Тема АЛГЕБРА

Функции → .01 Исследование функций и производные

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Исследование функций и производные

Суперпозиция f(f(x))

Функциональные уравнения

Функциональные неравенства

Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#108446Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости построен график $y = 2020 x$ . Сколько на графике точек, касательная в которых пересекает обе координатные оси в точках с целыми координатами?

Источники: БИБН-2020, 11.5 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспольемся уравнением касательной к графику функции. Если касательная пересекает ось Ox в точке (a, 0), а ось Oy в (0, b), то а и b должны быть целыми. Хм.. Как связаны a, b и х0?

Подсказка 2

Подумайте, при каких x₀ числа a и b станут целыми. И раз речь идет о целых, может это связано с делителями 2020?

Показать ответ и решение

Уравнение касательной в точке ( $x ,y 0 0$ ) к гиперболе $y = k∕x$ имеет вид

( 2) y− y0 = − k∕x0 (x − x0),

где $y = k∕x 0 0$ . Из этого уравнения получаются координаты $x 1$ и $y 1$ точек пересечения с осями О $x$ и О $y$ , а именно, $x =2x 1 0$ и $y = 2y 1 0$ . Значит, $2x 0$ — целое число. Пусть $n = 2x 0$ . Тогда

y1 = 2y0 =2k∕x0 = 4k∕n.

Таким образом, $n$ может принимать значение любого делителя числа $4k$ . При $k = 2020$ нам требуется найти количество целых делителей числа

4 4⋅2020= 8080= 2 ⋅5⋅101.

Количество натуральных делителей этого числа равно $20= (4+1)(1 +1)(1+ 1)$ (здесь мы подсчитали количество натуральных делителей, используя степени простых чисел в разложении числа 8080 на простые множители). С учетом отрицательных делителей (соответствующих точкам касания в третьей четверти) получим удвоенное количество, т.е. всего 40 точек.

Ответ: 40

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#124046Максимум баллов за задание: 7

Рассмотрим уравнение $yx = xy$ на множестве положительных действительных чисел. Вам требуется явно указать для каждого вещественного значения $x> 0$ число таких различных вещественных чисел $y > 0$ что $x y y =x .$ (Пример явного описания: для $x = 1$ существует единственное число $y >0$ такое, что $x y y = x)$

Источники: Иннополис - 2020, 11.1 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Случай x = 1 уже описан в формулировке задачи. Будем далее полагать, что x ≠ 1 и y ≠ 1. Какие методы решения подобных уравнений Вам знакомы?

Подсказка 2

У нас показательное уравнение. Попробуйте взять логарифм от обеих частей.

Подсказка 3

Мы получим x ⋅ ln(y) = y ⋅ ln(x). И слева, и справа x и y. Давайте перегруппируем множители.

Подсказка 4

Разделим обе части на xy, получим ln(x)/x = ln(y)/y. Видите ли Вы здесь какую-нибудь функцию?

Подсказка 5

Вообще говоря, из нашего уравнения следует, что x/ln(x) = y/ln(y). Рассмотрите функцию f(z) = z/ln(z). Попробуйте построить её график.

Подсказка 6

Чтобы определить области возрастания и убывания f(z), возьмем её производную. Получится (ln(z) - 1) / ln²(z).

Подсказка 7

На интервале (0; 1) функция f убывает от 0 до -∞, на интервале (1; e) f тоже убывает, достигая локального минимума f(e) = e. Потом на интервале (e; +∞) возрастает от e до +∞. Теперь возьмите x > 0 и попробуйте подвести итоги.

Подсказка 8

Например, если 0 < x < 1, то (x / ln(x)) < 0 и функция непрерывно убывает, следовательно (чтобы в этом убедиться, можно нарисовать график), будет единственное подходящее нам вещественное y. Аналогично с остальными промежутками.

Показать ответ и решение

Случай $x =1$ уже описан в формулировке задачи, поэтому в дальнейшем мы можем предполагать, что $x ⁄= 1$ и $y ⁄=1.$

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей исходного уравнения и получим следующее уравнение

xln y = ylnx

Так как $x⁄= 1$ и $y ⁄= 1,$ то это уравнение равносильно новому уравнению

lnx- lny- x = y

Проанализируем функцию $z f(z)= lnz$ и построим ее график. Так как

1 1 lnz− 1 f′(z) =lnz −(ln-z)2 =-(lnz)2 ,

то на интервале $(0,1)$ функция $f$ убывает от $0$ до $− ∞,$ на интервале $(1,e)$ функция $f$ тоже убывает, достигая локального минимума $f(z)= e$ при $z = e,$ а потом на интервале $(e,+∞)$ возрастает от $e$ до $+ ∞.$

Подведём итоги. Пусть $x >0$ — произвольное положительное действительное число. Имеем:

если $0< x< 1,$ то $-x- <0 lnx$ и, следовательно, (см. график) существует только единственное подходящее нам вещественное число $y;$
если $x= 1,$ то, как это уже было сказано, существует только единственное подходящее вещественное число $y;$
если $1 <x <e$ или если $x >e,$ то $-x-> e ln x$ и, следовательно, (см. график) существуют два подходящих вещественных числа $y;$
если $x= e,$ то $x lnx =e$ и, следовательно, (см. график) существует единственное подходящее вещественное число $y;$

$PIC$

Ответ:

При $x∈ (0;1]∪e$ — одно решение; при $x∈ (1;e)∪(e;+ ∞)$ — два решения

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#124049Максимум баллов за задание: 7

Нынешний год — високосный, то есть $29$ февраля $2020$ г. $(29.02.20)$ — реальная календарная дата. Сколько (вещественных) корней (и какой кратности) имеет уравнение $3 2 x +29x +$ $2x +20= 0?$

Источники: Иннополис - 2020, 11.4 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим функцию f(x) = x³ + 29x² + 2x + 20. Давайте начнем с того, имеет ли она хотя бы 1 корень.

