к. $a> 0,b >0,c> 0,$ это равносильно

a+ 4b 2b+2c c+2a --c--= --a-- = -2b--

( ( |{ a2+4ab= 2bc+ 2c2 |{ 4ab− 2bc= 2c2 − a2 | 2ab+ 8b2 = c2+ 2ac ⇔ | 2ab− 2ac= c2− 8b2 ( 4b2+ 4bc=ac+ 2a2 ( 4bc− ac= +2a2− 4b2

Решим систему уравнений относительно произведений $ab,ac,bc.$ Умножим первое уравнение на $4,$ второе уравнение — на $(−1),$ третье уравнение на $2$ и сложим, получим

16ab− 8bc− 2ab+ 2ac+8bc− 2ac= 8c2− 4a2− c2 +8b2+4a2− 8b2,

14ab= 7c2, 2ab= c2

Умножим первое уравнение на $2,$ второе уравнение — на $(−4),$ третье уравнение на $1$ и сложим, получим

8ab− 4bc− 8ab +8ac+4bc− ac=4c2− 2a2 − 4c2+32b2+2a2− 4b2,

2 2 7ac= 28b, ac= 4b

Умножим первое уравнение на $1,$ второе уравнение — на $(−2),$ третье уравнение на $4$ и сложим, получим

2 2 2 2 2 2 4ab− 2bc− 4ab+4ac+ 16bc− 4ac= 2c − a − 2c +16b +8a − 16b,

14bc= 7a2, 2bc= a2

Поэтому получим эквивалентную систему уравнений, преобразуем её, учитывая условие, что $a> 0,b> 0,c>0$

( ( ( ( |||{ 2ab= c2 |||{ 2b =-c2 |||{ a = c2- |||{ a-= 4b2- ac= 4b2 ⇔ c3 4b32 ⇔ c3 a23 ⇔ 2b3 a23 |||( 2bc= a2 |||( 8b = c |||( a = c |||( a = 8b 2b= c a= c a =2b

Таким образом, получаем условие $a= 2b=c =t> 0.$ При таких условиях функция $f(a,b,c)$ принимает значение, равное

( t ) (t+ 2t)2 (t+ 2t)2 ( t+2t)2 f t,2,t = --t- + --t- + -t-- =

∘ (t+-2t)2(-t+2t)2(-t+2t)2- ( t+2t)2 = 33 --t- --t- -t-- = 3 -t-- = 3⋅32 = 27

Покажем, что это значение является наименьшим значением функции $f(a,b,c)$ при всех $a >0,b> 0,c> 0.$ Для этого докажем неравенство $f(a,b,c)≥ 27$ при всех $a> 0,b> 0,c> 0.$ Применим указанное выше неравенство Коши дважды:

∘ -------------------------- ( a+ 4b)2 ( 2b+2c)2 (c +2a)2 3 (a+ 4b)2(2b+ 2c)2(c+ 2a)2 f(a,b,c)= --c-- + --a-- + --2b- ≥ 3 --c-- --a-- --2b- =

∘ ----------------------- ∘ ------------------------------- 3(a+-4b)2⋅(2b+-2c)2⋅(c+2a)2 3 (a-+2b+-2b)2⋅(2b+-c+-c)2⋅(c+a+-a)2 =3 c2⋅a2⋅4b2 = 3 c2 ⋅a2⋅4b2 ≥

∘ --√----------√----------√-------- ∘ ------------ ≥33 (33a⋅2b⋅2b)2⋅(3-32b⋅c⋅c)2⋅(3-3c⋅a⋅a)2 =33 36⋅a2⋅4b2⋅c2= 3⋅32 = 27 c2⋅a2⋅4b2 c2⋅a2⋅4b2

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#74953Максимум баллов за задание: 7

Найти наименьшее значение функции

8 √- 6 4 √- 2 f(x)=x − 8 3x + 66x − 72 3x +100

Источники: САММАТ-2022, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В функции не один раз встречается корень из трех. Быть может, сделаем замену, чтобы от него избавиться? Каким образом мы привыкли искать минимум и максимум функции?)

Подсказка 2

Сделаем замену а = sqrt(3), тогда функция будет иметь только целочисленные коэффициенты. А максимум мы привыкли искать с помощью производной! Вот только теперь надо понять, а производную кого вообще считать?

