Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Тема Линал и алгебра.

07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40398

Какие из следующих отображений будут линейными?
a) $f : ℝ → ℝ,$ $f(x) = x+ 1$ ;
b) $f : ℝn → ℝm,$ $f(x1,...xn ) = (c,c,c,...,c),$ где $c$ - некоторое отличное от нуля постоянное число;
с) $f : ℝ2 → ℝ3,$ $f(x1,x2) = (x21,x22,0)$ ;
d) $f : ℝ2 → ℝ2,$ $f(x ,x ) = (α x + α x ,α x + α x ), 1 2 11 1 12 2 21 1 22 2$ где $α ∈ ℝ ij$ ;
e) $f : ℝ3 → ℝ3,$ $f(x ,x ,x ) = (4x − 6x + 100000000x ,− 2x + 150000x ,x ) 1 2 3 1 2 3 1 3 1$ ;
f) $f : ℝ2 → ℝ,$ $f(x ,x ) = x ⋅x 1 2 1 2$ ;
g) $f : V → ℝ,$ где $V$ - пространство всех сходящихся последовательностей ${an},$ то есть

V = {{an}|∃ lim an} n→ ∞

и $f$ сопоставляет последовательности её предел. То есть, $f(an) = a,$ если $a = lim a . n→ ∞ n$
h) $f : V → ℝ,$ где $V$ - пространство всех сходящихся последовательностей ${an},$ то есть

V = {{an}|∃ lim an} n→ ∞

и $f$ сопоставляет последовательности её супремум (он меньше $+ ∞$ в силу сходимости последовательности). То есть, $f(a ) = a, n$ если $a = sup a . n$

Показать ответ и решение

a) Не линейно, поскольку $f(0) = 1,$ а для любого линейного отображения $f$ должно быть выполнено, что $f(0) = 0$ ;

b) Не линейно, доказывается аналогично пункту a);

c) Не линейно, поскольку

f(λx) = f(λ⋅(x1,x2)) = f(λx1,λx2 ) = (λ2x21,λ2x22,0) ⁄= λ(x21,x22,0) = (λx21,λx22,0)

d) Линейно, поскольку

f(x+y ) = f (x1+y1, x2+y2 ) = (α11(x1+y1 )+ α12(x2+y2 ),α21(x1+y1 )+α22(x2+y2 ))f (x )+f (y)

т.к.

f(x) = (α11x1 + α12x2,α21x1 + α22x2)

f(y) = (α y + α y ,α y + α y ) 11 1 12 2 21 1 222

Умножение на $λ ∈ ℝ$ проверяется аналогично;

e) Линейно, поскольку эту частный случай предыдущего пункта d);

f) Не линейно, поскольку неверно, что $∀x,y ∈ ℝ2$ выполнено $f(x + y) = f(x)+ f (y ).$ Например если $x = (1,3),y = (2,3),$ то $f(x + y) = f(3,6) = 18,$ в то время как $f(x)+ f(y) = 3 + 6 = 9$ ;

g) Линейно. Поскольку предел суммы последовательностей равен сумме пределов, а предел последовательности умноженной на константу равен константе умноженной на предел.

h) Не линейно. Поскольку можно рассмотреть, допустим

an = 2,− 3,0,0,0,0...,sup an = 2

bn = − 2,− 3,0,0,0,...,,sup bn = 0

но

an + bn = 0,− 6,0,0,0,...,

поэтому $sup an + bn = 0,$ и это не равно $sup an + supbn$

Ответ:

a) Не линейно;
b) Не линейно;
c) Не линейно;
d) Линейно;
e) Линейно;
f) Не линейно;
g) Линейно;
h) Не линейно