Подсказка 2

Это кубическая функция с положительным коэффициентом при старшей степени. Если взять какой-то достаточно малый x, значение будет отрицательным, аналогично можно получить и положительное значение. Следовательно, функция хотя бы 1 раз пересекает ось OX и имеет 1 корень. Как, исходя из этого, можно доказать наличие других корней?

Подсказка 3

Если она в каком-то месте перегнется, то, возможно, вновь пересечет ось OX и будет новый корень. Посмотрите на производную этой функции.

Подсказка 4

f'(x) = 3x² + 58x + 2. x₁¸₂ = ( -29 ± √835 ) / 3. Это точки перегиба функции. Попробуйте посмотреть, какие значения f принимает в них. Заметьте, что для упрощения вычислений в f можно выделить производную (в точках x₁ и x₂ она равна нулю).

Подсказка 5

У вас получится x₂ < x₁, f(x₁) > 0, f(x₂) > 0. Разделите прямую на 3 части точками x₁ и x₂ и поймите, возрастает/убывает ли там функция, какие значения принимает (положительные/отрицательные).

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=x3+ 29x2+2x+ 20.$ Это кубическая функция с положительным коэффициентом при старшей степени, то есть при очень маленьких значениях аргумента(например, при $5 x =− 10$ ) функия будет отрицательной, а при очень больших значениях аргумента — положительной. Таким образом, функция имеет хотя бы один корень. Осталось проверить, есть ли ещё корни. Рассмотрим производную:

′ 2 f(x)=3x + 58x+2

Найдём её корни: дискриминант квадратного уравнения $3x2+ 58x +2= 0$ равен $D = 582 − 4⋅6= 4(292− 6)= 4⋅835,$ откуда $√ -- √--- D= 2 835.$ Тогда корни равны $−58+ 2√835 −29+ √835 x1 =----6-----= ----3----$ и $−29− √835 x2 =----3----.$

Теперь посчитаем значение $f(x)$ в точках $x1$ и $x2.$ В этих точках производная равна нулю, поэтому попробуем выделить её для упрощения вычислений:

( ) ( ) ( ) f(x) =x3+ 29x2 +2x+ 20= 1x+ 29 3x2+ 58x +2 + − 1670x+ 122 3 9 9 9

Получается,

( ) 1670 122 1670 −29+ √835 122 f(x1)=− -9-x1+ -9-= − ------27------+ -9-

Заметим, что $835< 841= 292,$ откуда $√--- − 29+ 835$ — отрицательное число, которое при умножении на отрицательное $1670 −-27-$ становится положительным. Таким образом, $f(x1)$ — это сумма двух положительных чисел, то есть $f(x1)>0.$ Теперь подставим $x2 :$

1670 122- f(x2)= − 9 x2+ 9

Так как $−29− √835 x2 =----3----,$ то $x2 < 0.$ Отсюда, аналогично рассуждениям про $f(x1),$ получаем $f(x2)> 0.$

Итак, $x2 < x1$ и $f(x1)> 0,f(x2)> 0.$ Получается, что $f(x)$ возрастает на промежутке $(−∞;x2].$ При этом функция отрицательна на очень маленьких значениях из этого промежутка и положительна в точке $x2,$ откуда функция равна нулю на какой-то точке этого промежутка. Далее, функция убывает на $[x2;x1],$ при этом она положительна в этих точках, а, значит, положительна и на всём этом промежутке. Наконец, $f(x)$ возрастает на $[x1;+∞ ),$ то есть для любого $x> x1$ выполняется, что $f(x0)> f(x1)> 0,$ откуда на этом промежутке функция так же положительна.

Таким образом, уравнение $x3+ 29x2+ 2x+ 20 =0$ имеет ровно один вещественный корень.

Ответ:

Не более одного вещественного корня

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#126015Максимум баллов за задание: 7

При каких целых $n$ функция $f(x)= sin(nx)⋅cos 6x n+1$ имеет период $T = 5π?$

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В начале вспомним, как записать требуемое условие через уравнение. Отлично, нужно решить его в целых n. Может, разобрать по случаям, на какие группы можно поделить все целые числа?

Подсказка 2

Одно из простых разбиений целых чисел — на чётные и нечётные. Случаи аналогичны, но различия будут в знаках. Нам надо бы упростить выражения, и мы знаем, что синусы — периодические функции.

Подсказка 3

У нас получились 2 уравнения (в зависимости от чётности), где произведения синусов (или синусов на косинусы) равняется нулю. Почему же решений не бесконечное количество? Вспомним, что у нас решения в целых числах для n и мы можем столкнуться с иррациональности из-за π!

Показать ответ и решение

Хотим доказать, что

(6(x+5π)) ( -6x-) sin(nx+ 5πn)cos n+ 1 =sin(nx)cos n+ 1

Иначе говоря,

f(x+ 5π)=f(x)

При $n =0$ равенство выполняется:

sin(0)cos(6x +30π)= sin(0)cos(6x)

Сначала рассмотрим четные $n.$ Будет верно, что

sin(nx +5πn)= sin(nx)

Тогда исходное уравнение примет вид

( ) ( ) sin(nx)cos 6(x+-5π) − sin(nx)cos -6x- = 0 n+ 1 n+ 1

sin(nx)(cos(-6x-) − cos(6x+-30π)) =0 n +1 n+ 1

( 6x +15π) ( 15π ) 2sin(nx)⋅sin -n+-1-- ⋅sin n-+1 = 0

Рассмотрим нули первого синуса:

sin(nx)= 0

nx =πk,k∈ ℤ

x =-k,k ∈ℤ π n

Рассмотрим нули второго синуса:

(6x+-15π-) sin n +1 = 0

6x+ 15π πm = -n-+1--,m ∈ ℤ

x = m(n+-1)−-15,m ∈ℤ π 6

Для них отношение $xπ$ — рационально. Отсюда следует, что существует такое значение $x,$ для которого рассматриваемые функции не обращаются в 0 (достаточно взять $x= πy,$ где $y$ — иррациональное число). Следовательно, условие задачи равносильно