Подсказка 3

Посчитаем производную функции g(a) = a^4 - 8a^3 + 22a^2 - 4a + 11. А найти её минимум труда не составит ;)

Показать ответ и решение

Сделаем замену переменной по формуле $x2 = √3a,$ тогда функция $f(x)$ примет вид

4 √- √ -3 2 √- √ - f(x)= 9a − 8 3 ⋅3 3a + 66⋅3a − 72 3⋅ 3a +100=

( 4 3 2 ) =9 a − 8a +22a − 24a+ 11 +1 =9g(a)+ 1,

где $a ≥0.$ Найдем производную функции

g′(a)= 4a3− 24a2+ 44a − 24,

и решим уравнение

g′(a) =0 ⇒ 4a3− 24a2+44a− 24= 0

Нетрудно видеть, что уравнение имеет корень $a= 1,$ следовательно

4a3− 24a2+ 44a − 24= 0

( ) (a− 1)4a2− 20a +24 = 0

( ) 4(a− 1) a2− 5a +6 = 0

4(a− 1)(a− 2)(a − 3)= 0

То есть уравнение имеет корни $a =1,a = 2 1 2$ и $a =3. 3$

Так как $g′(a)< 0$ при $0 ≤a< 1$ и при $2< a <3,$ то на этих интервалах функция $g(a)$ убывает. Так как $g′(a)> 0$ при $1 <a <2$ и при $a > 3,$ то на этих интервалах функция $g(a)$ возрастает.

Следовательно, функция $g(a)$ принимает наименьшее значение в одной из двух точек $a1 = 1$ или $a3 = 3:$

4 3 2 g(a1)= g(1) =1 − 8⋅1 +22⋅1 − 24⋅1+11= 2

g(a )= g(3)= 34− 8 ⋅33+ 22⋅32− 24⋅3+ 11= 3

= 81− 8⋅27 +22⋅9− 24⋅3+11= 81− 216+ 198− 72+ 11= 2

Поскольку значения $g(1)=g(3)=2$ равны, тогда $mina≥0g(a)= 2,$ и поэтому минимальное значение функции $f(x)$ равно

minf(x)=minf(x)= 9⋅min g(a)+1 =9 ⋅2 +1= 19 x x≥0 a≥0

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#76584Максимум баллов за задание: 7

На доске написана функция $sinx +cosx.$ Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c.$ Чему может равняться $c?$

Источники: Турнир городов - 2022, 11.4 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте попробуем взять несколько производных, перемножить что-нибудь — в общем, сделать несколько итераций. Видно, что все, что окажется на доске - многочлены от sin(x) и cos(x). Это можно и нужно доказать, но давайте сначала идейно. Если мы уже пощупали как себя ведут выражения, то может нам теперь попытаться что-то явно получить? Какую-то константу, к примеру.

Подсказка 2

Заметим, что эту константу только синусом или только косинусом не получить. Давайте возьмем f(x) = cos(x) + sin(x) и посмотрим на производные. Заметим, что f(x) * f(x) + f’(x) * f’(x) = 2. То есть все целые, четные значения, больше 0, мы можем получить. А что с целыми, четными и меньшими 0?

Подсказка 3

Верно, их тоже можно получить, к примеру, как сумму f(x) * f’’(x) + f’(x) * f’’’(x) = -2. Но ведь это всего лишь целые, и то не все. Попробовав так по складывать, да по умножать, можно понять эмпирически, что нечетные целые не получить, а уж что делать с не целыми и ума не приложить. В таких моментах не стоит ничего говорить, а только попытаться доказать, что это невозможно. Как? А мы использовали где-то наши рассуждения про многочлен? Может быть самое время?

Подсказка 4

Мы же можем посмотреть на значение в нуле. Ведь, тогда и sin(x), и cos(x) - целые числа. Значит, и многочлен от них - целое число в этой точке, а значит, если он тождественно константа, то эта константа - целая. Тогда, остается доказать про нечетные целые числа, что их нельзя получить. Давайте сделаем такой трюк. Если у нас все выражается через sin и cos, то это значит, что все выражается через sin(x) + cos(x) и sin(x) - cos(x). Но эти числа равны sqrt(2) * cos(x - pi/4) и sqrt(2) * sin(x - pi/4). Появилась иррациональность. А у нас только целые числа могут быть. Что из этого можно выгадать?

