Функции → .02 Суперпозиция f(f(x))

Функция определена при Функция

определена при Далее

Тогда получаем при уравнение

С учётом ОДЗ только одно значение подходит в ответ.

Возьмем какое-нибудь число Тогда возможны два варианта:

1. Если то и

2. Предположим Тогда Иначе
(а) Если
(b) Если
И так как то

Таким образом, для любого либо либо есть три различных числа таких, что

При этом любая функция с таким свойством подходит. Тогда найдем число функций с необходимым свойством.

1. Нет ни одной тройки элементов, что Значит, для всех чисел верно Такая функция одна.

2. Есть одна тройка элементов, что Выбрать тройку можно способами. При этом есть два способа задать функцию в тройке. Итого функций.

3. Есть две тройки элементов, что Выбрать первую тройку можно способами, остальные три элемента образуют вторую тройку. Но варианты, в которых выбрали в первую тройку и выбрали все кроме одинаковые. То есть способов разбить элементы на две тройки. При этом в каждой тройке есть два способа задать функцию. Итого функций.

Всего число функций равно

Преобразуем выражение аргумента

Выполним замену Тогда , следовательно, для любого верно, что

Тем самым, мы показали, что функция имеет вид , где — некоторая постоянная, которая не зависит от , тогда

следовательно, для некоторой новой постоянной . Аналогично,

Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

Пусть , тогда левая часть уравнения равна . Функция возрастает на (так как ) >0 при ) и является чётной, причём . Следовательно, корнями уравнения на отрезке являются числа . Возвращаясь к переменной , находим

Так как

то на указанный отрезок попадают корни и . Их сумма равна .

Пусть . Подставим в соотношение . Получим . Поскольку функция является строго возрастающей, понимаем, что

То есть , откуда . При этом , иначе мы бы получили . Тогда . Далее несложно понять, что , откуда .

Посмотрим, как будет меняться функция

Видим периодичность, период Остаток от деления 1303 на 3 равен 1, поэтому

Пусть Тогда по условию

После обратной замены

Построим график Поскольку и , получаем

поэтому график имеет вид, представленный на рис, а уравнение имеет 8 решений.

Далее, , поэтому, чтобы получить график функции , предыдущий график нужно сдвинуть на единицу вниз и отразить относительно оси При этом крайние левый и правый лучи графика сдвинутся на единицу влево и вправо соответственно, а между ними появится ещё один треугольный участок длины 2 и высоты 1. Следовательно, уравнение имеет на 2 решения больше, чем предыдущее, т. е. 10 решений.

Аналогично каждая следующая подстановка функции меняет график таким же образом: раздвигает крайние лучи влево и вправо на единицу каждый и добавляет между ними ещё один треугольный участок длины 2 и высоты 1, а значит, увеличивает количество решений предыдущего уравнения на два. Таким образом, если применить 2016 раз функцию к левой части уравнения (т. е. всего 2018 раз), то количество корней полученного уравнения будет равно

Поскольку , то

Отсюда . Тогда .

Обозначим где буква написана раз, за .

Докажем, что корнями уравнения , являются числа Доказывать будем индукцией по числу

Если то корнями является только число , что и требовалось.

Пусть мы уже доказали, что корнями являются числа Заметим, что то есть, для того, чтобы было корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы было корнем уравнения

Значит, должно равняться одному из чисел т.е. расстояние от до 1 должно равняться А это и есть числа т.е. числа Переход доказан.

Ясно, что имеет вид поэтому

Получаем, что (строгое неравенство следует из того, что при уравнение имеет не три, а всего один корень), откуда

Поскольку у этих двух квадратных уравнений должно быть три корня, у одного из уравнений должен быть один корень, а у другого два. У уравнения не может быть всего один корень, так как поскольку Значит, один корень имеет уравнение то есть что даёт два варианта: или Поскольку , остаётся только

Теперь, решив уравнения при легко найдём все три корня уравнения это

Функция принимает значения . Рассмотрим функцию , определенную на полуинтервале . Графиком этой функции является гипербола с асимптотами и . Функция на промежутке неограниченно возрастает. Таким образом, минимальное значение равно , оно достигается в точке , и функция на промежутке принимает все значения из промежутка . Функция на промежутке возрастает и принимает все значения из промежутка

Функция будет принимать те же значения, что и функция , если . Поскольку при принимает все значения из отрезка , то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем, что множеством значения функции является промежуток . И так далее, следовательно, множеством значений функции является промежуток

Первое решение. Предположим, что многочлен не является монотонным. Тогда найдутся такие что а значит, и то есть не монотонен.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Так как многочлен монотонен, то он обязан иметь нечётную степень, а тогда он принимает все вещественные значения.

Пусть тогда найдутся такие числа и что Так как старший коэффициент многочлена всегда положителен, то этот многочлен возрастает, поэтому

Если старший коэффициент многочлена положителен, то многочлен возрастает; отсюда получаем, что то есть для любых Если же старший коэффициент отрицателен, то, аналогично, откуда для любых

Первое решение.

Из равенства мы получаем формулу . Кроме того, . Но тогда

Второе решение.

Докажем, что для любого целого верно откуда будет следовать

Шаг индукции: если то при подстановке в равенство получаем и при подстановке в равенство получаем Таким образом, переход доказан для всех чисел одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных отдельно.

Для чётных при получаем , а для нечётных при тоже формула верна.

Уравнение имеет корень Этот же корень имеет уравнение Других корней быть не может, поскольку функция убывает, а — возрастает.

Первое решение.

Посмотрим, что происходит при применении к некоторому числу. Заметим, что , т. е. каждое применение сокращает расстояние от числа до в три раза. Для оно было равно , а значит, после применений это расстояние станет равным . Соответственно, само число станет равным

Второе решение.

По формуле для суммы геометрической прогрессии, последнее выражение равно

Подставляя , получаем ответ.

Замечание. Формально мы доказываем по индукции, что . База для очевидна, а переход

тривиален. Остаётся подставить и упростить формулу суммы геометрической прогрессии

Пусть — решение уравнения а Тогда и а потому точка с координатами лежит на каждом из графиков и Наоборот, если точка лежит на пересечении этих графиков, то и откуда Тем самым показано, что число решений уравнения совпадает с числом точек пересечения графиков и а их

Для возрастающей функции выполнено: если , то и если , то . Рассмотрим этим равенства:

Чтобы доказать равносильность этих равенств, достаточно доказать

1) если – корень (1), то – корень (2);

2) если — не корень (1), то он также не является корнем (2).

Из (1) равенства вытекает, что . Но так как по (1) верно , то получаем , чтд.

Пусть — не корень уравнения (1), то есть . Рассмотрим два случая.

• . Тогда в в силу возрастания функции получаем, что , то есть , следовательно, — не корень и равенства (2).
• . Тогда в в силу возрастания функции получаем, что , то есть , следовательно, — не корень и равенства (2).