( 15π ) sin n-+1 = 0

Тогда

πm = -15π,m ∈ℤ n +1

m = -15-,m∈ ℤ n+ 1

Так как $m$ — целое, $n+ 1$ должно быть нечетным делителем числа 15

n+ 1∈{1;−1;3;−3;5;− 5;15;−15}

n ∈{0;− 2;2;−4;4;−6;14;−16}

Рассмотрим нечетные $n.$ Будет верно, что

sin(nx+ 5πn)= − sin(nx)

(6(x+5π)) ( 6x ) − sin(nx)cos --n+-1- − sin(nx)cos n+1- = 0

( ( ) ( )) sin(nx) cos -6x- +cos 6x+-30π =0 n +1 n+ 1

( 6x-+15π) (-15π) 2sin(nx)⋅cos n+ 1 ⋅cos n +1 = 0

Аналогично случаю с четными $n,$ если $x π$ — иррационально, то значение $x$ не является нулем первых двух функций, входящих в произведение в левой части последнего равенства. Поэтому равенство равносильно

( 15π) cos n-+1 = 0

-15π- = π(2m-+1),m ∈ℤ n+ 1 2

-30- n +1 = 2m + 1,m ∈ ℤ

n+ 1∈ {2;−2;6;− 6;10;− 10;30;− 30}

n∈ {1;−3;5;− 7;9;−11;29;−31}

Осталось объединить полученные значения $n:$

n ∈{−31;−16;−11;−7;−6;− 4;−3;−2;0;1;2;4;5;9;14;29}

Ответ:

$n ∈{−31;−16;−11;−7;−6;− 4;−3;−2;0;1;2;4;5;9;14;29}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#126022Максимум баллов за задание: 7

В каком отношении $CE :CD$ точка $E$ делит сторону $CD$ основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD,$ боковое ребро которой наклонено к основанию под углом $∘ 30,$ если известно, что площадь треугольника $SBE$ минимально возможная?

Источники: Росатом - 2020, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем обозначения: сторона основания равна a, ∠SBO = β, OM ⊥ BE, ∠CBE = α (это будет переменная величина), ∠EBD = 45° - α, высота пирамиды SO = H, ∠SMO = γ. Попробуйте выразить рёбра.

Подсказка 2

Заметим, что BO = a/√2, OM = a ⋅ sin(45° - α)/√2, BE = a/cos(α). Посмотрим на треугольник SBE. Какие способы нахождения площади в пространстве Вы знаете?

Подсказка 3

Например, отношение площади и ее проекции можно связать с углом наклона.

Подсказка 4

Вычислим площадь треугольника SBE через площадь треугольника BOE, являющегося его проекцией, и cos(γ).

Подсказка 5

Площадь должна быть наименьшей. Возьмите производную и определите, каким условиям должна удовлетворять точка минимума.

Подсказка 6

cos не обращается в 0 на отрезке [0;π/4]. Какому условию тогда должна удовлетворять точка экстремума?

Подсказка 7

Единственный экстремум — это точка a', для которой tg(a') = a² / (4H² + a²). Точкой минимума или максимума будет являться a'?

Подсказка 8

Заметим, что f'(0) = -a² < 0 и f'(π/4) = 8H² > 0, следовательно, a' является точкой минимума. Теперь попробуйте выразить H через угол β.

Подсказка 9

H = arctg(β) / √2, подставьте это в условие для экстремума.

Подсказка 10

CE:CD = CE:BC, а это в точности tg(a').

Показать ответ и решение

$PIC$

Введем обозначения: сторона основания равна $a,$ $∠SBO = β,$ $OM ⊥BE,$ $∠CBE = α$ (переменная величина), $∠EBD = 45∘− α,$ высота пирамиды $SO = H,$ $∠SMO = γ.$

Тогда

BO = a√-- 2

asin(45∘-− α) OM = √2

a BE = cos(α)-

Найдем площадь проекции сечения $BSE :$

a2sin(45∘− α) SBOE = 2√2cos(α)

Вычислим угол наклона сечения $BSE :$

√- tg(γ)= H--= ---H--2∘---- OM αsin(45 − α)

1 +tg2(γ)= 1+ ----2H2----- a2sin2(45∘− α)

∘ --2--2--2---∘---- --1--= --2H--+-asi∘n(45-− α) cos(γ) asin(45 − α)

Тогда

S = SBOE-= -√--a---∘2H2-+-a2sin2(45∘−-α) SBE cos(γ) 2 2 cos(α)

Преобразуем полученное выражение:

∘ ---2--2---------- SSBE =-a√- 4H--+1a+-(c1os−( s2inα()2α)) 2 2

Наименьшее значение площади соответствует значению $α,$ $α∈ [0;π], 4$ при котором $f$ достигает минимума, где

f(α)= 4H2-+a2(1− sin(2α)) 1+ cos(2α)

Найдем экстремумы $f :$

(4H2 +a2(1− sin(2α))) ′ f′(α)= ----1+-cos(2α)--- =

= −2a2-cos(2α)(1-+cos(2α))+2(4H2-+-a2(1−-sin(2α)))sin(2α)= (1+ cos(2α))2

2 2 2 2 = −2a-+2(4H-+-a)sin(2α)2− 2a-cos(2α)= (1+ cos(2α))

= 4(4H2-+-a2)sin(α)cos(α)− 4a2cos(α)= 0 (1 +cos(2α))2

На отрезке $[ π] 0;4$ косинус не обращается в 0, поэтому единственным экстремумом будет точка $∗ α ,$ для которой

a2 tg(α∗) = 4H2-+-a2-

Так как

( ) f′(0)=− a2 < 0 и f′ π = 8H2 > 0, 4

$α∗$ является точкой минимума.