Подсказка 5

А в общем-то, все, что нам и нужно. Ведь если подставить pi/4, то получим, что при нечетных степенях, у cos будет либо иррациональный коэффициент, либо нулевой. А это значит, что сумма коэффициентов перед нечетными степенями равна 0), но ровно это и означает, что значение четно. Победа.

Показать ответ и решение

Любая функция, полученная описанным способом, — многочлен от $sinx$ и $cosx$ с целыми коэффициентами. Доказательство индукцией по числу шагов: исходная функция имеет такой вид; производная многочлена с целыми коэффициентами — многочлен с целыми коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При $x= 0$ синус и косинус принимают целые значения, поэтому значение многочлена от них с целыми коэффициентами — целое, то есть $c$ целое.

Положим

f(x)= sinx+ cosx

Запишем на доску

′ f (x)= cosx− sinx

′′ f (x)= − sinx − cosx

f′′′(x)= − cosx+ sinx

Тогда

f2(x)+f′2(x)= (sin x+cosx)2 +(cosx − sinx)2 = 2

Аналогично

f(x)f′′(x)+ f′(x)f′′′(x)= −2

Суммируя такие функции, получаем все чётные константы.

Покажем, что нечётную константу получить нельзя. Заметим, что

(π ) π ( π) √- ( π) sinx+ cosx =sin x+ sin 2 − x = 2sin 4 cos x− 4 = 2 cos x− 4

Поэтому все функции, которые можно получить, — это многочлены от $√- ( ) 2cosx− π4$ и $√- ( ) 2 sin x− π4$ с целыми коэффициентами и нулевым свободным членом. При $x= π4$ остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно, что и требовалось доказать.

Ответ:

Любому чётному числу.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#90836Максимум баллов за задание: 7

Какие из следующих функций:

а) $y = sin|x|;$

б) $y = cos|x|;$

в) $y =$ $|sinx|+ |cosx|$ ,

заданные при $x ∈(−∞;+ ∞)$ , являются периодическими?

Найти наименьший положительный периодических функций.

Показать ответ и решение

(a): Поскольку при $x≥ 0$ получается просто синус с периодом $2π$ , то период самой функции будет ему кратен (мы рассматриваем бесконечный луч), тогда период равен $T = 2πk$ , $k∈ ℕ$ . Заметим, что в силу совпадения функции на “каждом периоде”, максимумы также должны повторяться с частотой $T$ , однако при $x ≥0$ это $π 4 + 2πn, n∈ ℕ∪ {0}$ , тогда как при $x< 0$ получится $π − 4 − 2πn, n∈ ℕ∪{0}$ . Видно, что, например, для $π x = 4$ , если отступить на $T$ назад, не получится максимум на отрицательных значениях $x$ , откуда получаем противоречие.
(b): Как известно, $cosx= cos(−x)= cos|x|$ , откуда функция совпадает с косинусом и период будет $2π$ .
(c): В силу того, что $|sinx|= |cos(x +π∕2)|$ , $|cosx|= |sin(x +π∕2)|$ период подходит, покажем, что меньшего нет. Найдём максимумы функции, для этого возведём её в квадрат, поскольку она везде положительна, то сделать так можно: $(|sinx|+ |cosx|)2 = 1+ |2cosxsinx|≤ 2$ , которая достигается при $sin(2x) =±1 =⇒ =⇒ x = π4 + π2n$ , но тогда любые два максимума находятся хотя бы на расстоянии $π∕2$ , то есть период не может быть меньше.

Ответ:

не является, $2π$ , $π∕2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#91337Максимум баллов за задание: 7

При каких $x$ функция

2 f(x)= x (45sin3x− 9cos3x)+ x(30cos3x+ 6sin3x)+(80sin3x− 16 cos3x)

имеет минимумы?

Показать ответ и решение

′ 2 f (x)= 2x(45sin 3x − 9cos3x)+3x (45cos3x +9sin3x)+ (30 cos3x+ 6sin3x)+

+3x(−30sin3x+ 6cos3x)+ 3(80cos3x +16cos3x)=

3x2(45cos3x+9sin3x)+ (270cos3x+ 54sin3x)=

= (45cos3x+ 9sin3x)(3x2+6)

Значит, знак производной $f′(x)$ совпадает со знаком выражения

5cos3x +sin3x =√26-sin(3x+ ϕ),

где $ϕ = arcsin√526 = arccos√126 = arctg5.$ В данном случае точками минимумами являются значения аргумента, когда синус меняет знак с отрицательного на положительный, это

3x +ϕ =2πk,k∈ ℤ

− ϕ+2πk x= ---3---,k∈ ℤ

Ответ:

$−-arctg5+2πk,k ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#96406Максимум баллов за задание: 7

При каких $x$ функция

2 f(x)= x(6sin2x− 8cos2x)+ x(6cos2x+ 8sin2x)+(3sin2x− 4cos2x)

имеет максимумы?