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40399

Выписать матрицу линейного отображения для линейных отображений среди тех, что перечислены в списке:

a) $f : ℝ → ℝ,$ $f(x) = x+ 1$ ;
b) $f : ℝn → ℝm,$ $f(x1,...xn ) = (c,c,c,...,c),$ где $c$ - некоторое отличное от нуля постоянное число;
с) $f : ℝ2 → ℝ3,$ $f(x1,x2) = (x21,x22,0)$ ;
d) $f : ℝ2 → ℝ2,$ $f(x ,x ) = (α x + α x ,α x + α x ), 1 2 11 1 12 2 21 1 22 2$ где $α ∈ ℝ ij$ ;
e) $f : ℝ3 → ℝ3,$ $f(x ,x ,x ) = (4x − 6x + 100000000x ,− 2x + 150000x ,x ) 1 2 3 1 2 3 1 3 1$ ;
f) $f : ℝ2 → ℝ,$ $f(x1,x2) = x1 ⋅x2$ ;

Показать ответ и решение

Здесь работает общее наблюдение, которое мы сделали на вебинаре: чтобы выписать матрицу линейного отображения $n m f : ℝ → ℝ ,$ нужно по столбцам выписать то, куда переходят базисные векторы стандартного базиса в $n ℝ ,$ то есть по столбцам должны стоять $f(e1),...,f(en).$

d) $( ) α11 α12 α21 α22$
e) $( ) | 4 − 6 100000000 | |( − 2 0 150000 |) 1 0 0$

Остальные отображения - не линейны.

Ответ:

d) $( ) α11 α12 α21 α22$ ;
e) $( ) | 4 − 6 100000000 | | − 2 0 150000 | ( ) 1 0 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40400

Доказать, что если $f : V → W$ - линейный изоморфзим, а ${v1,....,vk}$ - линейно зависимая система векторов в $V,$ то ${f(v1),...f (vk)}$ - линейно зависимая система векторов в $W.$

Показать доказательство

Действительно, пусть существует такой нетривиальный набор $α1,...αk,$ что

α v + ...+ α v = 0 1 1 k k

Применим тогда к обеим частям наше $f.$ И воспользуемся тем, что линейное отображение всегда 0 переводит в 0. Тогда будем иметь, что

f(α v + ...+ α v ) = f(0) 1 1 k k

и, пользуясь линейностью $f,$

α1f(v1)+ ...+ αkf (vk) = 0

Следовательно, набор $α1,...αk$ является нетривиальным набором таким, что $α f (v ) + ...+ α f (v ) = 0. 1 1 k k$ Следовательно, $f(v ),...f(v ) 1 k$ - линейно зависимая система векторов в $W.$

Контрольный вопрос: А пользовались ли мы здесь где-то тем, что $f$ - биекция? Или хватило бы свойства линейности $f$ ?

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#40401

Доказать, что если $f : V → W$ - линейный изоморфзим, а ${v1,....,vk}$ - линейно независимая система векторов в $V,$ то ${f(v1),...f (vk)}$ - линейно независимая система векторов в $W.$

Показать доказательство

От противного. Пусть найдётся такой нетривиальный набор $α1,...αk,$ что

α f(v )+ ...+ α f(v ) = 0 1 1 k k

Но тогда, коль скоро $f$ - изоморфизм, то это означает, что у него есть обратное отображение $f− 1$ (как и у любой биекции). Применим это $f−1$ к обеим частям равенства

α1f(v1)+ ...+ αkf (vk) = 0

и получим следующее равенство

−1 −1 f (α1f(v1)+ ...+ αkf(vk)) = f (0)

Далее, нетрудно понять, что если $f$ было линейным, то обратное к нему отображение $− 1 f$ тоже будет линейным. А значит равенство

−1 −1 f (α1f(v1)+ ...+ αkf(vk)) = f (0)

можно преобразовать в

−1 −1 α1f (f(v1))+ ...+ αkf (f(vk)) = 0

(Опять воспользовались тем, что линейное отображение 0 переводит в 0, ну и двумя аксиомами линейности для $f −1$ тоже воспользовались).
Но ясно, что $f− 1(f(x)) = x$ для любого $x ∈ V$ - так и должно работать обратное отображение. А, значит, наше последнее равенство превращается в

α1v1 + ...+ αkvk = 0

И если мы предположили, что набор $α ,...α 1 k$ - нетривиальный, то мы получаем противоречие с тем, что ${v1,....,vk}$ - линейно независимая система векторов в $V.$ Следовательно, мы доказали, что набор $α ,...α 1 k$ может быть только тривиальным. Следовательно, ${f(v1),...f (vk)}$ - линейно независимая система в $W.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40402

Пусть $f : ℝn → ℝn,$ $g : ℝn → ℝn$ - линейные отображения. Обязательно ли всегда $n ∀x ∈ ℝ$ будет выполнено, что

f(g(x)) = g (f (x ))

Показать ответ и решение

Нет, не обязательно. Пусть $f : ℝ2 → ℝ2$ - отражение относительно оси $Ox,$ а $2 2 g : ℝ → ℝ$ - поворот на 90 градусов против часовой стрелки относительно начала координат.

