Тема АЛГЕБРА

Функции → .01 Исследование функций и производные

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Исследование функций и производные

Суперпозиция f(f(x))

Функциональные уравнения

Функциональные неравенства

Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#80516Максимум баллов за задание: 7

Функция $y =f(t)$ такова, что сумма корней уравнения $f(cosx)= 0$ на отрезке $[π;π] 2$ равна $17π$ , а сумма корней уравнения $f(sinx)= 0$ на отрезке $[ 3π] π;2$ равна $29π$ . Какова сумма корней второго уравнения на отрезке $[3π- ] 2 ;2π$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о количествах корней f(cos(x)) и f(sin(x))?

Подсказка 2

На интервале [π/2;π] их будет одинаковое количество. Что можно сказать о периодичности функций?

Подсказка 3

Заметим, что sin(x + π/2) = cos(-x) = cos(x). Значит, есть повторение на некоторых промежутках.

Показать ответ и решение

Пусть у уравнения $f(t)= 0$ всего $a$ корней на интервале $[− 1,0]$ . Тогда на интервале $[π;π] 2$ у уравнения $f(cosx) =0$ тоже $a$ корней, так как на этом интервале $cosx$ пробегает все значения от -1 до 0. Пусть это корни $x1,x2,...,xa$ . Заметим, что $( π) sin x+ 2 = cos(− x)=cosx$ . Значит, корни у первого уравнения на интервале $[π ] 2;π$ так соответствуют корням второго уравнения на интервале $[ 3π] π, 2 ,$ и значит, у второго уравнения корни $π π π x1+ 2,x2+ 2,...,xa+ 2$ на интервале $[ 3π] π, 2$ . Из условия мы знаем, что

x1 +x2+ ...+ xa = 17π

π π π aπ x1+ 2 + x2+ 2 +...+ xa+ 2 =17π+ 2 =29π

Отсюда $a= 24$ . Заметим, что $sinx = sin(3π− x)$ , поэтому корнями второго уравнения на интервале $[3π- ] 2 ;2π$ будут

π π π 3π− x1− 2,3π− x2− 2,...,3π − xa− 2 ,

и их сумма будет

3πa − (x1+x2 +...+ xa)− aπ-= 43π 2

Ответ:

$43π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#90944Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее из значений функции

----9x----- 4x− 6x +9x

и точку $x$ , в которой это значение достигается.

Источники: ДВИ - 2011, вариант 1, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем удобно работать с функцией, в которой x — степень. Было бы приятнее сделать из неё более привычную нам функцию от t, где t уже зависит от x.

Подсказка 2

А что если поделить числитель и знаменатель на 9^x?

Подсказка 3

Теперь мы ищем максимум f(t) = 1/(t² - t + 1). А когда достигается максимум дроби с константным числителем?

Подсказка 4

Найдите минимум t² - t + 1. Не забываем про x ;)

Показать ответ и решение

Разделим числитель и знаменатель на $9x$ :

-------1------- ( 2)2x ( 2)x 3 − 3 + 1

Сделаем замену $( )x t= 23 ,t> 0.$ Тогда получаем, что нужно найти наибольшее значение у следующей функции

-2-1--- t − t+ 1

Наибольшее значение достигается при наименьшем значении знаменателя. Тогда

t2− t+1 → min

( )2 t2− t+1= t− 1 + 3 ≥ 3 2 4 4

Тогда наименьшее значение равно $3 4$ и достигается при $t= 1. 2$ Следовательно наибольшее значение равно $1-= 4 34 3$ и достагается при $1 x =log232$

Ответ:

$min = 4, 3$ при $x= log 1 23 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#42938Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $x$ число $√31-+x-+ 3√3−-x$ является целым?

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что, если оба слагаемых возвести в куб?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулой сокращённого умножения. Что можно сказать о величинах получившихся скобок?

Подсказка 3

Докажите, что исходное выражение больше нуля.

Подсказка 4

Нас интересуют целые значения выражения. Попробуйте понять, как оно ограничено сверху.

Подсказка 5

Найдите точку экстремума. Вы получите несколько возможных значений. Надо догадаться, как с их помощью найти x.

Подсказка 6

Рассмотрите произведение слагаемых из исходного выражения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

3√---- √3---- f(x)= 1 +x+ 3− x

Пусть $a= 3√1+-x,b= 3√3−-x.$ Сразу отметим, что

3 3 a + b = 1+ x+3 − x =4.

В силу тождества

a3 +b3 = (a +b)(a2− ab+b2)

и того, что

a2− ab+ b2 = (a− b∕2)2+ 3b2->0, 4

получаем, что $a+b >0,$ то есть $f(x)> 0$ .

