.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Это верно. Пусть . Тогда обязательно можно среди векторов стандартного базиса выбрать такие вектор, что вместе с вектором эта система векторов будет образовывать базис в .

(Поскольку любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса)

Пусть, для простоты, до базиса вектор дополняют до базиса вектора .

То есть набор

- это базис в .

Рассмотрим тогда оператор , переводящий вектор в вектор , а остальные векторы оставляющий на месте. То есть оператор задается правилами:

Но тогда в базисе этот оператор будет иметь матрицу

Далее, пусть оператор переводит вектор в вектор , а остальные векторы оставляющий на месте. То есть оператор задается правилами:

Но тогда в базисе этот оператор будет иметь матрицу

Но тогда оператор

будет действовать так: он оставляет, разумеется, все на месте, а вектор сначала переводит в , а затем переводит в вектор .

То есть, итого, он переводит вектор в вектор , как и нужно.

Задаваться он будет, очевидно, в базисе матрицей