Тогда если $x = e1$ - первый базисный орт, то $f (g(e1))$ - это мы его сначала поворачиваем, а потом отражаем, значит, $f (g (e )) = − e . 1 2$

А в обратном порядке $g(f(e1)) = g(e1)$ (поскольку $e1$ не меняется при отражении относительно оси $Ox$ ), а $g(e ) = e . 1 2$

Следовательно, даже для базисного $e1$ неверно, что $f(g(e1)) = g(f(e1)).$

Контрольный вопрос: А для каких $n$ верно, что для любых линейных отображений $f : ℝn → ℝn,$ $g : ℝn → ℝn$ выполняется

∀x ∈ ℝn f(g(x)) = g(f (x ))

Ответ:

Вообще говоря нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44598

Пусть $a = (1,2,3) ∈ ℝ3.$ Пусть $f : ℝ3 → ℝ3$ - линейное отображение, задающееся формулой

f : x ↦→ < x, a > a, где <, > − стан дартное скалярное прои звед ен ие

Задача: Записать матрицу $f$ относительно стандартного базиса в $ℝ3,$ и относительно базиса ${b1 = (1,0,1),b2 = (2,0,− 1),b3 = (1,1,0 )}$

Показать ответ и решение

Относительно стандартного базиса так сказать все стандартно. Мы должны просто проследить, куда при отображении $f$ переходить стандартный базис ${e1,e2,e3}$ и записать $f(ei)$ в столбцы матрицы, чтобы получить матрицу $f$ относительно стандартного базиса. Следаем это:
1. $f(e1) = < e1,a > a = a = (1,2,3)$ ;
2. $f(e ) = < e ,a > 2a = (2,4,6) 2 2$ ;
3. $f(e3) = < e3,a > 3a = (3,6,9)$ ;
Таким образом, матрица $f$ относительно стандартного базиса $ℝ3$ имеет вид:

( ) 1 2 3 A = || 2 4 6 || ( ) 3 6 9

Далее, мы по сути перевыбрали базис в $ℝ3,$ поэтому чтобы посчитать матрицу того же самого отображения $f,$ нам нужно просто найти матрицу перехода в новый базис. Обозначим эту матрицу за $C,$ тогда по столбцам матрицы $C$ будут записаны координаты нового базиса, выраженного через старый. То есть, $( ) | 1 2 1| C = |( 0 0 1|) . 1 − 1 0$ Тогда, согласно теореме о законе изменения матрицы линейного отображения при смене базисов, матрица $f$ уже относительно базиса $B$ будет вычисляться по формуле

A ′ = C− 1AC

Тогда, вычисляя $C −1,$ получим $(| 13 − 13 23 )| C−1 = | 1 − 1 − 1| ( 3 3 3) 0 1 0$

Следовательно, $( ) 20- − 5 5 ′ || 316 43 || A = ( − 3 3 − 4) 8 − 2 6$

Ответ:

$( ) |1 2 3| A = |2 4 6| ( ) 3 6 9$ ;
$( ) 20 − 5 5 ′ || 316 34 || A = ( − 3 3 − 4) 8 − 2 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44599

Пусть $A$ - матрица линейного отображения $f : ℝn → ℝn$ относительно базиса $B = {b1,b2,...,bn}.$
Задача: Как изменится матрица $A,$ если поменять $bi$ и $bj$ местами?