С учетом того, что

arctg(β) H = √2 ,

получаем

1 tg(α∗)= 2tg2(β)+1-

Тогда

CE :CD = CE :BC =tg(α∗) =----1---- =--1- = 3:5 2 tg2(β)+ 1 23 + 1

Ответ:

$3 :5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#65353Максимум баллов за задание: 7

Найдите все возможные значения величины

-----f(t)−-f(0)----- T = f (t2)+f(t)− 2f(0)+ 2,

если $f(2x+ y)− f(x+ y)= 2x$ для всех действительных значений $x$ и $y.$

Источники: ПВГ-2019, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вначале забудем про T и попробуем решить фуру. Тут есть очень удобная подстановка, которая позволяет избавиться от одной из переменных. Какая?

Подсказка 2

Можно подставить y=-x, и тогда сразу находим функцию f(x)=2x+C.

Подсказка 3

Теперь подставляем в T и получаем выражение, значения которого можно исследовать с помощью производной.

Показать ответ и решение

Если подставить в функциональное равенство $y =− x$ , мы получим, что $f(x)− f(0)= 2x$ . Следовательно, числитель $T$ равен $2t.$

Если подставить $2 2 x= t,y = −t$ , мы получим, что $2 2 f(t )− f(0)=2t$ . Следовательно, знаменатель $T$ равен $2 2t+ 2t+2.$

Таким образом, $--t-- T = t2+t+1.$

С помощью производной или неравенства о средних можно выяснить, что:

при $1 --1-- 1 t> 0 1+ t+ t ≥ 3 =⇒ 0< T = 1+t+1t ≤ 3;$

при $t= 0 T =0;$

при $1 1 t< 0 1+ t+ t ≤ −1 =⇒ − 1≤ T = 1+t+-1t < 0.$

Ответ:

$[−1;1] 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#68637Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество значений функции $y = f[2019](x)$ , где

cos2x+-2sin2x- [n] f(x)=log2 1− sin3x , f (x)=f◟(f(f◝(.◜..(f◞(x)...) nраз

для любого натурального числа $n$ .

Источники: ШВБ-2019, 11.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно взгляните на числитель! Расписав косинус двойного угла, становится понятно, что cos2x + 2sin²x = 1

Подсказка 2

sin3x принимает значения в промежутке [-1; 1], тогда какие значения принимает вся дробь и какие значения может принимать логарифм от такой дроби?

Подсказка 3

Если вы правильно исследовали f(x), то значения её будут в промежутке [-1; +∞). Теперь найдите множество значений f(f(x)).

Подсказка 4

Подумайте, какие значения принимает sin(3*f(x)) и что мы в таком случае мы можем сказать про множество значений f(f(x)). А про множество значений f(f(f(…f(x))))?

Показать ответ и решение

cos2x+-2sin2x- ---1--- f(x) =log2 1− sin3x = log2 1− sin 3x .

Функция $t(x)= sin3x$ принимает значения $[− 1;1]$ . Рассмотрим функцию $1 z(t) =1−t$ , определенную на полуинтервале $[−1;1)$ . Графиком этой функции является гипербола с асимптотами $t= 1$ и $z =0$ . Функция $z(t)= 11−t$ на промежутке $[−1;1)$ неограниченно возрастает. Таким образом, минимальное значение $z(t)$ равно $12$ , оно достигается в точке $t= −1$ , и функция $z(t)= 11−t-$ на промежутке $[−1;1)$ принимает все значения из промежутка $[ ) 12;+∞$ . Функция $y1(z) =log2z$ на промежутке $[ ) 12;+ ∞$ возрастает и принимает все значения из промежутка

[ ) log2 1;+∞ =[−1;+ ∞) 2

Функция $f(f(x))$ будет принимать те же значения, что и функция $f(y1)$ , если $y1 ∈[−1;+ ∞)$ . Поскольку $t(y1)= sin(3y1)$ при $y1 ∈ [− 1;+∞ )$ принимает все значения из отрезка $[− 1;1]$ , то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем, что множеством значения функции $f(f(x))$ является промежуток $[−1;+∞)$ . И так далее, следовательно, множеством значений функции $f[2019](x)$ является промежуток $[− 1;+ ∞).$

Ответ:

$[−1;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#72121Максимум баллов за задание: 7

Для функции $y = xe−x$ найти производную 2019-го порядка $(y(2019))$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

2019 - большое число, не будем же мы 2019 раз подряд искать производную ⇒ надо найти закономерность! А для этого можем найти несколько первых производных и доказать формулу

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на производные чётного порядка и нечётного: видите что-то похожее? Попробуйте вывести формулу для производной нечётного порядка - благодаря этому сможем посчитать 2019-ю производную!

Показать ответ и решение

$y′ = (1 − x)e− x$

$′′ −x y =(x− 2)e$

$′′′ −x y = (3− x)e$

И так далее, $(2k+1) −x y = (2k +1− x)e$

Ответ:

$(2019− x)e−x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#106009Максимум баллов за задание: 7

Для функции $y = sin2x$ найти производную $2019$ -го порядка $(y(2019)).$

Источники: Газпром 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем найти первые несколько производных и выявить закономерность в их виде, чтобы получить общую формулу.

Подсказка 2

Желательно не оставлять в производных одновременно cos и sin, а использовать формулы приведения. Пусть у нас везде будет sin, тогда какой вид будет иметь аргумент? Не забываем учесть изменение знаков! Таким образом мы хотим прийти к формуле производной в общем виде.

Подсказка 3

Теперь хотим доказать верность полученной формулы. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Первое, что приходит в голову — доказать верность формулы по индукции!

Показать ответ и решение

После нахождения нескольких первых производных можно вывести общую формулу

(n) (n−1) ( (n-− 1)π ) y =2 ⋅sin 2 + 2x ,

которую легко доказать по индукции.

