.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

1. Действительно, пусть - линейно зависима. Это означает, что мы можем выразить нулевой вектор в виде нетривиальной линейной комбинации наших векторов:

причем какая-то .

Применим теперь к обеим частям этого равенства наш оператор :

Но линейный оператор нулевой вектор всегда переводит в нулевой вектор, а в правой части равенства можно воспользоваться обеими аксиомами линейности:

Но это и означает, что - линейно зависимая система векторов, ибо мы буквально предъявили нетривиальную (а она, конечно, нетривиальна, потому что все еще какая-то ) их линейную комбинацию, равную нулевому вектору.

Заметим, что нигде мы здесь и не пользовались тем, что - изоморфизм. Нам для доказательства хватило только того, что это линейный оператор.

2. От противного. Пусть вышло так, что - линейно зависима. Следовательно, мы можем выразить нулевой вектор в виде нетривиальной линейной комбинации наших векторов:

где хоть какая-то .

Далее, распишем правую часть этого равенства, пользуясь линейностью оператора (только немного в непривычную сторону - мы занесем внутрь все лямбды и сумму значений оператора на векторах засунем внутрь этого оператора):

Однако, коль скоро ядро изоморфизма обязано быть тривиально, то в нулевой вектор может переходить только нулевой, следовательно,

Но при этом хоть какая-то . А это уже в свою очередь противоречит условию, что - линейно независимая система векторов.

3. Если , то ясно, что из этого набора векторов можно удалить векторов и останется линейно независимых, причем такое максимально возможное. Удалим их, и пусть останутся:

- максимальная линейно независимая подсистема в .

Применим к ней наш оператор . По пункту 2., образ линейно независимой системы векторов линейно независим, поэтому система векторов

- линейно независима, а потому .

Однако, если бы так оказалось, что , то это бы означало, что найдется векторов среди , которые линейно независимы. Пусть это векторы

Но ясно, что они являются образами векторов

Однако, в силу того, что , такая система векторов - линейно зависима (ведь - максимальное количество линейно независимых векторов, которые можно выделить из системы ).

А по пункту 1. образ линейно зависимой системы векторов вновь линейно зависим. Следовательно,

- линейно зависимая система. Противоречие, следовательно, неравенство - невозможно.

4. Т.к. - базис в , то эта система векторов уж по крайней мере линейно независима. Следовательно, по пункту 2. система векторов - тоже линейно независима. И чтобы доказать, что это базис, осталось доказать свойство выразимости.

Почему любой вектор можно выразить как линейную комбинацию векторов ?

Действительно, любой вектор является прообразом некоторого (потому что по определению изоморфизма, - биекция, следовательно, уж хотя бы сюръекция.)

То есть для любого существует такой, что

Но, поскольку - базис в , то вектор можно разложить по этому базису:

Но теперь, применяя оператор к обеим частям этого равенства и пользуясь его линейностью, имеем:

Вот мы и получаем, что любой вектор является линейной комбинацией векторов . Свойство выразимости доказано, а вместе со свойством линейной независимости оно даёт, что - базис в .