Показать ответ и решение

Запишем в таком случае матрицу перехода $C.$ Напомним, что по столбцам матрицы перехода будут стоять выражения векторов нового базиса через старый.
Все столбцы, кроме $i−$ го и $j−$ го в матрице $C$ будут такими же, как в единичной матрице $E,$ а $i−$ ый столбец поменяется с $j−$ ым местами.

Нетрудно понять, что матрица $C −1$ в данном случае равна матрице $C.$ А, значит, матрица $A ′$ в новом базисе будет иметь вид $A ′ = C −1AC.$ Домножение на такую матрицу $C$ cправа меняет местами $i−$ ый и $j−$ ый столбец местами. А домножение на $C− 1 = C$ слева меняет местами $i−$ ую и $j−$ ую строчку местами.

Таким образом, получаем, что в матрице $A$ поменяются местами $i−$ ый и $j−$ ый столбец, а также $i−$ ая и $j−$ ая строчка.

Ответ:

В матрице $A$ поменяются местами $i−$ ый и $j−$ ый столбец, а также $i−$ ая и $j−$ ая строчка.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44600

Пусть $A$ - матрица линейного отображения $f : ℝn → ℝn$ относительно базиса $B = {b1,b2,...,bn}.$
Задача: Как изменится матрица $A,$ если умножить $bi$ на какое-то $λ ⁄= 0$ ?

Показать ответ и решение

Запишем в таком случае матрицу перехода $C.$ Напомним, что по столбцам матрицы перехода будут стоять выражения векторов нового базиса через старый.
Все столбцы, кроме $i−$ го у $C$ будут такими же, как в единичной матрице $E,$ а $i−$ ый столбец умножится на $λ.$

( ) 1 0 0 0 ... 0 || 0 1 0 0 ... 0|| || || C = ||... ... ... ... ... 0|| | 0 0 0 λ ... 0| ( ) 0 0 0 0 ... 1

Тогда ясно, что

( ) 1 0 0 0 ... 0 || 0 1 0 0 ... 0|| −1 || || C = || ... ... ... ... ... 0|| |( 0 0 0 1 ... 0|) λ 0 0 0 0 ... 1

то есть обратная матрица к матрице $C$ - это матрица, у которой все столбцы кроме $i−$ го будут такими же, как в единичной матрице $E,$ а $i−$ ый столбец умножится на $1 λ$

Но тогда матрица $A ′$ в новом базисе будет иметь вид $A ′ = C −1AC,$ домножение на $A$ cправа умножит $i−$ ый столбец на $λ,$ а домножение на $C −1$ слева умножит $i−$ ую срочку на $1λ.$

Таким образом, получаем, что в матрице $A$ $i−$ ый столбец умножится на $λ,$ $i−$ ая строчка умножится на $1 λ.$

Ответ:

В матрице $A$ $i−$ ый столбец умножится на $λ,$ $i−$ ая строчка умножится на $1λ.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44601

Пусть $V$ - пространство многочленов от одной переменной степени не выше чем 2. То есть

V = {p(x ) = a x2 + a x + a } 2 1 0

Пусть в нём выбран базис $2 {1,x,x }.$
Пусть $W = ℝ$ и пусть в $W = ℝ$ выбран стандартный базис ${1}.$
Пусть задано линейное отображение $f : V → W,$ определяемое формулой $f (p(x)) = p(2022)$
Задача: Найти матрицу этого отображения $f$ относительно указанных базисов и относительно следующих: ${5,(x − 5),(x − 5)2}$ в $V,$ ${16}$ в $W$

Показать ответ и решение

Сначала найдем матрицу $f$ относительно уже данных изначально базисов в $V$ и $W.$
Нужно лишь выписать результат действия $f$ на базисные векторы в $V$ и записать их по столбцам этой матрицы.
Получается такая вот матрица $( ) A = 1 2022 4088484$

Далее, нужно найти матрицу перехода в пространстве $V$ и в пространстве $W.$ Пусть $C$ - матрица перехода от старого базиса к новому в $V,$ $D$ - матрица перехода от старого базиса к новому в $W.$

Тогда если $A ′$ - матрица $f$ относительно новых базисов, то $A ′ = D −1AC.$
Итак, чтобы выписать $C,$ надо записать новый базис, выраженный через старый, по столбцам. Таким образом,