База:

( ) (sin2x)′= 2sin xcosx =sin2x =21−1sin (1−-1)π+ 2x 2

Переход:

(2(n−1)⋅sin ((n−-1)π-+2x))′ = 2(n−1)⋅cos( (n-− 1)π+ 2x)⋅2= 2 2

(π nπ ) ((n+ 1− 1)π ) = 2n ⋅cos 2 − (-2 +2x) = 2(n+1)− 1⋅sin----2---- +2x

Тогда

( (2019− 1)π ) ( 2018π ) y(2019) = 2(2019−1)⋅sin ---2----+ 2x = 22018⋅sin -2---+2x = =22018⋅sin(504 ⋅2π +π +2x)= −22018⋅sin2x

Ответ:

$− 22018⋅sin2x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#40272Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение функции

(π ) f(x)= sin(x +sinx)+ sin(x− sinx)+ 2 − 2 sinsinx.

Источники: Ломоносов-2018, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Брать сразу у такой функции производную вообще не хочется... Давайте сначала попробуем преобразовать. Видим сумму двух синусов. Тогда попробуйте применить нужную формулу к ним и посмотреть, что получится. Не можем ли мы упростить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, после применения формулы для суммы синусов везде будет sin(x), который мы можем заменить на t, учитывая ограничение синуса. Стало точно поприятнее, теперь можем брать производную и искать критические точки. Что самое главное нам не забыть, когда мы ищем максимум функции на отрезке?

Подсказка 3

Точно, надо не забыть проверить концы отрезка. Осталось только сравнить значение функции в этих точках, и победа!

Показать ответ и решение

По формуле суммы синусов

sin(x+ sinx)+ sin(x − sin x)=2sin xcos(sinx)

Пусть $t=sin x$ . Поиск максимума $f(x)$ на всей числовой прямой после замены сводится к поиску максимума функции $g(t)= 2tcost+ (π− 2)sin t 2$ на отрезке $[−1;1]$ . Возьмём её производную

′ ( π ) π ( 4 ) g(t)= 2cost− 2tsint+ 2 − 2 cost= 2 sint ctg t−π t

Критические точки — $π t= ±4$ , $t= 0$ . После расстановки знаков производной на $[− 1;1]$ получаем, что максимум может достигаться на конце отрезка $t= −1$ или в точке локального максимума $π t= 4$ . Сравним значения функции в этих точках:

( ) g(−1)= −2cos1+ 2− π2 sin1 <0< g(π∕4)= π√− 2 2

Действительно, в силу $1< π3 =⇒ −2cos1< −2cos π3 = −2⋅ 12 =− 1$ , тогда

g(−1)< −1+ 2− π <0 2

а максимальное значение равно $g(π ) 4$ , соответственно наибольшее значения $f(x)$ достигается при $sinx = π 4$ .

Ответ:

$π−√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#74605Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=|x|+2|x − 1|+ 3|x− 2|+ ...+ 11|x− 10|

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на функцию f, что можно сказать про неё вне зависимости от того, как раскроются модули?

Подсказка 2

Верно, в любом случае f - линейная функция(просто из соображений того, что у нас нигде нет степени x большей единицы)! В таком случае, что можно сказать про её промежутки монотонности?

Подсказка 3

Да, сначала f убывает, а после этого возрастает! Тогда надо найти промежуток, на котором f убывает, а после этого промежутка возрастает.

Подсказка 4

Заметим, что если 6 < x < 7, то угловой коэффициент нашей прямой будет меньше 0, а если 7 < x < 8, то угловой коэффициент уже больше 0!

Показать ответ и решение

Заметим, что как бы ни раскрывались модули, $f(x)$ будет линейной функцией, которая имеет вид $f(x)= kx+ b, i i$ где коэффициенты зависят от промежутка на числовой прямой. Тогда разобьем числовую прямую на $12$ отрезков: $(−∞;0),(0;1),(1;2),...,(9;10),(10;+∞ ).$ Тогда $ki$ это угловой коэффициент на $i$ -том промежутке.

Заметим, что $− 66≤ k1 <k2 <k3 < ...< k10 < k11 = 66.$ Это значит, что $f(x)$ сначала убывает, а потом возрастает, так как $k8 = 1+ 2+ 3+...+7− 8− ...− 11= −10$ при $x ∈(6;7),$ а $k9 = 1+ 2+3 +...+ 8− 9− 10 − 11= 6$ при $x∈ (7;8).$ Значит, наименьшее значение функции достигается при $x= 7.$ Оно равно $f(7)=146.$

Ответ: 146

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#98021Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение функции $f(x)= |x|+ |x +1|+...+|x+ 2022|.$

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы не можем сразу ограничить много модулей, попробуйте посмотреть на суммы пар.

Подсказка 2

|a| + |b| ≥ |a ± b|. Как это применить в задаче, чтобы получить наименьшее значение?

Подсказка 3

Разобьем модули на пары так, чтобы сумма свободных членов вне модулей была 2022. Как тогда ограничивается сумма пары модулей?

Подсказка 4

Например: |x + 2| + |x + 2020| ≥ (- x - 2) + (x + 2022 - 2) = 2022 - 2⋅2. Далее нужно рассмотреть общий вид и понять, когда достигается равенство.

Подсказка 5

Для равенства необходимо, чтобы первая скобка пары всегда раскрывалась с отрицательным знаком, а вторая — с положительным.

Показать ответ и решение

Разобьем выражение на следующие пары:

(|x|+ |x+2022|)+ (|x+ 1|+ |x +2021|)+ (|x+ 2|+ |x+ 2020|)+...

Рассмотрим первую пару.

|x|+ |x+ 2022|≥ (− x)+(2022+ x)= 2022

Аналогично для всех пар вида

|x +k|+ |x+ 2022 − k|, k≤ 1010

Так как можно оценить как

|x+ k|+ |x +2022− k|≥ (−x− k)+(x+ 2022− k)= 2022− 2k

Тогда исходное выражение принимает минимальное значение, если в каждой паре достигается равенство, а оно достигается при $x =− 1011.$

Следовательно, наименьшее значение равно:

0+ 2+ 4+6 +8+ ...+ 2020+ 2022= 2⋅(0+ 1+ 2+3 +4+ ...+ 1011)= 2⋅ 1011⋅1012= 1023132 2

Ответ: 1023132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#72125Максимум баллов за задание: 7

Дана функция $f(x)= P(x)ex$ , где $P(x)$ — многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть $g(x)$ — сороковая производная $f(x)$ . Докажите, что

g(1000) 40 f(1000) < 2 .

