Тема . Линал и алгебра.

.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72836

Рассмотрим пространство $𝒫5$ многочленов степени не выше пятой и его базис $1,x,x2,x3,x4,x5$ . Найти матрицы следующих операторов относительно этого базиса:

1.: дифференцирования $-d dx$
2.: сдвига $f (x ) → f(x+ 1 )$
3.: $f (x) → f(− x )$

Показать ответ и решение

Если $f(x) ∈ ℝ5 [x]$ , то $f (x ) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5$ . и тогда в данном нам базисе $f(x)$ - это вектор $T (a0 a1 a2 a3 a4 a5)$ .
А сам базис записывается так:
$T T T T T T {e0 = (1 0 0 0 0 0) , e1 = (0 1 0 0 0 0) , e2 = (0 0 1 0 0 0) , e3 = (0 0 0 1 0 0) , e4 = (0 0 0 0 1 0) , e5 = (0 0 0 0 0 1) }$

Во всех пунктах оператор $𝒜$ будет отображать пространство $ℝ [x] 5$ в то же $ℝ [x] 5$ . То есть $𝒜 : ℝ5 [x ] → ℝ5 [x ]$ . Следовательно, матрицы $A$ этих операторов будут иметь размеры $6× 6$ (так как 6 - размерность $𝒫 5$ ).

Известно, что $j$ столбцом матрицы $A i$ будет вектор $𝒜 (e) j$ , где $e j$ - $j$ базисный вектор пространства. Используем это, чтобы решить задачу:

1.: Оператор $d dx$ дифференцирования:
Для $n = 1,2,...,5$ имеем $-d(en) = -dxn = nxn −1 = nen−1 dx dx$ .
А $d- dx(e0) = 0$ .
То есть получаем:
$d- dx(e0) = 0 = (0 0 0 0 0 0)$
$ddx(e1) = e0 = (1 0 0 0 0 0)$
$d- dx(e2) = 2e1 = (0 2 0 0 0 0)$
$ddx(e3) = 3e2 = (0 0 3 0 0 0)$
$d- dx(e4) = 4e3 = (0 0 0 4 0 0)$
$ddx(e5) = 5e4 = (0 0 0 0 5 0)$

Отсюда матрица $( ) 0 1 0 0 0 0 || 0 0 2 0 0 0|| || || || 0 0 0 3 0 0|| A1 = || 0 0 0 0 4 0|| | | |( 0 0 0 0 0 5|) 0 0 0 0 0 0$
2.: Оператор $𝒜2$ сдвига:
Для $n = 1,2,...,5$ имеем $n n n−1 n(n−1) n−2 n(n−1) 2 𝒜2(en) = (x + 1) = x + nx + 2 x + ...+ 2 x + nx + 1 = en + nen−1 + ...+ ne1 + e0$ .
А $𝒜2(e0) = 𝒜2(1) = 1 = e1$ .
То есть получаем:
$𝒜2 (e0) = e1$
$𝒜 (e ) = e + e 2 1 1 0$
$𝒜2 (e2) = e2 + 2e1 + e0$
$𝒜 (e ) = e + 3e + 3e + e 2 3 3 2 1 0$
$𝒜2 (e4) = e4 + 4e3 + 6e2 + 4e1 + e0$
$𝒜2 (e5) = e5 + 5e4 + 10e3 + 10e2 + 5e1 + e0$

Отсюда матрица $( ) | 1 1 1 1 1 1 | || 0 1 2 3 4 5 || || || A2 = | 0 0 1 3 6 10| || 0 0 0 1 4 10|| || 0 0 0 0 1 5 || ( ) 0 0 0 0 0 1$
3.: Оператор $𝒜3 = f(x) → f(− x)$ :
$( ( { xn, n - четное { en, n -ч етное 𝒜3 (en) = 𝒜2 (xn) = = ( − xn, n -неч ет ное ( − en, n -нечетное$ для всех $n = 0,1,2,3,4,5$

Отсюда матрица $( ) 1 0 0 0 0 0 || || || 0 − 1 0 0 0 0 || | 0 0 1 0 0 0 | A3 = || || || 0 0 0 − 1 0 0 || |( 0 0 0 0 1 0 |) 0 0 0 0 0 − 1$

Ответ:

1.: $( ) 0 1 0 0 0 0 || || | 0 0 2 0 0 0| || 0 0 0 3 0 0|| || || || 0 0 0 0 4 0|| |( 0 0 0 0 0 5|) 0 0 0 0 0 0$
2.: $( ) 1 1 1 1 1 1 || 0 1 2 3 4 5|| || || || 0 0 1 3 6 10|| || 0 0 0 1 4 10|| | | |( 0 0 0 0 1 5|) 0 0 0 0 0 1$
3.: $( ) | 1 0 0 0 0 0 | || 0 − 1 0 0 0 0 || | | || 0 0 1 0 0 0 || || 0 0 0 − 1 0 0 || || || ( 0 0 0 0 1 0 ) 0 0 0 0 0 − 1$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