( ) 5 − 5 25 || || C = (0 1 − 10) 0 0 1

Аналогично, $( ) D = 16 ,$ тогда $−1 ( 1) D = 16$ Значит, $′ ( 5 2017 4068289) A = 16 -16-- --16--$

Ответ:

$( ) A = 1 2022 4088484$ ;
$( ) A ′ = 516- 201167- 406182689$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45023

Пусть $f : ℝ3 → ℝ3$ - линейное отображение, задающееся в стандартных базисах матрицей

( ) | 6 8 − 1| A = |( 10 − 4 − 1|) − 8 − 28 2

Найти базис $kerf$ и $Imf.$

Показать ответ и решение

1. Чтобы найти базис $Imf,$ нужно нашу матрицу $A$ привести к ступенчатому виду. Сделав это, получаем такую матрицу: $( ) 1 11 − 1 | 3 6 | ˆA = |( 0 1 − 126|) 0 0 0$ Значит, мы видим, что $rkA = 2.$

Поэтому, поскольку линейное подпространство, порожденное столбцами матрицы, не меняется при всех преобразованиях метода Гаусса, то то, что было порождено исходными столбцами, будет порождено и столбцами в ступенчатом виде. Следовательно, поскольку ранг 2, нужно для базиса выбрать 2 линейно независимых столбца матрицы $Aˆ.$ Пусть это будут $1 v1 = (1,0,0),v2 = (13,1,0)$ - базис $Imf.$

2. Чтобы найти базис $kerf,$ нужно записать общее решение ОСЛУ $Ax = 0.$ В данном случае получается, что $-1 1 1 3- x2 = 26x3, x1 = − 13x2 + 6x3 = 26x3.$

Таким образом, по нужно приравнять $x3$ к единице (других независимых переменных у нас нет), и мы получим единственный вектор, который лежит в базисе $kerf,$ а именно это будет $-3 -1 u = (26,26,1)$

Ответ:

$v1 = (1,0,0),v2 = (113,1,0)$ - базис $Imf$ ;
$-3 -1 u = (26,26,1)$ - базис $kerf$ ;

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45024

Пусть $𝒫n$ - пространство многочленов степени не выше чем $n.$ Пусть $R : 𝒫n → 𝒫n$ - отображение смены знака переменной. То есть $R$ определяется формулой

R (p(x )) = p(− x)

Вычислить $kerR$ и $ImR$

Показать ответ и решение

По определению, $p(x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 ∈ kerR,$ если $R(p(x)) = p(− x) = 0.$ Но

p(− x) = an(− x )n + an−1(− x)n−1 + ...− a1x+ a0 = (− 1)nanxn + (− 1)n−1an−1xn− 1 + ...− a1x + a0

Таким образом, $p(− x) = 0$ тогда и только тогда, когда

(− 1)nan = 0,(− 1)n−1an−1 = 0,...,− a1 = 0,a0 = 0

Но это возможно только если $an = an− 1 = ...= a1 = a0 = 0.$ Следовательно только тогда, когда исходный $p(x) = 0.$ Следовательно, отображение $R$ в нулевой многочлен переводит только нулевой многочлен. А это означает, что $kerR = 0.$

Откуда получаем, поскольку $dim 𝒫n = dim kerR + dim ImR,$ что $dim 𝒫n = dim ImR,$ а, значит, $ImR = 𝒫n$

Ответ:

Ядро тривиально, а образ совпадает со всем пространством $𝒫n$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#65755

Вычислить:

( )n ( )n a) cosa sina b) λ 1 − sina cosa 0 λ

Показать ответ и решение

a) Перед нами матрица поворота на угол $a$ по часовой стрелке. Ясно, что при умножении двух матриц поворота на два разных угла получится матрица поворота на суммарный угол. Можно это показать и явно:

( cosa sina) ( cosb sin b) ( cosacos b− sin asinb cosa sin b+ sin acos b) ⋅ = = − sina cosa − sin b cosb − sin acosb − sin bcosa − sin asinb + cosacos b

( ) cos(a+ b) sin(a + b) = − sin(a+ b) cos(a + b)