Источники: ИТМО 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам в задаче дали какое-то большое число - 40, если мы не найдём закономерность, то нам надо будет считать все 40 производных, так давайте попробуем найти её и доказать.

Подсказка 2

Хм, написав первые несколько производных P(x)e^x, получаются какие-то уж больно знакомые коэффициенты, да и сумма количества значков производных тоже знакомая - она совпадает с номером производной, ещё и число такое 2^40, да тут все намёки на ...

Подсказка 3

Своеобразный бином Ньютона!!! Попробуйте доказать этот факт через индукцию.

Подсказка 4

Раз уж мы разгадали главную тайну задачи, то мы примерно понимаем, откуда возьмётся коэффициент
2^40 = (1+1)^40, нам бы только избавится от противного P(x) и его производных, но как?

Подсказка 5

Может поможет какая-то мудрая оценка, причём мы уже знаем нашу конечную цель, которая намекает нам на то, как оценить каждое из слагаемых. Подумайте, на что бы очень хотелось заменить каждое из P...(x), чтобы получить то, что от нас требуют.

Подсказка 6

Эх, если бы могли как-то заменить их все на P(x), вот тогда бы зажили: мы бы могли его вынести, склеить с e^x, а в скобках был бы наш желанный коэффициент (1+1)^40.

Подсказка 7

Хорошо, что P(x) это многочлен, а производная суммы есть сумма производных, может получится оценить в лоб?

Подсказка 8

Рассмотрите произвольный одночлен P(x), помните, что нам надо оценить только для x=1000, посмотрите, всегда ли достигается равенство в полученной оценке или где-то знак получается строгим?

Показать доказательство

Рассмотрим какой-то одночлен $a xk k$ . Его $n$ -ая производная равна $k(k− 1)...(k− n+ 1)a xk−n k$ , а поскольку и $k$ , и $n$ не больше тысячи, эта производная не превосходит $n k−n 1000 akx$ , причём равенство достигается только когда $n= 1$ и $k= 1000$ . Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо $x$ число 1000, и получаем, что $(k) P (1000)≥ P (1000).$

По индукции легко доказать:

(n) ( ) (P (x)ex) =ex C0nP (x)+ C1nP′(x)+ ...+ CnnP(n)(x)

Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что

g(1000)= (P(x)ex)(40)(1000)=

( ) =e1000 C040P(1000)+ C140P ′(1000)+ ...+C4040P(40)(1000) ≤

( ) ≤e1000 C040P(1000)+C140P(1000)+ ...+ C4400P (1000) ≤

≤ e1000(C040+ C140+...+C4400)P(1000)= 240e1000P(1000)= 240f(1000).

Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак $≤$ на $<$ .

Таким образом, мы получили, что $g(1000) <240f(1000)$ , откуда делением на $f(1000)$ получаем требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#103421Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество значений функции

-----1----- f(x) =g (64g(g(lnx))) 1025 ,

где $g(x)= x5 +-1. x5$

Показать ответ и решение

Рассмотрим сначала функцию $h(t)= t+1∕t.$ Функция $h(t)$ определена для всех $t⁄= 0.$ Найдем экстремумы функции $h(t).$

Для того найдем интервалы знакопостоянства производной функции:

′ 1 (t− 1)(t+ 1) h (t)= 1− t2 =----t2-----

h′(t)=0 при t= ±1

Проходя через точку $t= −1,$ производная $′ h(t)$ меняет знак с плюса на минус, следовательно, $t= −1$ является точкой максимума:

hmax = h(−1)= −2

Проходя через точку $t= 1,$ производная $′ h (t)$ меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $t=1$ является точкой минимума:

hmin =h(1)=2

Множеством значений этой функции является множество:

(−∞; −2]∪[2;+∞ )

Функция $g(x)= x5+ 1∕x5 = h(x5).$ Поскольку функция $t=x5$ возрастает на промежутке $(− ∞;0)∪(0;+ ∞)$ и принимает все числовые значения, то множеством значений функции $h(x5),$ следовательно, и $g(x),$ является множество:

(−∞; −2]∪[2;+∞ )

причем $gmax = g(−1)=− 2,$ $gmin = g(1)= 2.$ По той же причине множеством значений функции $g(ln(x))$ также является множество $(−∞;− 2]∪ [2;+∞ ).$

Найдем множество значений функции $g(g(lnx))= g(q)$ :

Так как функция нечетная, то будем рассматривать только неотрицательные аргументы. так как функция $g(q)$ определена при $q ∈ [2;+∞ ),$ и на этом промежутке возрастает, то ее минимальное значение

gmin = 25+1∕25 = 1025∕32

Тогда областью значений функции $g(g(lnx))$ является множество:

(−∞; −1025∕32]∪ [1025∕32;+∞),

а функции $64⋅g(g(lnx)) 1025$ — множество:

(−∞; −2]∪[2;+∞ )

Значит, множество значений функции $(64⋅g(g(lnx))) g --1025--$ равно множеству значений функции $g(g(lnx)).$

Таким образом:

( ) g 64⋅g(g(lnx)) ∈(−∞; −1025∕32]∪ [1025∕32;+∞) 1025

Отсюда находим множество $Ef$ значений функции $f(x)= -(---1----)- g 64⋅g(g10(l2n5x))$

[ -32- ) ( -32-] Ef = −1025;0 ∪ 0;1025

Ответ:

$[− -32-;0)∪ (0;-32-] 1025 1025$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#106011Максимум баллов за задание: 7

Про функцию $y =f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом $5,$ а также что $f(−1)= f(2)= −1.$ Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)= 0$ на отрезке $[1755;2017]?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как функция периодична, то можем найти количество её нулей на периоде и сделать выводы о количестве нулей на всем отрезке из условия. Как мы можем это сделать?