Из знаков производной

( ) f′(x)= 1 ⋅ ∘--1----− ∘--1---- = 3 3 (1 +x)2 3 (3 − x)2

3∘ -----2 3∘-----2 = -3∘(3−-x)-−2 3∘-(1+-x)2- (3− x) (1+ x)

делаем вывод, что $f(x)$ возрастает при $x≤ 1$ и убывает при $x≥ 1$ . Максимальное значение равно $f(1)= 23√2= 3√16-< 3√27,$ поэтому $f(x)< 3.$

Итак, целые значения могут быть только $1$ или $2.$ Воспользуемся тем, что

3 3 2 2 ( 2 ) 4= a +b = (a+b)(a − ab+ b)= (a +b) (a+ b) − 3ab

и тем, что

ab= ∘3(1+x)(3− x)= ∘34-−-(x-− 1)2

( 3) x= 1± 4− (ab)

1) Если $a+ b=1,$ то

4= 1− 3ab ⇐⇒ ab= −1 =⇒ x =1 ±√5-

2) Если $a+ b=2,$ то

4 =2(4− 3ab) ⇐⇒ ab = 2 =⇒ x =1 ±-1√0- 3 3 3

Ответ:

$1± √5,1± 10√3 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#90852Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение выражения

∘ ---------- ∘---------- ∘ ---------- (x − 1)(y − x)+ (7− y)(1− x)+ (x − y)(y − 7)

при $x∈ [−2;3]$ и $y ∈[0;11]$ .

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2007, задача 5 (см. www.mathnet.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы немного упростить исходное выражение. Стоит присмотреться и попытаться найти что-то общее под корнями.

Подсказка 2

Наблюдаем, что всего под корнями есть три различных множителя, если вынести минусы из скобок: a = x-1, b = y-x, c = y-7.

Подсказка 3

Также стоит обратить внимание на ОДЗ. Очень часто это позволяет совершить равносильный переход и сильно упростить задачу. Что мы можем получить из условий на произведения: ab ≥ 0, ac ≥ 0, bc ≥ 0?

Подсказка 4

Вероятнее всего, среди чисел a, b, c затерялся нолик, ведь в противном случае все 3 неравенства не могут быть выполнены (подумайте почему так, посмотрите на то, как зависят знаки чисел a, b, c друг от друга)

Подсказка 5

Остается проверить 3 случая, когда среди чисел есть ноль. В каждом случае задача будет сведена к поиску максимального значения функции от одной переменной на заданном отрезке, с чем мы уже очень хорошо знакомы.

Показать ответ и решение

Пусть среди $a= x− 1, b= y− x, c=y − 7$ нет нулевых. Тогда поскольку из ОДЗ $ab≥ 0, ac ≥0, bc≤ 0$ , то $a$ и $b$ имеют один знак, $a$ и $c$ имеют один знак, но $b$ и $c$ имеют разные — противоречие.

Значит, среди скобок есть нулевая, разберём 3 случая:

I.

$a= x− 1= 0, x= 1$

Выражение примет вид $∘ ---------- ∘---------- (1 − y)(y − 7)= − y2+8y− 7$ . Максимум такого выражения достигается в вершине $yB = 4∈ [0,11]$ и равен $√---------- −16+ 32− 7 =3$ .

II.

$b= y− x= 0, x= y$

Поскольку переменные равны, то каждая из них принимает значения на $[0,3]$ , а выражение примет вид $∘ (7−-x)(1−-x)= √x2−-8x-+7-$ . Поскольку вершиной будет $xB = 4$ , то выбрать надо наиболее отдалённую от неё точку $x= 0$ , в которой получим $√7< 3$ .

III.

$c= y− 7= 0, y = 7$

Выражение примет вид $∘ ---------- √---------- (x − 1)(7− x)= −x2+ 8x− 7≤ 3$ .

То есть максимальным значением будет 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#72123Максимум баллов за задание: 7

Существует ли функция, значения которой и её 2007 производных при $x= 2007$ равны $2007$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выпишем все условия, которые у нас есть. Видим, что значение функции в точке 2007 равно значению её производной в этой точке. А есть ли такая функция, производная которой равна ей же самой?

Подсказка 2

Конечно, это функция e^x! Но е²⁰⁰⁷ ≠ 2007. Как бы нам изменить эту функцию, чтобы мы смогли поставить знак равенства?

Подсказка 3

Да, нужно просто поставить подходящий коэффициент перед е²⁰⁰⁷. Чему он должен быть равен, чтобы f(2007) = 2007?