Показать ответ и решение

f′(x)=12x⋅sin2x+ 12x2 ⋅cos2x− 16x⋅cos2x+16x2⋅sin2x+ 6cos2x+ 8sin2x +x(−12sin2x+ 16cos2x)+6 cos2x+ 8sin2x=

= 4x2(3cos2x+4sin2x)+ 12cos2x+ 16sin2x= 12cos2x(x2+1)+ 16sin2x(x2+ 1)= (x2+ 1)(12cos2x+ 16sin2x)

Заметим, что первая скобка больше $0,$ следовательно, производная равна нулю только если

12cos2x+ 16sin2x= 0

Поделим на $4cos2x$ это уравнение, где $cos2x⁄= 0.$

3 +4tg2x= 0

tg2x= − 3 4

( ) arctg-−-34 πk x= 2 + 2 , k∈ ℤ

Расставим знаки производной на промежутках на единичной окружности:

$PIC$

В нулях производной, где она меняет знак с плюса на минус, достигается максимум, то есть при

( ) x= arctg-− 34-+ π +πk, k ∈ℤ 2 2

Ответ:

$π-− arctg(34) 2 +πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#40271Максимум баллов за задание: 7

Кубический многочлен имеет три корня. Наибольшее его значение на отрезке $[4;9]$ достигается при $x =5$ , а наименьшее при $x =7$ . Найдите сумму корней многочлена.

Источники: ИТМО - 2021, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте в первую очередь обозначим наш многочлен в стандартном виде. И раз нам намекают про производную в условии, то найдём и её. Исходя из заданного условия, что мы можем сказать про нули производной?

Подсказка 2

Верно, числа 5 и 7 являются просто корнями квадратного трёхчлена, то есть нулями производной. Запишем это в виде разложения на множители. Давайте теперь вспомним, какая есть теорема, где мы знаем сумму корней многочлена через его коэффициенты?

Подсказка 3

Точно, это теорема Виета! Мы можем выразить через изначальные коэффициенты кубического многочлена сумму корней производной, а оттуда найти и нужную сумму корней.

Показать ответ и решение

Пусть многочлен имеет вид $P (x)= ax3+ bx2+ cx+ d$ , откуда его производная $P′(x)= 3ax2 +2bx+ c$ .

Так как наименьшее и наибольшее значения достигаются во внутренних точках отрезка, то по необходимому условию экстремума производная в этих точках равна нулю, так что $′ f(x)$ имеет корни $5$ и $7$ , так что можно записать $′ P (x)= 3a(x − 5)(x − 7).$

По теореме Виета сумма корней многочлена $P(x)$ равна $b − a$ , а сумма корней многочлена $′ P (x)$ равна $2b- − 3a = 5+7 =12$ , откуда находим $b − a =18$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#77057Максимум баллов за задание: 7

Пусть $P(x)$ — ненулевой многочлен с неотрицательными коэффициентами такой, что функция $y = P(x)$ — нечетная. Может ли оказаться, что для различных точек $A1,A2,...,An$ на графике $G :y = P(x)$ выполняются условия: касательная к графику $G$ в точке $A1$ проходит через точку $A2,$ касательная в точке $A2$ проходит через точку $A3,...,$ касательная в точке $An$ — через точку $A1?$

Источники: Всеросс., 2021, ЗЭ, 11.2(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение. Покажем, что при данных условиях на многочлен каждая следующая точка касания лежит по другую сторону от оси $Oy,$ чем предыдущая.