Подсказка 2

Рассматриваем значения функции на [0, 5). Как здесь оценить количество нулей?

Подсказка 3

Для начала найдем значения функции в точках 0, 1, 2, 3, 4, пользуясь положениями из условия. Какие выводы из найденных значений можно сделать?

Подсказка 4

Так как теперь знаем значения функции в этих точках, то из непрерывности функции можем оценить снизу количество нулей на рассматриваемом полуинтервале. Достижима ли эта оценка?

Подсказка 5

Теперь, зная количество нулей на периоде, хотим посчитать, сколько раз этот период помещается в отрезок из условия и рассмотреть не попавшие в период значения на предмет наличия нулей там. Почитаем с учётом всего этого итоговое количество нулей!

Показать ответ и решение

Поскольку функцня $f$ нечётна и определена в нуле, получаем

f(0)= −f(0)⇒ f(0)= 0

В силу 5-периодичности тогда имеем $f(5)= f(0)= 0$ . Используем ещё раз нечётность: $f(1)= −f(−1)= 1$ , и опять в силу 5-периодичности $f(3)=f(−2)= 1$ и $f(4)= f(− 1) =− 1.$

Итак, в точках $1,2,3$ и 4 значения функции равны соответственно $1,− 1,1$ и $− 1.$ Значит, на каждом из трёх интервалов между этими точками есть не менее одного нуля функции $f$ .

Итого на периоде $[0;5)$ у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижнма: можно взять, например, кусочно-линейную функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке $[1755;2015)$ период помещается 52 раза (на нём не менее $52 ⋅4 =208$ нулей), плюс нуль в точке $2015$ и хотя бы один на интервале $(2016;2017).$ Итого не менее 210 нулей (210 нулей уже возможно).

Ответ: 210

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#72122Максимум баллов за задание: 7

Мальчик Вася выписал в тетрадку ненулевые коэффициенты многочлена $P (x)$ десятой степени. Затем у получившегося многочлена вычислил производную и выписал ее ненулевые коэффициенты, и так далее, пока не получилась константа, которую он также выписал. Какое наименьшее количество различных чисел у него могло получиться? Коэффициенты выписываются с учетом знака, свободные члены также выписываются, если имеется одночлен вида $n ± x$ , выписывается $±1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз уж многочлен P(x) имеет степень 10, то как минимум 1 ненулевой коэффициент у него есть! И стоит он перед... чем? Давайте обозначим его а и посмотрим на то, каким он становится при вычислении производных

Подсказка 2

Стоит он перед x¹⁰, конечно, а иначе у нас многочлен не 10 степени) При вычислении производных он умножается на соответствующую степень х, то есть на 10, 9, и т.д. до 0. Сколько ненулевых чисел получилось? Могли ли какие-то из них быть равны?

Подсказка 3

Конечно они не равны, а ведь не 0, получается как минимум 10 различных чисел у нас есть. Остаётся придумать пример!

Подсказка 4

Давайте просто возьмём тот многочлен, который рассматривали, когда придумывали оценку - а ⋅ x¹⁰, берём любое ненулевое а и побеждаем :)

Показать ответ и решение

Оценка: так как многочлен имеет степень $10$ , у него совершенно точно есть ненулевой коэффициент при $x10$ назовём его $a$ . Тогда старший коэффициент производной этого многочлена равен $10a$ , старший коэффициент второй производной равен $10 ⋅9a$ и т.д., старшие коэффициенты девятой и десятой производных равны $10!⋅a$ причем все эти числа, кроме двух последних, различны. Таким образом, $10$ различных чисел точно есть

Пример:

x10 x9 10! + 9! + ...x+ 1

даёт ровно 10 различных чисел, так как каждый следующий одночлен — производная предыдущего.

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#73722Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие $a$ и $b,$ что $|a|+ |b|≥ 2√- 3$ и при всех $x$ выполнено неравенство

|a sinx+ bsin2x|≤1

Источники: ММО-2014, задача 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для упрощения рассуждений можно рассмотреть какие-то определенные a и b. Например, если они одного знака, то сумма их модулей равна модулю их суммы(а если разного знака?).

Подсказка 2

У нас есть неравенство, которое верно для всех x. Значит, можно найти какое-то удобное значение x, чтобы выражение в неравенстве стало похожим на модуль суммы a и b.

Подсказка 3

Число 2/√3 как бы намекает, какие значения х стоит попробовать.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, когда числа $a$ и $b$ имеют один знак. В этом случае $|a|+|b|= |a+b|.$ Пусть $x= π. 3$ Тогда $2x= 2π,sinx= sin2x= √3 3 2$ и $√3 √3 1 ≥|asinx+ bsin2x|=|a+ b| 2 =(|a|+ |b|) 2 ≥1.$ Отсюда получаем, что $√2 |a|+|b|= 3,$ а в точке $π x= 3$ функция $f(x)= asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $π x= 3$ является точкой экстремума для функции $f(x)$ и $′π f(3)= 0.$ Имеем

π π 2π a− 2b f′(3)= acos3 + 2bcos-3 =--2--= 0

Следовательно, $a= 2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= 2√3,$ получаем, что возможны лишь два варианта $a= 34√3,b= 3√23-$ или $a =− 3√43-,b= − 3√23.$