Значит, ответом на задачу будет матрица поворота по часовой стрелке на угол $n ⋅a$

( )n ( ) cosa sina cos(n ⋅a) sin(n ⋅a) − sina cosa = − sin(n⋅ a) cos(n ⋅a)

b) Посмотрим, что происходит с матрицей при умножении на саму себя:

( ) ( ) ( ) λ 1 λ 1 λ2 2λ ⋅ = 2 0 λ 0 λ 0 λ

( 2 ) ( ) ( 3 2) λ 2λ ⋅ λ 1 = λ 3λ 0 λ2 0 λ 0 λ3

Нетрудно заметить, что элементы на главной диагонали каждый раз будут умножаться на $λ$ , потому что на пересечении второй строки и первого столбца стоит 0, а элемент над главной диагональю сначала будет умножаться на $λ$ , затем к нему будет прибавляться правый нижний элемент из предыдущей степени матрицы. Значит,

( )n ( n n− 1) λ 1 = λ nλ 0 λ 0 λn

Ответ:

a) $( ) cos(n ⋅a) sin(n ⋅a) − sin(n ⋅a) cos(n ⋅a)$ ;

b) $( ) λn n λn−1 0 λn$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#65757

Линейный оператор в некотором базисе $e1,e2,e3,e4$ имеет матрицу

( 1 2 0 1) | | || 3 0 − 1 2|| A = |( 2 5 3 1|) 1 2 1 3

Найти матрицу этого оператора в базисе:

1) $e1,e3,e2,e4$ ;
2) $e1,e1 + e2,e1 + e2 + e3,e1 + e2 + e3 + e4$ .

Показать ответ и решение

1) Нам известны кординаты векторов нового базиса в старом. Запишем матрицу перехода из одного базиса в другой:

( ) 1 0 0 0 ||0 0 1 0|| C = || || (0 1 0 0) 0 0 0 1

Обозначим матрицу $A$ в новом базисе, как $′ A$ . Тогда $′ −1 A = C AC$ . Найдем $−1 C$ :

( ) 1 0 0 0 || 0 0 1 0|| C −1 = || || ( 0 1 0 0) 0 0 0 1

( 1 0 0 0) ( 1 2 0 1) ( 1 0 0 0) ( 1 2 0 1) | | | | | | | | ′ −1 || 0 0 1 0|| || 3 0 − 1 2|| || 0 0 1 0|| || 2 5 3 1|| A = C AC = | 0 1 0 0| ⋅| 2 5 3 1| ⋅| 0 1 0 0| = | 3 0 − 1 2| ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 2 1 3 0 0 0 1 1 2 1 3

2) Найдем матрицу перехода:

( ) 1 1 1 1 ||0 1 1 1|| C = || || (0 0 1 1) 0 0 0 1

( ) 1 − 1 0 0 || 0 1 − 1 0 || C− 1 = || || ( 0 0 1 − 1) 0 0 0 1

( 1 − 1 0 0 ) ( 1 2 0 1) ( 1 1 1 1) (− 2 0 1 0 ) | | | | | | | | ′ − 1 || 0 1 − 1 0 || || 3 0 − 1 2|| || 0 1 1 1|| || 1 − 4 − 8 − 7|| A = C AC = |( 0 0 1 − 1|) ⋅|( 2 5 3 1|) ⋅|( 0 0 1 1|) = |( 1 4 6 4 |) 0 0 0 1 1 2 1 3 0 0 0 1 1 3 4 7

Ответ:

1) $( 1 2 0 1) | | || 2 5 3 1|| | 3 0 − 1 2| ( ) 1 2 1 3$ 2) $(− 2 0 1 0 ) | | || 1 − 4 − 8 − 7|| | 1 4 6 4 | ( ) 1 3 4 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#65823

Линейный оператор в базисе $a1 = (8,− 6,7), a2 = (− 16,7,− 13), a3 = (9,− 3,7)$ имеет матрицу

( 1 − 18 15 ) | | A = ( − 1 − 22 20 ) 1 − 25 22

Найти его матрицу в базисе
$b1 = (1,− 2,1), b2 = (3,− 1,2), b3 = (2,1,2)$ .