Пусть $2m+1 2m−1 P(x)= a2m+1x +a2m−1x + ...+ a1x$ — данный многочлен, $Q(x)$ — его производная. Пусть $A (z;P(z))$ — это $k$ -я точка касания, а $B (t;P(t))− (k+ 1)$ -я. Тогда касательная в точке $A$ имеет уравнение $y =Q(z)(x− z)+ P(z).$ Значит, $P (t)= Q(z)(t− z)+P (z),$ откуда $P (t)− P(z)= (t− z)Q(z).$ Разделив это равенство на $t− z$ и перенеся все слагаемые в правую часть, получим при четной степени $n− 1= 2m$ выражение:

( ) a2m+1 (2m+ 1)z2m − t2m− t2m−1z− ...− z2m

Пусть $z$ и $t$ одного знака (считаем, что $0$ с любым числом одного знака). Если $|z|>|t|,$ то выражение в скобках положительно, если же $|z|< |t|,$ то оно отрицательно. Такие же знаки будут иметь выражения при остальных степенях: $2m − 2,2m − 4,...,0.$ Значит, если $z$ и $t$ одного знака, то равенство $(t− z)Q(z)− (P(t)− P(z))= 0$ невозможно. Итак, любые две последовательные точки касания должны находиться по разные стороны от оси $Oy.$ И в силу нечетности $n$ касательная в точке $An$ не может пройти через точку $A1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Заметим, что функция $axk$ при $a ≥0$ и нечетном $k$ выпукла на $[0,∞ )$ и вогнута на $(− ∞,0].$ Многочлен $P(x)$ представляется в виде суммы нескольких функций такого вида, потому что $P(x)$ является нечетной функцией, а его коэффициенты неотрицательные. Тогда функция $P(x)$ также выпукла на $[0,∞ )$ и вогнута на $(−∞,0].$ Это означает, что касательная в точке графика $P$ с положительной абсциссой вторично не пересекает график в точках с неотрицательной абсциссой, и наоборот. Кроме того, касательная к графику в нуле не имеет с ним больше общих точек. Это означает, что абсциссы точек $A1,...,An$ отличны от нуля, а их знаки чередуются. Тогда у точек $An$ и $A1$ абсциссы одного знака, поэтому касательная в точке $An$ не проходит через точку $A1.$

Ответ:

Не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#92423Максимум баллов за задание: 7

Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?

Источники: Тургор - 2021, 11.1, устный тур (см. turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сумму и разность f(x) и g(x). Как сами f(x) и g(x) выражаются через них? Помните, что сумма и разность – строго монотонные функции.

Подсказка 2

Положим F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x) – g(x). Заметим, что f(x) = (F(x) + G(x))/2, g(x) = (F(x) – G(x))/2. Теперь попробуем искать противоречие. Нам говорят, что и сумма, и разность – монотонны. Предположим, что они ведут себя одинаково (либо обе возрастают, либо обе убывают). Что тогда?

Подсказка 3

Если F(x) и G(x) ведут себя одинаково, то f(x) будет либо монотонно возрастать, либо монотонно убывать! Такс, а если одна из функций (F(x) или G(x)) возрастающая, а вторая убывающая?

Подсказка 4

В таком случае посмотрим на g(x) и заменим F(x) на –F(x) или G(x) на –G(x)! Мы получим ситуацию, аналогичную с f(x).

Показать ответ и решение

Положим

F(x) =f(x)+g(x), G(x) =f(x)− g(x)

Тогда

F-(x)+-G(x) F(x)− G-(x) f(x)= 2 , g(x)= 2

Пусть $F$ и $G$ строго возрастают (соответственно, строго убывают). Тогда $f$ как их полусумма строго возрастает (соответственно, строго убывает), что противоречит условию.

Если же какая-то из функций $F$ и $G$ строго возрастает, а другая строго убывает, то обе функции $F$ и $− G$ строго возрастают или строго убывают. Следовательно, их полусумма $g$ строго монотонна — снова противоречие с условием.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#96830Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество значений функции $y = log x. 2x−1$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.7 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем переписать логарифмическую функцию в виде степени. Держать 2х-1 в основании степени нам неудобно, так что давайте введём перемeнную z, и будем решать уравнение относительно y и z!

Подсказка 2

Не забывайте про изначальные ОДЗ! Сразу появляются ограничения на z, а что насчёт возможных значений у?

Подсказка 3

Верно, возможны только у из интервала от 0 до 1! Исследуем функции z^y и 1/2(z+1) и их пересечения на этом интервале.

Подсказка 4

Так как левая часть уравнения — выпуклая вверх функция, то правая часть — либо её касательная, либо находится ниже касательной и пересекает показательную функцию, либо не пересекает вовсе. Проверим, какие значения соответствуют z не из области допустимых значений,и аккуратно с помощью монотонной непрерывности докажем, что в остальных точках решения есть.

