.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

От противного. Пусть найдётся такой нетривиальный набор что

Но тогда, коль скоро - изоморфизм, то это означает, что у него есть обратное отображение (как и у любой биекции). Применим это к обеим частям равенства

и получим следующее равенство

Далее, нетрудно понять, что если было линейным, то обратное к нему отображение тоже будет линейным. А значит равенство

можно преобразовать в

(Опять воспользовались тем, что линейное отображение 0 переводит в 0, ну и двумя аксиомами линейности для тоже воспользовались).
Но ясно, что для любого - так и должно работать обратное отображение. А, значит, наше последнее равенство превращается в

И если мы предположили, что набор - нетривиальный, то мы получаем противоречие с тем, что - линейно независимая система векторов в Следовательно, мы доказали, что набор может быть только тривиальным. Следовательно, - линейно независимая система в