Рассмотрим теперь случай, когда числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. В этом случае $|a|+|b|= |a − b|.$ Пусть $x = 2π3-.$ Тогда $√- 2x= 4π3 ,sinx= − sin2x=-32$ и $√- √- 1≤ |asinx+ bsin2x|=|a− b|-32 =(|a|+ |b|)-32 ≥1.$ Отсюда получаем, что $|a|+ |b|= √23,$ а в точке $x = 2π3-$ функция $f(x)=asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $x= 2π3$ является точкой экстремума функции $f(x)$ и $f′(2π3 )= 0.$ Имеем:

f′(2π-)=acos2π+ 2bcos 4π-= −a−-2b= 0 3 3 3 2

Следовательно, $a= −2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= √2 3$ получаем, что возможны лишь два варианта: $a= −-4√-,b= -2√- 3 3 3 3$ или $a =-4√-,b= −-2√-. 3 3 3 3$

Проверим, что четыре найденные пары значений удовлетворяют условию задачи. Действительно, $|a|+ |b|= √2. 3$ Функция $f(x)$ принимает свои наибольшее и наименьшее значения в таких точках $x,$ для которых $f′(x)= 0.$ Найдём такие точки $x.$ Имеем:

f′(x)= acosx +2bcos2x =a(cosx ±cos2x)= 0

где знак в скобках выбирается положительным, если $a$ и $b$ одного знака, и отрицательным иначе. Следовательно, во всех точках экстремума функции $f(x)$ имеем $|cosx|= |cos2x|.$ Значит, при таких $x$ выполнено также равенство $|sinx|= |sin2x|.$ Отсюда $|sin2x|= |sin x||cosx|$ и либо $sinx= 0,$ либо $|cosx|= 12.$ В первом случае $f(x)= 0,$ во втором $|sin√32 |,|sin 2x = √23|$ и

√- √- |f(x)|≤ |a|-3+ |b|-3-=1 2 2

Таким образом, во всех точках экстремума функции $f(x),$ а следовательно, и во всех вообще точках $x,$ имеем $|f(x)|≤1.$

Ответ:

$a =± √4-,b= ± √2 3 3 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#38689Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество значений выражения $x− y+ 1$ при условии

2 (x− y) = 2|2y− x|+ x+ 15.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Выполним замену переменных: $x− y+ 1= a,2y− x= t$ . Тогда условие задачи переформулируется следующим образом:

Найдите множество значений $a$ при условии $2 2|t|+ t=a − 4a− 12$ .

$PIC$

На плоскости переменных $(a,t)$ это условие задает множество, состоящее из частей парабол

1( ) t= 3 a2− 4a− 12

t= − (a2− 4a− 12)

для значений $a∈ (−∞;−2]∪[6;+ ∞).$

Ответ:

$(−∞,− 2]∪ [6,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#106714Максимум баллов за задание: 7

Для заданных значений $a,b,c$ и $d$ оказалось, что графики функций $y = 2a+-1- x−b$ и $y = 2c+-1- x−d$ имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций $-1- y = 2b+ x− a$ и $-1- y = 2d +x−c$ также имеют ровно одну общую точку.

Источники: ММО - 2012, первый день, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Графики функций y = 2a + 1/(x-b) и y = 2c + 1/(x-d) центрально-симметричны. А есть ли у них общая точка симметрии?

Подсказка 2

Верно, есть! Это точка ((b+d)/2, a+c)! Тогда при каких условиях они имеют единственную общую точку?

Подсказка 3

Точно! При x = (b+d)/2 имеется равенство 2a + 1/(x-b) = 2c + 1/(x-d) = a + c, что равносильно (a-c)(b-d) = 2. Но ведь то, что нужно доказать, имеет примерно такой же вид, как условие, значит, надо попробовать сделать что-то аналогичное!

Показать доказательство

Графики функций $y = 2a +-1 x−b$ и $y =2c+ -1- x−d$ центрально-симметричны относительно точки с координатами $((b+ d)∕2,a +c)$ и, следовательно, имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда

1 1 2a+ x−-b = 2c+x-− d = a+c

при $x= b+2d.$ Это условие эквивалентно равенству $(a − c)× (b− d)=2.$ Аналогично доказывается, что это равенство также эквивалентно тому условию, что центрально-симметричные относительно точки с координатами $((a+ c)∕2,b+d)$ графики функций $y =2b+ x1−a$ и $y = 2d+ x1−c$ имеют ровно одну общую точку.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#67598Максимум баллов за задание: 7

Сколько решений имеет уравнение

--1--- ---1-- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 = x2?

Источники: Ломоносов-2011, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.

Подсказка 3

Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.

Показать ответ и решение

Если $x <0,$ то $(x− 1)2 >x2,(x − 2)2 > x2,$ поэтому

---1-- --1--- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 < x2

Если $x> 2,$ то $(x − 1)2 < x2,(x− 2)2 < x2,$ поэтому

---1-2 + --1-2-> 22 (x− 1) (x− 2) x

Если $1< x< 2,$ то $22 < 2, x$ а по неравенству между средним квадратическим и средним гармоническим

------------- ∘ --12-+ -1-2- 2 -(x−1)-2-(x−2) ≥ x−-1+2-− x

---1-- + --1---≥ 8> 2> 2- (x− 1)2 (x − 2)2 x2

Если $0< x< 1,$ то функция $f(x)= -2 x2$ от $+ ∞$ убывает до $f(1)= 2,$ а функция $g(x) =--1-- +--1-- (x−1)2 (x−2)2$ неограниченно возрастает от $g(0)=1+ 1 <2. 4$ По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует единственное значение $x, 0$ при котором $f(x )=g(x). 0 0$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Исходное уравнение при условиях $x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ равносильно

3 2 6x − 21x +24x− 8= 0

Рассмотрим функцию

f(x)=6x3− 21x2 +24x− 8.

Поскольку

f′(x)=18x2− 42x +24,

то $x= 1$ — точка максимума, а $x= 43$ — точка минимума. Функция $f$ возрастает на области $(−∞,1)$ и на области $( ) 43;+∞$ , а на промежутке $(1;43)$ убывает.

Так как $f(0) =− 8, f(1)= 1, f(43)= 89$ , то уравнение $f(x)= 0$ имеет единственный корень, который лежит на промежутке $(0;1).$

Ответ: одно

Следующая подтема