Показать ответ и решение

ОДЗ функции: $x> 1,x⁄= 1. 2$ Пропотенцируем уравнение $y = log x 2x− 1$ по основанию логарифма: $(2x − 1)y = x$ и, переобозначив $z =2x− 1$ , получим

y 1 z = 2(z+ 1) при z > 0,z ⁄=1.

Выясним, при каких $y$ данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее $z > 0,z ⁄=1.$ Сразу исключим два очевидных случая $y ≤0$ и $y ≥ 1.$

Остается рассмотреть вариант $0< y < 1.$ Заметим, что левая часть уравнения $zy$ для указанных степеней $y$ является выпуклой вверх функцией, т.к.

(zy)′′ = y(y− 1)zy−2 < 0.

Это значит, что её график лежит строго ниже любой касательной к нему (кроме точки касания) и для случая, когда правая часть уравнения $1 2(z+ 1)$ является касательной к графику при $1 y = 2$ , уравнение $y 1 z = 2(z+1)$ корней среди $z > 0,z ⁄=1$ не имеет.

Во всех оставшихся случаях $zy$ будет пересекаться с прямой $12(z +1)$ при $z >0,z ⁄=$ $1.$

Действительно, в случае $0 <y < 12$ касательная, проведённая к $zy$ в точке $z =1,$ оказывается в некоторой левой окрестности точки касания выше прямой $12(z+ 1),$ а следовательно, и сам график $zy$ находится выше прямой $12(z+ 1)$ в некоторой (возможно меньшей) левой окрестности точки $z = 1.$ Однако в точке $z = 0$ функция $zy$ обнуляется и её график становится уже ниже прямой $12(z+ 1).$ В силу непрерывности обеих функций строго внутри интервала $(0,1)$ найдётся точка пересечения их графиков.

В случае $12 < y < 1$ будет наблюдаться аналогичная ситуация: в некоторой правой окрестности точки касания $z = 1$ график $zy$ находится выше прямой $12(z+1).$ Однако,

y xl→im+∞ 1-z---= xl→im+∞2zy− 1 =0, 2(z+ 1)

следовательно, рано или поздно график функции $zy$ станет ниже прямой $1(z+1), 2$ и в силу непрерывности обеих функций на луче $(1,+ ∞ )$ найдётся точка пересечения их графиков.

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#77995Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

3f(1)+-6f(0)−-f(−-1) f(0)− f(−2) ,

если $f(x)= ax2+ bx+ c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b> 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте не побоимся и подставим вместо f(1), f(0) и т.д. их настоящие значения через a, b, c и вспомним, когда квадратных трёхчлен принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

Верно, при a > 0, D <= 0, это даёт нам оценку на c и a, как бы нам это использовать?

Подсказка 3

Можно заметить, что там, где есть множитель b, модуль степени a на 1 меньше, может быть получится сделать какую-нить замену?

Подсказка 4

Да, можно вынести a (a > 0) и сделать замену t = a/b, а у выражения относительно t мы легко можем найти точки минимума. Остаётся только ...

Подсказка 5

Проверить, что этот минимум достигается

Показать ответ и решение

Имеем

(| f(1)= a+ b+ c, |||{ f(0)= c, | |||( f(−1)=a − b+ c, f(−2)=4a− 2b+ c

Тогда исходное уравнение принимает вид

3f(1)+6f(0)−-f(−1) 3(a-+b+-c)+6c−-a+b-− c 2a+-4b+-8c a+-2b+-4c f(0)− f(− 2) = c− 4a+ 2b− c = 2b− 4a = b − 2a

Поскольку $f(x)=ax2+ bx+c$ — произвольная квадратичная функция, принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x,$ то

b2 a >0,D =b2− 4ac≤0 ⇒ c≥ 4a

Тогда

2 a+-2b+-4c a+2b+-ba2- a(1+-2ab+-ba2) t2+-2t+1- (t+-1)2- b− 2a ≥ b− 2a = a(ba − 2) = t− 2 = t− 2 ,

где $t= ba,t> 2.$

Рассмотрим функцию $g(t)= (tt+−1)22-$ и найдем ее наименьшее значение при $t>2.$

′ 2(t+ 1)(t− 2)− (t+1)2 (t+1)(2(t− 2)− (t+ 1)) (t+ 1)(t− 5) g(t) = ------(t− 2)2-----= ------(t−-2)2------ = --(t−-2)2--,

при $t= 5$ производная $g′(t)$ равна $0$ и, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $tmin = 5,gmin = g(5)= 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#102470Максимум баллов за задание: 7

Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что

p(0)= q(0)> 0

′ ∘-′-- √- p (x) q (x)= 2 для любого x∈ [0;1]

Докажите, что если $x∈ [0;1]$ , то

p(x)+ 2q(x)> 3x.

