Тема . Линал и алгебра.

.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74062

В пространстве $𝒫n$ всех многочленов степени не выше $n$ найти ядро, базис ядра, образ, базис образа оператора:

1. $𝒜$ , действующего по правилу

𝒜 : p(x) ↦→ p(− x)

2. $ℒ$ , действующего по правилу

′ ℒ : p(x) ↦→ x ⋅p (x)

3. Дифференцирования $𝒟$ , действующего по правилу

′ 𝒟 : p(x) ↦→ p (x )

Показать ответ и решение

1. По определению $ker𝒜$ - это все такие многочлены, что

𝒜 (p) = 0( нулевому м ногочлену )

Пусть многочлен $p$ имеет вид

anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

Но $𝒜(p) = p(− x )$ , то есть

𝒜 (p) = (− 1)nanxn + (− 1)n−1an−1xn−1 + ...− a1x + a0

Следовательно,

𝒜(p) = 0 ⇔ (− 1)nanxn + (− 1)n−1an−1xn− 1 + ...− a1x + a0 = 0

Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена

(− 1)nanxn + (− 1)n−1an− 1xn −1 + ... − a1x+ a0

равны нулю. То есть сам многочлен

(− 1)na xn + (− 1)n−1a xn −1 + ... − a x+ a n n− 1 1 0

- нулевой.

Таким образом, в ядре $𝒜$ лежит только нулевой многочлен.

Следовательно, $dim ker𝒜 = 0$ , $dim Im 𝒜 = n+ 1 − dim ker𝒜 = n + 1$ , то есть в ядре $𝒜$ в качестве базиса нужно взять пустое множества (по определению это единственный базис нульмерного пространства), а в образе $𝒜$ в качестве базиса сгодится любой базис всего пространства $𝒫n$ , например

1,x,x2,...,xn−1,xn

2. Пусть многочлен $p$ имеет вид

anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

Но $ℒ(p) = xp′(x)$ , то есть

ℒ(p) = nanxn + (n − 1)an−1xn−1 + ...+ 2a2x2 + a1x

Следовательно,

ℒ(p) = 0 ⇔ na xn + (n − 1)a xn−1 + ...+ 2a x2 + a x = 0 n n−1 2 1

Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена

n n−1 2 nanx + (n − 1)an−1x + ...+ 2a2x + a1x

равны нулю.

То есть

an = an− 1 = ...= a2 = a1 = 0

Таким образом, в ядре $ℒ$ лежат те и только те многочлены

n n−1 anx + an−1x + ...+ a1x + a0

у которых все коэффициенты, кроме $a0$ , равны нулю, а $a0$ - любое. То есть это в точности константы.

Таким образом, $dim kerℒ = 1$ , $dim Im ℒ = n + 1 − dim kerℒ = n$ , то есть в ядре $ℒ$ в качестве базиса нужно взять многочлен, которым можно породить все константы, например, многочлен

1

а в образе $ℒ$ в качестве базиса сгодится любой базис, которым можно породить все многочлены вида

nanxn + (n − 1)an−1xn −1 + ...+ 2a2x2 + a1x

Например сгодится базис

x,x2,...,xn−1,xn

3. Пусть многочлен $p$ имеет вид

anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

Но $𝒟(p) = p′(x )$ , то есть

𝒟(p) = nanxn −1 + (n − 1)an−1xn−2 + ...+ 2a2x + a1

Следовательно,

𝒟(p) = 0 ⇔ na xn−1 + (n − 1)a xn− 2 + ...+ 2a x + a = 0 n n−1 2 1

Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена

n−1 n−2 nanx + (n− 1)an− 1x + ...+ 2a2x+ a1

равны нулю.

То есть

an = an− 1 = ...= a2 = a1 = 0

Таким образом, в ядре $𝒟$ лежат те и только те многочлены

n n−1 anx + an−1x + ...+ a1x + a0

у которых все коэффициенты, кроме $a0$ , равны нулю, а $a0$ - любое. То есть это в точности константы.

Таким образом, $dim ker𝒟 = 1$ , $dim Im 𝒟 = n + 1− dim ker 𝒟 = n$ , то есть в ядре $𝒟$ в качестве базиса нужно взять многочлен, которым можно породить все константы, например, многочлен

1

а в образе $𝒟$ в качестве базиса сгодится любой базис, которым можно породить все многочлены вида

n−1 n−2 nanx + (n− 1)an− 1x + ...+ 2a2x+ a1

Например сгодится базис

2 n−1 1,x,x ,...,x

Ответ:

1. Ядро тривиально (состоит только из нуля), базис ядра пуст. Образ состоит из всего пространства $𝒫n$ , и в качестве базиса образа годится любой базис этого пространства, например, $n 1,x,...,x$ ;
2. Ядро состоит из константных многочленов. В качестве базиса ядра можно взять, например, многочлен $p(x) = 1$ . Образ состоит из многочленов с нулевым свободным членом. В качестве базиса образа можно взять, например, $x,...,xn$ ;
3. Ядро состоит из константных многочленов. В качестве базиса ядра можно взять, например, многочлен $p(x) = 1$ . Образ состоит из многочленов с нулевым старшим членом. В качестве базиса образа можно взять, например, $1,...,xn−1$ ;

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