Показать ответ и решение

Запишем матрицы перехода из стандартного базиса в каждый из данных:

( 8 − 16 9 ) ( 1 3 2) | | | | Te→a = (− 6 7 − 3) Te→b = ( − 2 − 1 1) 7 − 13 7 1 2 2

Нам нужна матрица перехода $−1 Ta→b = Ta→e ⋅Te→b = T e→a ⋅Te→b$ .

( ) 2 − 1 − 3 T −1 = |( 21 − 7 − 6|) e→a 259 58 -5 − 5 − 8

( ) ( ) ( ) 2 − 1 − 3 1 3 2 1 1 − 3 Ta →b = |( 251 − 75 − 6|) ⋅|( − 2 − 1 1|) = |( 1 2 − 5|) 29 − 8 − 8 1 2 2 1 3 − 6 5 5

Обозначим матрицу оператора в новом базисе за $A ′$ .

A ′ = Ta−→1bATa →b

( ) 3 − 3 1 T −a1→b = |( 1 − 3 2|) 1 − 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) 3 − 3 1 1 − 18 15 1 1 − 3 1 2 2 ′ −1 | | | | | | | | A = T a→bAT = ( 1 − 3 2) ⋅( − 1 − 22 20) ⋅(1 2 − 5) = ( 3 − 1 − 2) 1 − 2 1 1 − 25 22 1 3 − 6 2 − 3 1

Ответ:

$(1 2 2 ) | | (3 − 1 − 2) 2 − 3 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#66167

В пространстве многочленов степени не выше трёх найти матрицу перехода от базиса $1,1+ t,1 + t2,1 + t3$ к базису $3 3 2 3 3 1+ t,t+ t ,t + t ,t$ .

Показать ответ и решение

По определению матрицы перехода, в ней по столбцам должны быть записаны координаты новых базисных векторов в старом базисе. Сначала явно выразим новый базис через старый:

1 + t3 = 1 ⋅(1+ t3); t + t3 = 1 ⋅(1 + t)+ 1 ⋅(1+ t3)− 2 ⋅1; t2 + t3 = 1⋅ (1 + t2)+ 1⋅ (1 + t3)− 2⋅1 ; 3 3 t = 1⋅(1 + t) − 1⋅1 .

Теперь запишем это в виде матрицы, учитывая порядок базисных векторов:

( ) 0 − 2 − 2 − 1 || || || 0 1 0 0 || |( 0 0 1 0 |) 1 1 1 1

Ответ:

$( ) |0 − 2 − 2 − 1| ||0 1 0 0 || | | |(0 0 1 0 |) 1 1 1 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#72828

Бывает ли такое отображение $f : V → W$ , что $f$ - не линейно, однако для любого $λ ∈ ℝ$ и для любого $v ∈ V$ выполнено

f (λv ) = λf (v)

Показать ответ и решение

Да, например, можно взять $f : ℝ2 → ℝ$ , заданное формулой $∘ ------- f(v) = 3 v31 + v32$ .

Тогда для любого $λ ∈ ℝ$ и для любого $v ∈ ℝ2$ будет выполнено

3∘ ----------- 3∘ ----------- ∘3------- f(λv) = f(λv1,λv2) = λ3v31 + λ3v32 = λ3(v31 + v32) = λ v31 + v32 = λf(v)

Однако $f$ - не линейно, поскольку $f(1,1) = 3√2--$ , $f (2,2) = √316--$ , но

--- -- --- f((1,1)+ (2,2)) = f(3,3) = 3√ 54 ⁄= 3√2 + √316

То есть нарушается первая аксиома линейности отображения.

Ответ:

Да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72829

Доказать, что если $f : V → W$ - линейное отображение между линейными пространствами и если $−→ 0 V$ - нулевой вектор в пространстве $V$ , а $−→ 0 W$ - нулевой вектор в пространстве $W$ , то обязательно $−→ −→ f( 0 V ) = 0 W$ .

Показать доказательство

−→ −→ −→ −→ −→ f( 0 V ) = f( 0 V + 0 V ) = f (0 V)+ f (0 V )

Где мы воспользовались первой аксиомой линейности для $f$ .