Источники: ОММО - 2020, номер 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте переведем задачу на "язык функций" и попробуем доказать, что h(x) = p(x) + 2q(x) - 3x не убывает на [0;1]. Какие инстурменты у нас для этого есть?

Подсказка 2

В случае возрастания производная должна быть неотрицательной! Как её можно посчитать?

Подсказка 3

При помощи условия можно прийти к выражению, зависящего от производной p(x). Осталось лишь понять, почему же выражение неотрицательно!

Показать доказательство

Заметим, что $p(0)+2q(0)>0$ , поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция $p(x)+ 2q(x)− 3x$ возрастает на промежутке $[0;1]$ . Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ, подстановка:

4 p′(x)+ 2q′(x)− 3= p′(x)+ (p′(x))2-− 3 =

= (p′(x)+-1)(p′(x)−-2)2≥ 0, (p′(x))2

поскольку $′ p(x)$ , как следует из условия, неотрицательна.

Второй способ, неравенство о средних:

1 1 p′(x)+2q′(x)= 2p′(x)+ 2p′(x)+2q′(x)≥

3∘ 1-----1---------- ≥3 2p′(x)⋅2p′(x)⋅2q′(x)= 3,

где неравенство следует из неравенствао средних для трёх чисел, а последнее равенство — из условия.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#108045Максимум баллов за задание: 7

Найти максимальную длину горизонтального отрезка с концами на графике функции $y =x3− x.$

Источники: Всесиб-2020, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение можно составить, чтобы проверить, что существует горизонтальный отрезок длины a > 0?

Подсказка 2

Чтобы существовал отрезок длины a > 0 на нашем графике, необходимо проверить, что существуют решения у уравнения (x+a)³ - (x+a) = x³ - x

Подсказка 3

Давайте раскроем скобки в нашем уравнении! Уравнение какого типа получится?

Подсказка 4

Получится квадратное уравнение относительно x! А когда квадратное уравнение относительно x имеет решение?

Подсказка 5

Посчитаем его дискриминант, который должен быть большое нуля, и выпишем неравенство на a.

Подсказка 6

a не больше двух! Осталось показать, какие у отрезка концы ;)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Горизонтальный отрезок длины $a> 0$ с концами на графике функции $3 y =x − x$ существует тогда и только тогда, когда уравнение $3 3 (x+ a)− (x+ a)= x − x$ имеет при данном значении параметра $a$ хотя бы одно решение.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на $a> 0$ , получим квадратное уравнение $2 2 3x + 3ax +a − 1= 0$ , которое разрешимо при $2 D = 12− 3a ≥0$ , откуда $0< a≤ 2$ .

Следовательно, длина искомого отрезка не превосходит 2.

При $a= 2$ решением уравнения является $x= −1$ , откуда следует, что длина 2 достигается для отрезка с концами $(− 1,0)$ и $(1,0)$ на графике функции $3 y = x − x$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Как в решении 1, получаем уравнение $3x2+ 3ax+ a2 − 1 =0$ , которое рассмотрим как квадратное относительно $a$ с параметром $x$ :

a2+ 3xa+3x2− 1= 0

−3x± √4−-3x2 a1,2 =-----2------,

ввиду положительности $a$ рассматриваем только тот, что с плюсом:

√------ a= -4−-3x2− 3x 2

Данная функция от $x$ определена при $|x|≤ 2√- 3$ и положительна при $− √2 ≤x ≤ 1√- 3 3$ . Её производная

′ 3x+ 3√4−-3x2 a (x)= −--2√4-− 3x2-

обращается в ноль при $x= −1$ , слева больше ноля, а справа — меньше. Следовательно, её значение максимально при $x= −1$ и равно $amax = 2$ . Действительно, в данном случае отрезок длины 2 соединяет на оси $Ox$ два корня $x1 =− 1$ и $x2 =1$ уравнения $x3− x= 0$ .

Ответ:

Следующая подтема