Подсказка 4

Просто решаем уравнение k ⋅ е²⁰⁰⁷ = 2007 и получаем коэффициент! Остаётся сказать, что при взятии следующих производных значение не поменяется, тогда такая функция подходит

Показать ответ и решение

Выпишем условия на функцию $f(x):$

( f(2007) =2007 ||||| ′ |{ f(′′2007)= 2007 ||| f (2007)= 2007 |||( ...(2007) f (2007) =2007

Следовательно, $f(2007)= f′(2007)$ . Известная функция, для которой $f(x)= f′(x)$ , это $f(x)= ex$ , но $f(2007) =e2007 ⁄= 2007$ . Рассмотрим функцию похожего вида $ex f(x)= k$ и подберем такое $k$ , чтобы выполнялось $f(2007)= 2007:$

$f(2007)= e2007 =2007 =⇒ k = e2007- k 2007$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#79129Максимум баллов за задание: 7

Две параллельные касательные к графику функции $y = x3− 6$ пересекают оси координат: первая — в точках $A$ и $B$ , вторая — в точках $C$ и $D$ . Найти площадь треугольника $AOB$ , если известно, что она в четыре раза меньше площади треүгольника $COD$ ( $O$ — центр координат).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть касательные касаются графика в точках х₁ и х₂. В условии сказано, что касательные пересекают оси координат, а решение задачи завязано на площадях полученных треугольников. Было бы здорово получить уравнения для нахождения площади каждой фигуры. Как мы можем это вывести?

Подсказка 2

Конечно, на координатной плоскости легко вычислить площадь треугольника, зная координаты его вершин. Их получим из уравнения касательных. Тогда можно легко найти формулы площадей и записать их отношение!

Подсказка 3

Далее вспомните про условие параллельности касательных. Что это нам даёт?

Подсказка 4

Конечно, коэффициенты при х равны! При этом не забывайте, что прямые разные, то есть х₁ и х₂ (точки касания) не равны.
Остаётся только составить систему из этого уравнения и отношения площадей и аккуратно всё посчитать

Показать ответ и решение

Пусть $x 1$ — точка касания, тогда

3 ′ 2 3 2 y(x1)= x1 − 6, y (x1)= 3x1, y = x1 − 6+ 3x1(x− x1)

2 3 y =3x1x+ (− 2x1 − 6)

Точки пересечения с осями координат:

3 (2 x31+-3 ) A(0;−2x1 − 6), B 3 ⋅ x21 ;0

Тогда

3 SAOB = 1⋅(−2x31− 6)⋅ 2⋅ x1+2-3= −-22(x31+3)2 2 3 x1 3x1

Так же и для второй точки касания $x2 :$

y = 3x22⋅x +(−2x2− 6)

SCOD =− 32x2(x32+ 3)2 2

Эти касательные параллельны, поэтому коэффициенты при $x$ должны быть равны, то есть

3x2 =3x2 ⇐⇒ x2= x2 1 2 1 2

Если $x1 = x2,$ то точки совпадают, но у нас две разные прямые. Тогда $x1 = −x2,$ $4SAOB = SCOD,$ откуда

( |{ − 4⋅22(x31+3)= −-22(x32+3)2 | 3x1 3x2 ( x1 = −x2

Тогда

3 2 3 2 6 3 3 6 4(x1+ 3) =(−x1+ 3) ⇐ ⇒ 4x1+ 24x1 +36= 9− 6x1 +x1

3x6+ 30x3 +27= 0 ⇐⇒ x6+ 20x3+ 9= 0 1 1 1 1

Решая последнее квадратное относительно $x31,$ получаем, что

[ [ x31 =− 1 x1 =− 1 x31 =− 9 ⇐⇒ x1 =− 3√−9-

Тогда

| | | | SAOB = |||− -2-(− 1+3)2|||=|||− 8|||= 8, или 3⋅1 3 3

| | S =||− --2√--(−9+ 3)2||= 2⋅√36= -8√- AOB | 3⋅ 3−9 | 9 33 33

Ответ:

$8 ,√8 3 3 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#75967Максимум баллов за задание: 7

Про положительные числа $x$ и $y$ известно, что

---1---- ---1---- ---1--- 1+ x+ x2 + 1+ y+y2 +1 +x +y =1

Какие значения может принимать произведение $xy$ ? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Показать ответ и решение

Заметим, что при каждом положительном $y$ функция

1 1 1 fy(x)= 1-+x+-x2 + 1+-y+-y2 + 1+-x+-y

строго монотонно убывает на луче $(0;+∞ ),$ поскольку знаменатели всех дробей возрастают. Следовательно, функция $fy$ принимает каждое значение не более одного раза. При этом нетрудно видеть, что:

fy(1) =1 y

откуда и заключаем, что $xy = 1.$

Ответ: только 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Следующая подтема