Далее, вычтем из обеих частей вектор $f(−→0 V) ∈ W$ .

Получим

−→ −→ 0 W = f( 0 V )

Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72831

Пусть $f : V → W$ - линейное отображение между $V$ и $W$ , а $g : W → U$ - линейное отображение между $W$ и $U$ . Доказать, что тогда их композиция

g ∘ f : V → U

будет линейным отображением между $V$ и $U$ .

Показать доказательство

1. Проверим первую аксиому линейности: для любых $v1,v2 ∈ V$ :

g(f(v1 + v2)) = g(f(v1)+ f(v2)) = g(f(v1))+ g(f(v2))

Где мы воспользовались сначала линейностью $f$ , а затем линейностью $g$ .

Следовательно, $g(f)$ удовлетворяет первой аксиоме линейности.

2. Проверим вторую аксиому линейности: для любых $v ∈ V,λ ∈ ℝ$ :

g(f(λv )) = g(λf(v)) = λg(f(v))

Где мы воспользовались сначала линейностью $f$ , а затем линейностью $g$ .

Обе аксиомы проверены.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#72832

Какие из следующий отображений

f : 𝒫n → 𝒫n

пространства $𝒫n$ всех многочленов степени не выше $n$ в себя же являются линейными:

1): $P (x) ↦→ P (1)⋅1$ ;
2): $′ P (x) ↦→ P (x)$ ;
3): $P (x) ↦→ P (0)P (1)⋅x, n ≥ 1$ ;
4): $dn P (x) ↦→ ---nP (x2 ) dx$ ;
5): $( ) n 1- P (x) ↦→ x P x$ ;

Показать ответ и решение

1)

Пользуясь правилом сложения функций (в частности, многочленов) и умножения их на число, имеем:

F (P + Q) = (P + Q )(1) ⋅1 = (P (1)+ Q (1)) ⋅1 = P(1)⋅1 + Q (1 )⋅1 = F(P )+ F (Q),

F (αP ) = (αP )(1)⋅1 = α ⋅P (1) ⋅1 = αF(P ),

следовательно отображение линейно.

2)

Пользуясь правилом дифференцирования суммы функций (в частности, многочленов) и вынесения константы, имеем:

F (P + Q ) = (P + Q )′ = P ′ + Q′ = F(P )+ F (Q ),

F (αP ) = (αP )′ = α ⋅P ′ = αF (P),

следовательно отображение линейно.

3)

Рассмотрим $P(x) = 5$ , тогда $(2P )(x ) = 10$ и

F(P ) = P (0)P(1)⋅x = 5 ⋅5⋅x = 25x,

F(2P ) = (2P )(0 )⋅(2P)(1)⋅x = 10 ⋅10⋅x = 100x ⁄= 2⋅25x = 2 ⋅F(P ),

следовательно отображение не является линейным.

4)

Рассмотрим отдельно отображение $G : P (x) ↦→ P(x2)$ . Пусть

P (x) = p + p x + p x2 + ...+ p xm, 0 1 2 m

Q (x) = q0 + q1x+ q2x2 + ...+ qkxk,

для определенности $m ≤ k$ .

Тогда

G (P )(x) = P (x2) = p0 + p1x2 + p2x4 + ...+ pmx2m,

G(Q )(x ) = Q (x2) = q0 + q1x2 + q2x4 + ...+ qkx2k,

G (P + Q )(x) = (P + Q )(x2) = (p0 + q0)+ (p1 + q1)x2 + ...+ (pm + qm)x2m+

+qm+1x2m+2 + ...+ qkx2k =

2 2m 2 2k = p0 + p1x + ...+ pmx + q0 + q1x + ...+ qkx = G(P )(x)+ G (Q)(x),

т.е. $G (P + Q) = G (P )+ G (Q )$ .

Аналогично проверяется второе свойство $G (αP ) = αG (P )$ , что доказывает линейность отображения $G$ . Поскольку дифференцирование – линейная операция (см. п. 2)), исходное отображение линейно как композиция линейных.

5)